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Abi 2015 Analysis HT2 LK


Eine Familie will ihren Bedarf an Wärmeenergie (thermischer Energie) für Heizung und Warmwasser teilweise durch eine thermische Solaranlage (kurz: Solaranlage) decken. Anhand der Angaben des Solaranlagenherstellers und der Verbrauchswerte der Familie aus dem letzten Kalenderjahr wurde das folgende Modell für ein beispielhaftes Kalenderjahr aufgestellt.

Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung
\(f(t)=t^4-24t^3+144t^2+400,\;t\in\mathbb{R}\)
und der thermische Leistungsbedarf der Familie (kurz: Leistungsbedarf) durch die Funktion \(g\) mit der Gleichung
\(g(t)=-t^4+26t^3-167,5t^2-12,5t+2053,\;t\in\mathbb{R}\)
modelliert, und zwar für das Zeitintervall \([0;12]\), das dem Kalenderjahr entspricht.
Dabei fasst man \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Monat und \(f(t)\) sowie \(g(t)\) als Maßzahlen zur Einheit 1 Kilowattstunde pro Monat [kWh/Monat] auf. (Im Modell umfasst jeder Monat 30 Tage.) Der Zeitpunkt \(t=0\) entspricht dem Beginn des Kalenderjahres.

Die Graphen von \(f\) und \(g\) sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Abi 2015 Analysis HT2 LK - Abbildung 1

Aufgabe a)

  1. Vergleichen Sie die Graphen von \(f\) und \(g\) im Sachzusammenhang.
  2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und berechnen Sie den Maximalwert. 
  3. Ermitteln Sie den Zeitpunkt im Intervall \([0;12]\), zu dem der durch \(g\) beschriebene Leistungsbedarf der Familie innerhalb dieses Kalenderjahres am stärksten abnimmt.

(5 + 8 + 9 Punkte)

Lösung

  1. ​Leistungsangebot und -bedarf passen nicht wirklich gut zusammen: Das Angebot hat im Sommer ein Maximum und im Winter ein Minimum, der Bedarf gerade umgekehrt. Die beiden Graphen sind fast spiegelsymmetrisch zu einer Geraden \(y = 1000\). Bei genauerem Hinsehen erkennt man aber, dass Minimum und Maximum des Leistungsbedarfs etwas nach rechts gegenüber den Extrema des Angebots verschoben sind. Das liegt an der „Wärmeträgheit“ der Erde: Im Juni muss man manchmal noch heizen, weil im Wärmespeicher Erdboden (sowie den unser Wetter mitbestimmenden Ozeanen) die Winter- und die Frühjahrskälte noch nicht ganz verschwunden sind, im Dezember gibt es entsprechend noch etwas Restwärme aus Spätsommer und Herbst.
    (Hier findest du Hilfe bei der Diskussion der Graphen.)
  2. Es werden die Ableitungen benötigt.
    \(\begin{align} f(t)&=t^4-24t^3+144t^2+400 \\ \Longrightarrow f'(t)&=4t^3-72t^2+288t \\ \Longrightarrow f''(t)&=12t^2-144t+288 \end{align}\)
    Gesucht ist die Nullstelle der 1. Ableitung.
    \(\begin{align} f'(t)=0&\Leftrightarrow t=0\;\lor\;t^2-18t+72=0 \\ &\Leftrightarrow t=0\;\lor\;t=9\pm\sqrt{81-72} \end{align}\)
    \(f(6)=1696\ [\text{kWh}]\)
    \(f\) wird bei \(x = 0\), \(x = 6\) und \(x = 12\) extrem. Man sieht aus der Grafik oder rechnet mit der Funktionsgleichung der 2. Ableitung aus, dass bei \(x = 6\) ein Maximum und bei den beiden anderen Extrema ein Minimum vorliegt.
    Zum Zeitpunkt \(x = 6\), also im Juni, ist die Leistung der Solaranlage maximal und beträgt 1696 kWh.
  3. Die 2. Ableitung gibt die Änderungsrate der 1. Ableitung an. Deren größte Abnahme entspricht einem Minimum der 2. Ableitung.
    \(\begin{align} g(t)&=-t^4+26t^3-167,5t^2-12,5t+2053 \\ \Longrightarrow g'(t)&=-4t^3+78t^2-335t-12,5 \\ \Longrightarrow g''(t)&=-12t^2+156t-335 \end{align}\)
    Nullstelle der 2. Ableitung:
    \(g''(t)=0\Leftrightarrow t^2-13t+\frac{335}{12}=0\Leftrightarrow t=\frac{13}{2}\pm \sqrt{\frac{43}{3}}\)
    Die Wendestellen von \(g\) liegen bei \(t \approx 2,71\) und bei \(t \approx 10,28\) [Monate]. Man sieht aus der Grafik oder rechnet mit der Funktionsgleichung der 1. Ableitung aus, dass bei \(t \approx 2,71\) [Monate] der Leistungsbedarf der Familie am stärksten abnimmt.
Durch das Integral \(\int\limits_a^b f(t) \text{d}t\) ist im Sachzusammenhang die aus der Solaranlage im Zeitintervall \(\bf[a; b]\) abrufbare Energie und durch das Integral \(\int\limits_a^b g(t) \text{d}t\) der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall \(\bf[a; b]\) für \(0\le a<b\le 12\) in Kilowattstunden [kWh] gegeben.

Aufgabe b)

  1. Berechnen Sie den Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr.
  2. Im Intervall \([3; 9,5\)] wird der Leistungsbedarf der Familie zu jedem Zeitpunkt durch die Solaranlage gedeckt. Die den Bedarf übersteigende Leistung der Solaranlage soll in diesem Zeitraum zusätzlich zum Heizen eines Gartenpools genutzt werden.
    Ermitteln Sie die Energie, die zum Heizen des Gartenpools im Intervall \([3;9,5]\) zur Verfügung steht.

(4 + 6 Punkte)

Lösung

  1. Der Energiebedarf ist das bestimmte Integral über die Funktion \(g\) in den Grenzen des betrachteten Intervalls.
    \(\int\limits_0^{12} g(t) \text{d}t=\left[-\frac{1}{5}t^5+\frac{13}{2}t^4-\frac{335}{6}t^3-\frac{25}{4}t^2+2053t\right]^{12}_0=12.273,6\)
    Der Leistungsbedarf der Familie beträgt 12.273,6 kWh für das Kalenderjahr.
  2. Die gesuchte Fläche bzw. Energie \(E\) entspricht dem Integral über die Differenz der Funktionsterme in den Grenzen der beiden Schnittpunkte.
    \(\begin{align} E=\int\limits_3^{9,5}\left\{f(t)-g(t)\right\} \text{d}t&=\int\limits_3^{9,5}\left\{2t^4-50t^3+311,5t^2+12,5t-1653\right\} \text{d}t \\ &=\left[\frac{2}{5}t^5-\frac{25}{2}t^4+\frac{623}{6}t^3+\frac{25}{4}t^2-1653t\right]_3^{9,5} \\ &\approx 6037,2 \end{align}\)
    Es stehen über das Sommerhalbjahr etwa 6037,2 kWh für den Pool zur Verfügung.

Aufgabe c)

Die Leistung der Solaranlage ist abhängig von der Neigung der aufgestellten Solarmodule.

Abi 2015 Analysis HT2 LK - Abbildung 2

Die Funktion \(f_a\) mit der Gleichung
\(f_a(t)=a\cdot(t^4-24t^3+144t^2+400)-400\cdot(a^2-1),\;t\in\mathbb{R},\;0,5\le a\le 1,5\)
modelliert im Intervall \([0;12]\) diese Leistung für ein Kalenderjahr, wobei der Parameter \(a\) eine Kennzahl für die Neigung der Solarmodule ist. Jedem Wert des Parameters \(a\) kann über die Gleichung \(w=116-66a\) die Maßzahl für den entsprechenden Neigungswinkel in Grad zugeordnet werden.
In der folgenden Abbildung sind beispielhaft für zwei Werte von \(a\) die Graphen der jeweils zugehörigen Funktion \(f_a\) sowie der Graph von \(g\) dargestellt.

Abi 2015 Analysis HT2 LK - Abbildung 3

  1. Zeigen Sie, dass \(f\) eine der Funktionen \(f_a\) ist, und berechnen Sie den zugehörigen Neigungswinkel \(w\) der Solarmodule.
  2. Weisen Sie nach, dass die in einem Jahr aus der Solaranlage abrufbare Energie für \(a=1,364\) (d. h. \(w\approx26^°\)) am größten ist.
  3. Der Solaranlagenhersteller behauptet, dass eine Solaranlage mit einem Neigungswinkel von 50° den Energiebedarf der Familie (ohne Heizung des Gartenpools!) in dem Kalenderjahr besser deckt als eine Solaranlage mit einem Neigungswinkel von 26°.
    Begründen Sie diese Behauptung anhand der Graphen in der obigen Abbildung.
    [Eine Rechnung wird hier nicht verlangt.]

(4 + 9 + 5 Punkte)

Lösung

  1. \(f\) ist das Element der Funktionenschar mit \(a = 1\), wie man durch Einsetzen sofort sieht. Der zugehörige Neigungswinkel beträgt \(w = 116 - 66 = 50\) [Grad].
  2. Die im Jahr insgesamt abrufbare Energie ist das bestimmte Integral über \(f_a(t)\) in den Grenzen von 0 bis 12.
    \(\begin{align} E(a)=\int\limits_0^{12}f_a(t) \text{d}t&=\int\limits_0^{12}a\cdot(t^4-24t^3+144t^2+400)-400\cdot(a^2-1) \text{d}t \\ &=\left[a\cdot\left(\frac{1}{5}t^5-6t^4+48^3+400t\right)-400(a^2-1)\cdot t\right]_0^{12} \\ &=-4800a^2+13.094,4a+4800 \end{align}\)
    Es wird das Maximum dieser quadratischen Funktion gesucht. Die Nullstelle der Ableitung liegt bei:
    \(-9600a+13.094,4=0\Leftrightarrow a=1,364\)
    Da es sich bei \(E(a)\) um eine nach unten geöffnete Parabel handelt (Koeffizient von \(a^2\) ist negativ), entspricht dies dem Maximum der Ableitung.
  3. Die Anlage mit Neigungswinkel 26° hat im Sommer mehr Leistungsangebot bzw. Erträge als die mit 50° und im Winter weniger. Da es im Sommer aber sowieso warm ist und man auch lieber mal kalt duscht, nützt das nicht viel (vor allem, wenn man keinen Pool im Garten hat). Der Energiebedarf der Familie fällt stattdessen im Winterhalbjahr an und dann ist tatsächlich das Energieangebot der 50°-Anlage fast durchgängig größer als das der 26°-Anlage.
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