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Abi 2015 Analysis HT1 LK


Ein Schüler beobachtet in einem Experiment insgesamt sechs Tage lang die Vermehrung von Pantoffeltierchen in einer Nährlösung. Zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen während der ersten drei Tage verwendet er für \(0\le t \le 3\) die Funktion \(N_1\) mit der Gleichung:
\(N_1(t)=500\cdot \text{e}^{0,6t},\;t\in\mathbb{R}\)

Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Tag und \(N_1(t)\) als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt \(t\) aufgefasst. Der Graph von \(N_1\) ist in der folgenden Abbildung dargestellt. 

Abi 2015 Analysis HT1 LK - Abbildung 1

Aufgabe a)

  1. Berechnen Sie den Funktionswert von \(N_1\) an der Stelle \(t=3\) und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang.
  2. Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem 2000 Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind.
  3. Berechnen Sie die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages der Beobachtung.
    [Zur Kontrolle: Die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösungwährend des ersten halben Tages der Beobachtung beträgt ungefähr 583.] 
  4. Der Schüler berechnet einen Näherungswert für die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages, indem er das arithmetische Mittel der Funktionswerte \(N_1(0)\) und \(N_1(0,5)\) bildet.
    Zeigen Sie, dass das arithmetische Mittel der Funktionswerte \(N_1(0)\) und \(N_1(0,5)\) um weniger als 1 % von dem in (3) berechneten Durchschnitt abweicht. 
  5. Weisen Sie nach, dass die prozentuale Abweichung des arithmetischen Mittels der Funktionswerte \(N_1(a)\) und \(N_1(a+0,5)\) von der durchschnittlichen Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung in einem Zeitintervall \([a; a+0,5]\) mit \(0\le a \le 2,5\) unabhängig von \(a\) weniger als 1 % beträgt.

(2 + 3 + 5 + 4 + 7 Punkte)

Lösung

  1. \(N_1(3)=500\cdot\text{e}^{0,6\ \cdot\ 3}=3024,8\)
    Dem Modell zufolge gibt es zu Beginn (\(t = 0\)) 500 Pantoffeltierchen, nach 3 Tagen wären es demnach 3024,8. Tatsächlich sind es also entweder 3024 oder 3025, je nach Genauigkeit des Modells.
  2. Der gesuchte Zeitpunkt ergibt sich über:
    \(\begin{align} &N_1(t)=500\cdot\text{e}^{0,6t}=2000 \\ \Longleftrightarrow &0,6\cdot t= \ln(4) \\ \Longrightarrow &t\approx 2,31 \end{align}\)
    Es gibt dem Modell zufolge nach etwa 2,31 Tagen (2 Tage, 7 Stunden, 27 Minuten) 2000 Pantoffeltierchen.
  3. Die durchschnittliche Anzahl der Pantoffeltierchen berechnet man mit dem Mittelwertintegral.
    \(\hat{N}_1=\frac{1}{\Delta t}\cdot \int\limits_0^{0,5}N_1(\tau)\text{d}\tau=2\cdot\left[\frac{5}{3}\cdot 500\text{e}^{0,6t}\right]^{0,5}_0=\frac{5000}{3}\cdot(\text{e}^{0,3}-1)\approx 583,1\)
    Die mittlere Änderungsrate der Tierchenzahl beträgt etwa 1008 Tierchen pro Tag.
  4. Arithmetisches Mittel:
    \(\overline{N}_1=\frac{500\ \cdot\ \text{e}^{0,6\ \cdot\ 0,5}+500}{2}\approx 587,5\)
    Prozentuale Abweichung:
    \(\frac{587,5\ -\ 583,1}{583,1}\approx 0,0075=0,75\ \%\)
    Die Abweichung ist tatsächlich kleiner als 1 %, was darauf hindeutet, dass der Funktionsgraph in diesem Bereich fast linear verläuft.
  5. Arithmetisches Mittel:
    \(\overline{N}_1=\frac{500\ \cdot\ \text{e}^{0,6\ \cdot\ (a\ +\ 0,5)}\ +\ 500\ \cdot\ \text{e}^{0,6\ \cdot\ a}}{2}=500\cdot\text{e}^{0,6\ \cdot\ a}\cdot\frac{\text{e}^{0,3}\ +\ 1}{2}\)
    Mittelwertintegral:
    \(\hat{N}_1=2\cdot\left[\frac{5}{3}\cdot 500\text{e}^{0,6t}\right]^{a\ +\ 0,5}_a=\frac{5000}{3}\text{e}^{0,6a}\cdot(\text{e}^{0,3}-1)\)
    Prozentuale Abweichung:
    \(\begin{align} \frac{500\cdot\text{e}^{0,6\ \cdot\ a}\cdot\frac{\text{e}^{0,3}+1}{2}-\frac{5000}{3}\text{e}^{0,6a}\cdot(\text{e}^{0,3}-1)}{\frac{5000}{3}\text{e}^{0,6a}\cdot(\text{e}^{0,3}-1)}&=\frac{\frac{\text{e}^{0,3}\ +\ 1}{2}-\frac{10}{3}\cdot(\text{e}^{0,3}-1)}{\frac{10}{3}\cdot(\text{e}^{0,3}-1)} \\ &=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{\text{e}^{0,3}\ +\ 1}{\text{e}^{0,3}\ -\ 1}-\frac{10}{3}}{\frac{10}{3}} \\ &=\frac{3}{20}\cdot\frac{\text{e}^{0,3}+1}{\text{e}^{0,3}-1}-1\approx0,0075=0,75\ \% \end{align}\)
    Die prozentuale Abweichung beträgt weniger als 1 %.

Aufgabe b)

Während der ersten drei Tage (für \(0\le t\le 3\)) wird im Modell des Schülers die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen durch die Funktion \(r_1\) mit der Gleichung
\(r_1(t)=300\cdot\text{e}^{0,6t},\;t\in\mathbb{R}\)
beschrieben. Dabei wird \(r_1(t)\) als Maßzahl zur Einheit 1 Tier pro Tag aufgefasst.

  1. Für die Funktion \(r_1\) und die zugehörige Ableitungsfunktion \(r'_1\) gilt für alle \(t\in\mathbb{R}\) die Aussage:
    \(r_1(t)>0\) und \(r'_1(t)>0\)
    [Die Gültigkeit dieser Aussage müssen Sie nicht nachweisen.]
    Interpretieren Sie die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang.
  2. Ermitteln Sie die größte momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung in den ersten drei Tagen. 

(5 + 4 Punkte)

Lösung

  1. Wenn die momentane Änderungsrate einer Funktion positiv ist, nehmen die Funktionswerte zu diesem Zeitpunkt zu. Wenn dies für alle \(t\)-Werte nach \(t = 0\) gilt, nimmt die Funktion selbst streng monoton zu.
    Die Ableitung der Änderungsrate ist die Krümmung des Funktionsgraphen der ursprünglichen Funktion. Eine für alle \(t > 0\) positive Krümmung bedeutet, dass die Funktionswerte desto stärker zunehmen, je größer \(t\) ist, da die Änderungsrate immer stärker anwächst. Der Funktionsgraph der Ursprungsfunktion weist dann eine Linkskrümmung auf und besitzt keine Extrema (außer ggf. an den Rändern des Definitionsbereichs). Im Sachzusammenhang: Es gibt immer mehr Pantoffeltierchen und je mehr schon da sind, desto schneller werden es noch mehr – ein typischer Fall von exponentiellem Wachstum.
  2. Gesucht ist das Maximum von \(r_1(t)\) im Intervall. Wegen der Monotonie von \(r_1\) (Ableitung ist überall positiv) liegt das Maximum am Rand, und zwar am rechten (\(r_1 \) nimmt streng monoton zu).
    \(r_{1,\,\text{max}}=r_1(3)=300\cdot\text{e}^{0,6\ \cdot\ 3}=300\cdot \text{e}^{1,8}\approx 1814,9\)

Aufgabe c)

Bei der weiteren Beobachtung erkennt der Schüler, dass nach etwa drei Tagen die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen geringer wird. Um die Entwicklung ab dem Zeitpunkt \(t=3\) zu prognostizieren, sucht er eine Funktion, für deren momentane Änderungsrate \(r_2\) zu jedem Zeitpunkt \(t=3+a\) mit \(0\le a \le 3\) die Gleichung \(r_2(3+a)=r_1(3-a)\) gilt.

  1. Interpretieren Sie die Bedeutung der Gleichung \(r_2(3+a)=r_1(3-a)\)\(0\le a \le 3\), im Sachzusammenhang.
  2. Leiten Sie aus der Gleichung \(r_1(t)=300\cdot\text{e}^{0,6t}\) für die momentane Änderungsrate \(r_1\) und der Gleichung
    \(r_2(3+a)=r_1(3-a)\)\(0\le a \le 3\)
    die Gleichung 
    \(r_2(t)=300\cdot\text{e}^{3,6\ -\ 0,6t}\)\(3\le t \le 6\)
    zur Modellierung der momentanen Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag her.
  3. Ermitteln Sie ausgehend von den Funktionen \(N_1\) und \(r_2\) eine Gleichung der Funktion \(N_2\), durch die die Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag bis zum Ende der Beobachtung (also für \(3\le t \le 6\)) beschrieben werden kann.
    [Zur Kontrolle: \(N_2(t)=1000\cdot\text{e}^{1,8}-500\cdot\text{e}^{3,6\ -\ 0,6t}\)]
    Abi 2015 Analysis HT1 LK - Abbildung 2
  4. Erklären Sie anhand der Abbildung aus 3, weshalb die folgende Gleichung gilt: 
    \(\int\limits_0^3N_1(t)\text{d}t+\int\limits_3^6N_2(t)\text{d}t=6\cdot N_1(3)\)
    [Die Punktsymmetrie des Graphen zu \((3|N_1(3))\) muss nicht nachgewiesen werden.] 
  5. Der Schüler verwendet die Funktion \(N_2\) auch zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen für \(t\ge 6\).
    Begründen Sie, dass in diesem Modell die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung zu keinem Zeitpunkt größer als 6050 wird.

(3 + 4 + 6 + 4 +3 Punkte)

Lösung

  1. Die Gleichung besagt, dass in der Nähe des Übergangszeitpunkts \(t = 3\) zwischen den beiden Modellfunktionen die Änderungsrate, also die Ableitung der Pantoffeltierchenzahl, auf beiden Seiten den gleichen Grenzwert bei Annäherung an \(t = 3\) hat. Also haben \(N_1\) und \(N_2\) die gleiche Ableitung und die Funktionsgraphen gehen ohne „Knick“ ineinander über. (\(N_2\) ist die zu \(r_2\) gehörende Modellierung der Pantoffeltierchenzahl im Intervall zwischen \(t = 3\) und \(t = 6\).)
    Hinweis: Weiterhin kann man an der Gleichung erkennen, dass der aus \(r_1\) und \(r_2\) zusammengesetzte Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Punkt \((3|N_1(3))\) ist.
  2. Es ist
    \(r_2(3+a)=r_1(3-a)=300\cdot\text{e}^{0,6\ \cdot\ (3\ -\ a)}\)
    und wir setzen (substituieren) \(t=3+a\) bzw. \(a=t-3\).
    \(\Longrightarrow r_2(t)=300\cdot\text{e}^{0,6\ -\ (3\ -\ (t\ -\ 3))}=300\cdot\text{e}^{3,6\ -\ 0,6t}\)
  3. Wir benötigen zunächst eine Stammfunktion von \(r_2\) (was ja die Ableitung von \(N_2\) ist).
    \(N_2(t)=\int r_2(\tau) \text{d}\tau+C=\int 300\cdot\text{e}^{3,6\ -\ 0,6t} \text{d}\tau+C=-500\cdot\text{e}^{3,6\ -\ 0,6t}+C\)
    Außerdem müssen \(N_1\) und \(N_2\) an der Übergangsstelle \(t = 3\) denselben Funktionswert haben.
    \(\begin{align} &N_2(3)=-500\cdot\text{e}^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ 3}+C=N_1(3)=500\cdot\text{e}^{0,6\ \cdot\ 3}\\ \Longrightarrow&C=500\cdot(\text{e}^{1,8}+\text{e}^{1,8})=1000\cdot\text{e}^{1,8}\approx 6049,6 \end{align}\)
    Damit haben wir:
    \(N_2(t)=-500\cdot\text{e}^{3,6\ -\ 0,6\cdot t}+1000\cdot \text{e}^{1,8}\approx 6049,6-500\cdot\text{e}^{3,6\ -\ 0,6t}\)
  4. Wegen der Punktsymmetrie zum Punkt \((3|N_1(3))\) ist die Fläche unter \(N_1\) zwischen 0 und 3 genauso groß wie die Fläche zwischen \(N_2\) und der Geraden \(N_2\). Das bedeutet, dass sich die beiden Flächen, die den zu summierenden bestimmten Integralen entsprechen, gerade zum Rechteck mit den Seitenlängen 3 und \(2\cdot N_1(3)\) ergänzen. Dessen Fläche ist das Produkt der Seitenlängen, also \(6\cdot N_1(3)\).
  5. Da die Exponentialfunktion \(y(x) = \text{e}^{x}\) niemals negativ wird, wird für alle Werte von \(t\) im Funktionsterm von \(N_2\) eine positive Zahl von 6049,6 abgezogen. Deswegen kann kein Funktionswert größer als dieser Wert und schon gar nicht größer als 6050 sein.
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