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Abi 2015 Analysis TeilA AG2


Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(g:x \mapsto \mathrm{ln}\ (2x+3)\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\) und der Wertemenge \(W\). Der Graph von \(g\) wird mit \(G_g\) bezeichnet.

a) Geben Sie \(D\) und \(W\) an

(2 BE)

b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an \(G_g\) im Schnittpunkt von \(G_g\) mit der \(x\)-Achse

(4 BE)

Lösung

a)

Definitionsmenge und Wertebereich angeben

\(D=]-1,5; +\ \infty[\) und \(W=\mathbb R\)

Anmerkung: Das Argument vom Logarithmus muss positiv sein, also ist die Ungleichung \(2x+3>0\) aufzulösen. Der Logarithmus kann alle negativen und positiven Werte annehmen. Eine Begründung ist jedoch nicht gefragt.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

Schnittpunkt mit der x-Achse bestimmen

\(\begin{array} \mathrm{ln}\ (2x+3)&=&0&\ \ \mid &e^{...}\\2x+3&=&1&\ \ \mid&-3; &\ :2\\ x_N&=&-1 \end{array}\)

\(\Rightarrow\)Der \(x\)- Achsenschnittpunkt ist \(P(-1\mid 0)\)

Tangente in P(-1 | 0) bestimmen

Ableitung nach der Kettenregel liefert

\(g'(x)=\frac{2}{2x+3}\)

Steigung der Tangente:

\(m=g'(-1)=\frac{2}{-2+3}=2\)

allgemeine Tangentengleichung:

\(y=m\cdot x+t\)

Einsetzen von \(m\) und den Koordinaten von \(P\) führt zu \(t\):

\(\begin{array}\\ 0&=&2\cdot (-1)+t\\ t&=&2 \end{array}\)

Ergebnis

Insgesamt erhält man die Tangentengleichung \(t: \ y=2\cdot x+2\)

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  • Punkte:  6

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^3-6x^2+11x-6\) und \(x \in \mathbb R\)

a) Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von \(f\) auf der Geraden mit der Gleichung \(y=x-2\) liegt.

(3 BE)

b) Der Graph von \(f\) wird verschoben. Der Punkt \((2\mid 0)\) des Graphen der Funktion \(f\) besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten \((3\mid 2)\). Der verschobene Graph gehört  zu einer Funktion \(h\). Geben Sie eine Gleichung von \(h\) an.

(2 BE)

Lösung

a)

Wendepunkt bestimmen

Für den Wendepunkt braucht man eine Nullstelle der zweiten Ableitung.

\(\begin{array}\\ f'(x)&=&3x^2-12x+11\\ f''(x)&=&6x-12\\ f'''(x)&=&6 \end{array}\)

Nullstelle der zweiten Ableitung ist \(x_W=2 \) mit \(y_W=2^3-6\cdot2^2+11\cdot2-6=0\)

\(f'''(2)\ne 0\)

\(\Rightarrow\)Bei \(W\ (2\mid 0)\) handelt es sich um einen Wendepunkt

Nachweisen, dass der Wendepunkt auf der Geraden liegt

Setzt man die Koordinaten des Wendepunkts in die Gleichung der Geraden \(y=x-2\) ein, so ergibt sich eine wahre Aussage: \(0=2-2\)

\(\Rightarrow \ W\) liegt auf der Geraden, was zu zeigen war.

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b)

Funktionsgraph verschieben

Der Punkt \((2\mid 0)\) des Graphen der Funktion \(f\) soll durch Verschiebung in die Koordinaten \((3\mid 2)\) überführt werden. Der verschobene Graph soll zu einer Funktion \(h\) gehören.

Es muss \(h(3)=f(2)+2\) sein, d.h. \(h(3)=f(3-1)+2\).

Diese Verschiebung soll für jeden Punkt gelten, also \(h(x)=f(x-1)+2\).

In diese Beziehung muss man nun noch den Term von \(f(x)\) einsetzen.

\(h(x)=f(x-1)+2=(x-1)^3-6\cdot (x-1)^2+11\cdot(x-1)-6+2\)

Anmerkung: Es ist nicht nötig, die Klammer anschließend noch aufzulösen, da nur´eine Gleichung gefragt war. Aufgrund der Fragestellung ist keine Herleitung erforderlich.

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  • Punkte:  6

Aufgabe 3

Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.

a) Die Funktion \(g\) hat die maximale Definitionsmenge \(]-\infty;5[\).

b) Die Funktion \(k \) hat in \(x=2\) eine NUllstelle und in \(x=-3\)  eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph von \(k\) hat die Gerade mit der Gleichung \(y=1\) als Asymptote.

Lösung

a)

Term einer Funktion g angeben

Die Funktion \(g\) soll die maximale Definitionsmenge \(]-\infty;5[\) haben,

z.B. \(f(x)=\sqrt{5-x}\)

Anmerkung: Eine einseitig begrenzte Definitionsmenge mit eingeschlossener Grenze gibt es immer bei einer Wurzelfunktion. Eine Begründung ist bei der Fragestellung nicht erforderlich. 

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b)

Term einer Funktion k bestimmen

Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel hat z.B. eine gebrochen-rationale Funktion dort, wo ihr Nenner eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat, z.B. \(k(x)=\frac{x^2-4}{(x+3)^2}\). Die gefragte Polstelle in \(x=-3\) ist durch den Nenner des Beispiels erreicht.

Die gefragte waagerechte Asymptote \(y=1\) ergibt sich nur bei Zählergrad \(=\) Nennergrad (also braucht die Funktion auch im Zähler den Grad \(2\)), außerdem den gleichen Koeffizienten vor \(x^2\), also 1. Schließlich muss noch die Nullstelle \(x=2\) im Zähler realisiert werden. Es ist nicht gefordert, dass dies die einzige Nullstelle der Funktion ist. Das Beispiel hat eine weitere Nullstelle bei \(x=-2\).

Anmerkung: Eine Begründung ist bei der Fragestellung nicht erforderlich.

 

Aufgabe 4

Gegeben ist die Schar der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \(f_a:x\mapsto xe^{ax}\) mit \(a \in \mathbb{R}\backslash \{0\}\). Ermitteln Sie, für welchen Wert von \(a\) die erste Ableitung von \(f_a\) an der Stelle \(x=2\) den Wert \(0\) besitzt.

(4 BE)

Lösung

Ableitung bestimmen

Ableitung mithilfe der Produktregel liefert

\(f'_a(x)=x \cdot a \cdot e^{ax}+1 \cdot e^{ax}=e^{ax}\cdot (ax+1) \) mit \(u(x)=x;\ u'(x)=1; \ v(x)=e^{ax}; \ v'(x)=a\cdot e^{ax}\)

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Ableitungen gleich null setzen

\(e^{ax}\cdot\ (ax+1)=0\)

Der erste Faktor dieses Produktes wird nie null.

Im zweiten Faktor kann \(x=2\) gesetzt werden und man erhält: \(2a+1=0\) mit der Lösung \(a=-0,5\).

Ergebnis

Für \(a=-0,5\) hat die Ableitung von \(f_a\) an der Stelle \(x=2\) den Wert \(0\).

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  • Punkte:  4
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