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Abi 2015 Analysis GK HT2


Aufgabe a)

Eine Familie will ihren Bedarf an Wärmeenergie (thermischer Energie) für Heizung und Warmwasser teilweise durch eine thermische Solaranlage (kurz: Solaranlage) decken. Anhand der Angaben des Solaranlagenherstellers und der Verbrauchswerte der Familie aus dem letzten Kalenderjahr wurde das folgende Modell für ein beispielhaftes Kalenderjahr aufgestellt. Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung:
\(f(t)=t^4-24t^3+144t^2+400,\ t\in \mathbb R\)
und der thermische Leistungsbedarf der Familie (kurz: Leistungsbedarf) durch die Funktion \(g\) mit der Gleichung:
\(g(t)=-t^4+26t^3-167,5t^2-12,5t+2053, \ t\in\mathbb R\)
modelliert, und zwar für das Zeitintervall \([0;12]\), das dem Kalenderjahr entspricht. Dabei fasst man \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Monat und \(f(t)\) sowie \(g(t)\) als Maßzahlen zur Einheit 1 Kilowattstunde pro Monat [kWh/Monat] auf. (Im Modell umfasst jeder Monat 30 Tage.) Der Zeitpunkt \(t=0\) entspricht dem Beginn des Kalenderjahres. Die Graphen von \(f\) und \(g\) sind in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.

Abi 2015 Analysis GK HT2 - Abbildung 1

(1) 

Vergleichen Sie die Graphen von f und g im Sachzusammenhang.

(2) 

Berechnen Sie \(\frac {f(0)}{g(0)}\) und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang.

(3) 

Zeigen Sie, dass die Leistung der Solaranlage zu den Zeitpunkten \(t_1=3 \) und \(t_2=9,5\) dem Leistungsbedarf der Familie entspricht.

(5 + 5 + 4 Punkte)

Lösung

(1)

Diskussion der Graphen

Leistungsangebot und -bedarf passen nicht wirklich gut zusammen: Das Angebot hat im Sommer ein Maximum und im Winter ein Minimum, der Bedarf gerade umgekehrt. Die beiden Graphen sind fast spiegelsymmetrisch zu einer Geraden \(y = 1000\). Bei genauerem Hinsehen erkennt man aber, dass Minimum und Maximum des Leistungsbedarfs etwas nach rechts gegenüber den Extrema des Angebots verschoben sind. Das liegt an der „Wärmeträgheit“ der Erde: Im Juni muss man manchmal noch heizen, weil im Wärmespeicher Erdboden (sowie den unser Wetter mitbestimmenden Ozeanen) die Winter- und Frühjahrskälte noch nicht ganz verschwunden ist, im Dezember gibt es entsprechend noch etwas Restwärme aus Spätsommer und Herbst.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

(2)

Verhältnis der Neujahrswerte (y-Achsenabschnitte)

\(\frac{f(0)}{g(o)}=\frac{400}{2053}\approx0,195=19,5\ \%\)

In der Neujahrsnacht deckt das Leistungsangebot nur knapp ein Fünftel des Bedarfs.

(3)

Schnittpunkte der Funktionsgraphen

\(\begin{array}{rrcl} &f(t)&=&g(t)\\ \Leftrightarrow&t^4-24t^3+144t^2+400&=&-t^4+26t^3-167,5t^2-12,5t+2053\\ \Leftrightarrow&2t^4-50t^3+311,5t^2+12,5t-1653&=&0 \end{array}\)

Durch Einsetzen bestätigt man, dass \( t = 3\) und \(t = 9,5\) diese Gleichung lösen.

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  • Punkte:  14

Aufgabe b)

(1) 

Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und berechnen Sie den Maximalwert.

(2) 

Ermitteln Sie den Zeitpunkt im Intervall \([0;12]\), zu dem der durch \(g\) beschriebene Leistungsbedarf der Familie innerhalb eines Kalenderjahres am stärksten abnimmt.

(8 + 10 Punkte)

Lösung

(1)

Maximum von f

\(\begin{array}{rcl}\\ f(t)&=&t^4-24t^3+144t^2+400\\ f'(t)&=&4t^3-72t^2+288t\\ f''(t)&=&12t^2-144t+288 \end{array}\)

Nullstelle der 1. Ableitung:

\(\begin{array}\\ f'(t)=0&\Leftrightarrow& t=0 &\lor& t^2-18t+72=0\\ &\Leftrightarrow&t=0&\lor&t=9\pm\sqrt{81-72} \end{array}\)

F wird bei \(x = 0\)\(x = 6\) und \(x = 12\) extrem. Man sieht aus der Grafik oder rechnet mit der Funktionsgleichung der 2. Ableitung aus, dass bei \(x = 6\) ein Maximum und bei den beiden anderen Extrema ein Minimum vorliegt.

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(2)

Minimum der 2. Ableitung (Wendestelle) von g

Die 2. Ableitung gibt die Änderungsrate der 1. Ableitung an. Deren größte Abnahme entspricht einem Minimum der 2. Ableitung.

\(\begin{array}{rcl}\\ g(t)&=&-t^4+26t^3-167,5t^2-12,5t+2053\\ g'(t)&=&-4t^3+78t^2-335t-12,5\\ g''(t)&=&-12t^2+156t-335 \end{array}\)

Nullstelle der 2. Ableitung:

\(\begin{array}{rcl}\\ g(t)&=&-t^4+26t^3-167,5t^2-12,5t+2053\\ g'(t)&=&-4t^3+78t^2-335t-12,5\\ \end{array}\)

\(g''(t)=0\Leftrightarrow t^2-13t+\frac{335}{12}=0 \Leftrightarrow t=\frac{13} 2\pm\sqrt{\frac{43}{3}}\)

Die Wendestellen von \(g\) liegen bei \( t \approx 2,71\) und bei \( t \approx 10,28\) [Monate]. Man sieht aus der Grafik oder rechnet mit der Funktionsgleichung der 1. Ableitung aus, dass bei \( t \approx 2,71\) [Monate] der Leistungsbedarf der Familie am stärksten abnimmt.

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  • Punkte:  18

Aufgabe c)

(1) 

Geben Sie eine Gleichung einer Stammfunktion \(G\) von \(g\) an und berechnen Sie den Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr.

(2) 

Im Intervall \([3; 9,5]\) wird der Leistungsbedarf der Familie zu jedem Zeitpunkt durch die Solaranlage gedeckt. Die den Bedarf übersteigende Leistung der Solaranlage soll in diesem Zeitraum zusätzlich zum Heizen eines Gartenpools genutzt werden. Ermitteln Sie die Energie, die zum Heizen des Gartenpools im Intervall \([3; 9,5]\) zur Verfügung steht.

(3) 

Skizzieren Sie in der Abbildung die Fläche, welche durch den Zähler des folgenden Bruches bestimmt wird, und interpretieren Sie das Ergebnis der folgenden Berechnung im Sachzusammenhang.

\(\frac{\int_0^{12}f(t)\mathrm d t\ -\ \int_3^{9,5}\left(f(t)\ -\ g(t)\right)\mathrm d t}{\int_0^{12}g(t)\mathrm d t}\approx0,575\)

(6 + 6 + 6 Punkte)

Lösung

(1)

Stammfunktion von g und bestimmtes Integral

\(\begin{array}{rl}\\ \int g(t)\mathrm d t&=&-\frac 1 5t^5+\frac {13} 2t^4-\frac {335} 6t^3-\frac {25} 4t^2+2053t\\ \int_0^{12} g(t)\mathrm d t&=&\left[-\frac 1 5t^5+\frac {13} 2t^4-\frac {335} 6t^3-\frac {25} 4t^2+2053t\right]_0^{12}\\ &=&12\ 273,6 \end{array}\)

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(2)

Fläche zwischen den Graphen von g und f im Sommerhalbjahr

Die gesuchte Fläche bzw. Energie \(E\) entspricht dem Integral über die Differenz der Funktionsterme in den Grenzen der beiden Schnittpunkte.

\(\begin{array}\\ E=\int_3^{9,5}\left(f(t)-g(t)\right)\ \mathrm d t&=& \int_3^{9,5}\left(2t^4-50t^3+311,5t^2-1653\right)\ \mathrm d t\\ &=&\left[\frac 2 5t^5-\frac {25} 2 t^4+\frac {623}{6}t^3+\frac {25}4t^2-1653t\right]_3^{9,5}\\ &=&6037,2 \end{array}\)

Es stehen über das Sommerhalbjahr etwa \(6037,2\ kWh\) für den Pool zur Verfügung.

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(3)

Fläche zwischen den Graphen von g und f im Sommer

Abi 2015 Analysis GK HT2 - Abbildung 2

Die Fläche bzw. Energie im Zähler entspricht dem Anteil des solaren Energieangebots, der für Wohnraumbeheizung und Warmwasserbereitung (und nicht für den Pool) verwendet wird. Anders ausgedrückt ist er der Teil, der nicht den Bedarf übersteigt (nicht „überflüssig“ ist).

Das Verhältnis im Bruch drückt aus, welcher Anteil der solaren Energieeinstrahlung übers Jahr für Heizung und Warmwasser benutzt wird (genutztes Angebot durch gesamtes Angebot), es sind \(57,5\ \%\), also immerhin mehr als die Hälfte.

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  • Punkte:  18
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