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Abi 2015 Analysis GA


Aufgabe 1A

Eine Isolierkanne besteht aus einer Kunststoffhülle sowie einem Glaseinsatz und soll modellmäßig beschrieben werden. Die Kanne wird entsprechend der Abbildung 1 der Anlage im Koordinatensystem liegend betrachtet. Außen wird der obere Rand der Hülle für \(-11\leq x \leq 11\) beschrieben durch eine Funktion \(f(x)=\frac 1 {512}\cdot x^3-\frac 3 8 \cdot x +6\)\(x\) und \(f(x)\) in Zentimetern.

a) Die parallel zur y-Achse gemessene Wandstärke der Hülle beträgt \(2\ \text{mm}\). Begründen Sie, dass der obere Rand der Hülle für \(-11\leq x \leq 11\) durch eine Funktion mit \(g(x)=\frac 1 {512}\cdot x^3-\frac 3 8 \cdot x +5,8\) beschrieben wird; \(x\) und \(g(x)\) in Zentimetern.

Bestimmen Sie den Innendurchmesser der Hülle am Boden und den maximalen Innendurchmesser der Hülle.

Die Hülle erhält einen zylinderförmigen Einsatz aus Glas wie in der Abbildung 1 dargestellt. Seine Wandstärke beträgt \(3\ \text{mm}\). Der Einsatz reicht vom Boden bis \(1\ \text{cm}\) unterhalb der Öffnung. Berechnen Sie das maximale Füllvolumen des Einsatzes in \(\text{Litern}\). Berechnen Sie die Höhe, bis zu der der Einsatz gefüllt werden muss, damit er \(0,75\ \text{Liter}\) Flüssigkeit enthält.

(16 BE)

b) An der Hülle wird ein Griff angebracht. Der Rand des Griffs wird für \(-8\leq x \leq 8\) beschrieben durch eine Funktion \(h\) mit \(h(x)=-\frac 3 {64}\cdot x^2-\frac 1 4\cdot x+9\); \(x\) und \(h(x)\) in Zentimetern.

Zeigen Sie, dass der Übergang zwischen Modellierung von Griff und Hülle an der Stelle \(x=-8\) zwar sprungfrei, aber nicht knickfrei ist. Der obere Rand der Hülle hat im Punkt \(B(8|4)\) eine waagerechte Tangente. Bestimmen Sie die Größe des Winkels \(\alpha\), unter dem der Griff am Punkt \(B\) auf den oberen Rand der Hülle trifft.

Zeigen Sie:

  • Der parallel zur y-Achse gemessene Abstand zwischen Griff und oberem Rand der Hülle ist stets kleiner als \(3,5\ \text{cm}\).
  • Der Flächeninhalt des Querschnitts zwischen Griff und Hülle beträgt mindestens \(30\ \text{cm}^2\).

(14 BE)

c) Unabhängig vom Sachzusammenhang wird eine ganzrationale Funktion \(p\) dritten Grades betrachtet. In der Abbildung 2 der Anlage ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion \(p'\) dargestellt. Begründen Sie mithilfe der Abbildung 2, dass die Funktion \(p\) zwar eine Wendestelle, aber keine Extrema besitzt.

(4 BE)

Abi 2015 Analysis GA - Abbildung 1

Abi 2015 Analysis GA - Abbildung 2

Lösung

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\frac 1 {512}\cdot x^3-\frac 3 8 \cdot x +6\).

a)

Begründung der Funktionsgleichung

Um den inneren oberen Rand der Hülle zu beschreiben, muss der Graph von \(f\) entlang der y-Achse um \(0,2\ \text{cm}\) nach unten verschoben werden.

Damit folgt für \(g\):

\(g(x)=\frac 1 {512}\cdot x^3-\frac 3 8 \cdot x +6-0,2\\\ \ \ \ \ \ \ =\frac 1 {512}\cdot x^3-\frac 3 8 \cdot x +5,8\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

Innendurchmesser der Hülle am Boden

Der Boden liegt bei \(x = –11\). Der Funktionswert der Funktion \(g\) an dieser Stelle gibt den Innenradius der Hülle an.

\(g(-11)=\frac 1 {512}\cdot (-11)^3-\frac 3 8 \cdot (-11) +6-0,2 \approx7,325\)

Damit folgt für den Innendurchmesser:

\(2\cdot g(-11)\approx14,7\ \text{cm}\)

Ergebnis

Der Innendurchmesser der Hülle beträgt am Boden ca. \(14,7\ \text{cm}\).

Maximaler Innendurchmesser der Hülle

Der maximale Innendurchmesser der Hülle liegt am Hochpunkt des Graphen \(g\) vor. Er wird mit dem Taschenrechner ermittelt.

Abi 2015 Analysis GA - Abbildung 3

Das Maximum des Funktionsgraphen \(g\) liegt im Hochpunkt \(H(–8|7,8)\). Es ergibt sich zu \(7,8\).

Ergebnis

Der maximale Innendurchmesser beträgt \(15,6\ \text{cm}\).

Maximale Füllhöhe des Einsatzes

Die Höhe des Einsatzes beträgt:

\(h = 11\ \text{cm} + 10\ \text{cm} - 0,3\ \text{cm} = 20,7\ \text{cm}\)

Um den Radius des Einsatzes zu ermitteln, wird das Minimum des Funktionsgraphen \(g\) mit dem Taschenrechner bestimmt.

Abi 2015 Analysis GA - Abbildung 4

Das Minimum des Funktionsgraphen \(g\) liegt im Tiefpunkt \(T(8|3,8)\) und beträgt \(3,8\). Der Außenradius des zylinderförmigen Einsatzes beträgt also \(3,8 \text{ cm}\).

Nach Subtraktion der Wandstärke erhält man den Innenradius des zylinderförmigen Einsatzes.

\(r = 3,8\ \text{cm} - 0,3\ \text{cm} = 3,5\ \text{cm}\)

Das Volumen der Füllmenge berechnet man mit der Formel:

\(V=\pi\cdot r^2\cdot h=\pi \cdot 3,5^2\ \text{cm}^2\cdot20,7\ \text{cm}\approx796,6\ \text{cm}^3\approx 0,8\ \text{Liter}\)

Ergebnis

Die maximale Füllmenge beträgt ca. \(0,8 \ \text{Liter}\).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Füllhöhe für \(0,75\ Liter\)

Setzt man das vorgegebene Volumen in die Formel für das Zylindervolumen ein, erhält man die Höhe, bis zu der der Zylinder gefüllt werden muss.

\(\pi \cdot 3,5^2\ \text{cm}^2 \cdot h=750\ \text{cm}^3 \Longleftrightarrow h=\frac{750\ \text{cm}^3}{\pi\ \cdot\ 3,5^2 \text{cm}^2}\approx 19,5\ \text{cm}^2\)

Ergebnis

Die Füllhöhe des Zylinders beträgt ca. \(19,5\ \text{cm}\).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

Sprungfreiheit, Knickfreiheit

Für die Sprungfreiheit gilt:

\(h(–8) = f(–8)\)

\(h(-8)=-\frac{3}{64}\cdot(-8)^2-\frac 1 4\cdot (-8)+9=8\)

\(f(-8)=-\frac{1}{512}\cdot(-8)^3-\frac 3 8\cdot (-8)+6=8\)

Für Knickfreiheit müsste gelten:

\(h'(–8) = f'(–8)\)

\(h'(x)=-\frac{3}{32}\cdot x-\frac 1 4\)\(h'(-8)=-\frac{3}{32}\cdot (-8)-\frac 1 4= \frac 1 2\) 

\(f'(x)=\frac 3 {512}\cdot x^2-\frac 3 8\)\(f'(-8)=\frac 3 {512}\cdot (-8)^2-\frac 3 8= 0\) 

Ergebnis

Der Übergang ist sprungfrei, aber nicht knickfrei.

Größe des Winkels \(\alpha\)

Für den Winkel gilt hier:

\(tan(\alpha)=h'(8)=-1 \Leftrightarrow \alpha=-45^°\).

Ergebnis

Der Griff trifft in \(B\) den oberen Rand der Hülle in einem Winkel von \(45^°\).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Abstand Griff/oberer Rand der Hülle

Um den Abstand zwischen Griff und oberem Rand der Hülle zu ermitteln, wird die Differenzfunktion \(d(x) = h(x) – f(x)\) bestimmt. Der maximale Abstand entspricht dann dem Maximum der Differenzfunktion.

Für die Differenzfunktion \(d\) gilt:

\(d(x)=h(x)-f(x)=-\frac 1 {512}\cdot x^3-\frac 3 {64}\cdot x^2+\frac 1 8\cdot x +3\)

Der Hochpunkt des Graphen von \(d\) wird mit dem Taschenrechner ermittelt. Er liegt bei etwa \(H(1,24|3,08)\).

Abi 2015 Analysis GA - Abbildung 5

Ergebnis

Wegen \(y_H\approx 3,08\) ist der gemessene Abstand stets kleiner als \(3,5\ \text{cm}\).

Flächeninhalt des Querschnitts

Der Flächeninhalt des Querschnitts zwischen Griff und Hülle wird durch die Fläche wiedergegeben, die der Funktionsgraph von \(d\) mit der x-Achse im Intervall \(-8\leq x\leq 8\) umschließt. Für den Flächeninhalt \(A\) gilt:

\(A=\int^{8}_8d(x)\ \mathrm{dx}=\int(-\frac 1{512}\cdot x^3-\frac 3{64}\cdot x^2+\frac 1 8\cdot x+3)\ \mathrm{dx}=32\)

Ergebnis

Wegen \(32>30\) ist auch die 2. Bedingung erfüllt.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

c)

Begründung der Existenz einer Wendestelle und der Nichtexistenz von Extremstellen

Zu sehen ist der Graph einer Parabel mit einem Tiefpunkt. Die zugehörige Extremstelle ist genau die Wendestelle von \(p\), da die Extremstellen der 1. Ableitung die Wendestellen der Ausgangsfunktion sind.

Die Parabel verläuft vollständig oberhalb der x-Achse. Also ist \(p'(x)>0\). Das bedeutet, dass die Steigung von \(p\) stets positiv ist. Somit kann \(p\) keine Extremstellen haben, da dort die Steigung 0 sein müsste.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Punkte:  34

Aufgabe 1B

Bei der Untersuchung eines Patienten wird ein Atemstoßtest durchgeführt. Dazu soll der Patient einmal möglichst vollständig und schnell ausatmen. Die hierbei pro Zeit ausgeatmete Luft wird als Atemfluss bezeichnet. Dieser wird in Litern pro Sekunde und die Zeit in Sekunden gemessen. Der Messvorgang und das Ausatmen beginnen gleichzeitig zum Zeitpunkt \(t_0=0\ \text{s}\).
In den ersten drei Sekunden des Ausatmens wird der Atemfluss durch die Funktion \(f\) mit \(f(t)=40\cdot e^{-\frac 5 2 \cdot t}\), \(t\) in Sekunden, \(f(t)\) in Litern pro Sekunde, modelliert. Die Abbildung in der Anlage zeigt den Graphen von \(f\).

a) Bestimmen Sie den Zeitpunkt \(t_1\), zu dem der Atemfluss maximal ist. Bestimmen Sie den Zeitpunkt \(t_2\), zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt. Der Messvorgang wird beendet, wenn der Atemfluss nach dem Zeitpunkt \(t_1\) die Grenze von \(0,1 \frac{\text{L}}{\text{s}}\) unterschreitet. Berechnen Sie die Dauer des Messvorgangs.  

(11 BE)

b) Es wird modellhaft vorausgesetzt, dass die Lunge zum Zeitpunkt \(t_0=0 \ \text{s}\) voll und zum Zeitpunkt \(t_3=2,81\ \text{s}\) leer ist. Ein Patient wird als gesund eingestuft, wenn er innerhalb der ersten Sekunde mindestens \(75\ \%\) der in seiner Lunge vorhandenen Luft ausatmet. Entscheiden Sie, ob der obige Patient bezüglich dieses Kriteriums als gesund eingestuft werden kann.
Bestimmen Sie ein Zeitintervall ab \(t_1=0,4\ \text{s}\) so, dass der Patient innerhalb dieses Zeitintervalls \(1\) Liter Luft ausatmet.

(11 BE)

Unabhängig vom Sachzusammenhang werden im Folgenden die Funktion \(f\) und die Geraden \(g_k\) mit der Gleichung \(g_k(t)=k\cdot t,\ k \in \mathbb{R}\), betrachtet.

c) Bestimmen Sie den Wert des Parameters \(k\) so, dass die zugehörige Gerade \(g\) auf der Tangente an den Graphen von \(f\) im Wendepunkt senkrecht steht.
Ohne Nachweis können Sie verwenden: Wenn für die Steigungen \(m_1\) und \(m_2\) zweier Geraden die Beziehung gilt: \(m_1 \cdot m_2=-1\), dann stehen die zugehörigen Geraden senkrecht aufeinander.
Untersuchen Sie, wie viele Punkte die Geraden der Schar \(g_k\) mit dem Graphen der Funktion \(f\) in Abhängigkeit vom Wert des Parameters \(k\) jeweils gemeinsam haben.

(12 BE)

Abi 2015 Analysis GA - Abbildung 6

Lösung

Gegeben ist die Funktion f für den Atemfluss mit \(f(t)=40\cdot t \cdot e^{-\frac5 2\ \cdot\ t}\).

a)

Bestimmung des Zeitpunkts mit maximalem Atemfluss

Der Atemfluss ist maximal am Hochpunkt des Funktionsgraphen \(f\). Der Hochpunkt wird mit dem Taschenrechner ermittelt.

Abi 2015 Analysis GA - Abbildung 7

An der Stelle \(t_1 = 0,4\) liegt der Hochpunkt des Graphen.

Ergebnis

Der maximale Atemfluss wird zum Zeitpunkt \(t_1 = 0,4\ \text{s}\) erreicht.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Bestimmung des Zeitpunkts, zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt

Der Atemfluss nimmt an der Stelle am stärksten ab, an der der Graph von \(f'\) einen Tiefpunkt hat.

Der Graph der Ableitung von \(f\) wird mit dem Taschenrechner gezeichnet.

Abi 2015 Analysis GA - Abbildung 8

Ergebnis

Das Minimum von \(f'\) und damit der Zeitpunkt, zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt, liegt bei \(t_2 = 0,8\ \text{s}\).

Bestimmung der Grenze

An der Grenze gilt \(f(t) = 0,1\).

Die Gleichung \(f(t)=40\cdot t \cdot e^{-\frac5 2\ \cdot\ t}\) wird mithilfe der Schnittstelle der zugehörigen Graphen der Funktionen \(f(t)\) und \(y = 0,1\) mit dem Taschenrechner gelöst.

Abi 2015 Analysis GA - Abbildung 9

Für die Stelle rechts von \(t_1\) ergibt sich \(t\approx2,81\).

Ergebnis

Der Messprozess dauert etwa \(2,8\ \text{s}\).

b)

Entscheidung, ob der Patient krank ist

Mithilfe des Integrals wird die ausgeatmete Luftmenge bestimmt.

\(\int^1_0f(t)\ \mathrm{d}t =\int^1_040\cdot t\cdot e^{-2,5\ \cdot\ t}\ \mathrm{d}t \approx4,561\)

Die gesamte Luftmenge ergibt sich zu:

\(\int^{2,81}_0f(t)\ \mathrm{d}t =\int^{2,81}_040\cdot t\cdot e^{-2,5\ \cdot\ t}\ \mathrm{d}t \approx6,354\)

\(75\ \%\) von \(6,354\) sind etwa \(4,766\).

Ergebnis

Der Patient ist als nicht gesund einzuschätzen, da er mit \(4,561\) Litern weniger als \(4,766\) Liter innerhalb der ersten Sekunde ausatmet.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Bestimmung des Zeitintervalls für das Ausatmen von einem Liter Luft

Nun gilt \(\int^a_{0,4}f(t)\ \mathrm{d}t=1\).

Die Integralgleichung wird mithilfe der Schnittstelle der zugehörigen Graphen mit dem Taschenrechner im Bereich \(a > 0\) gelöst.

Abi 2015 Analysis GA - Abbildung 10

Das gesuchte Zeitintervall lautet \([0,400; 0,574]\).

Ergebnis

Der Patient atmet im Zeitintervall \([0,400; 0,574]\) einen Liter Luft aus.

c)

Bestimmung des Wertes des Parameters k

Zunächst wird die Steigung des Graphen von \(f\) an der Wendestelle bestimmt. Die Wendestelle liegt bei \(t_2 = 0,8\).

Die Ableitung von \(f\) lautet:

\(f '(t)=40\cdot e^{-2,5\ \cdot\ t}+40\cdot t \cdot (-2,5)\cdot e^{-2,5\ \cdot\ t}=40\cdot e^{-2,5\ \cdot\ t}-100\cdot t \cdot e^{-2,5\ \cdot\ t}\)

Für die Steigung in \(t_2\) folgt dann:

\(f'(0,8)=40\cdot e^{-2,5\ \cdot\ 0,8}-100\cdot 0,8 \cdot e^{-2,5\ \cdot\ 0,8}\approx-5,413\)

Mithilfe der vorgegebenen Gleichung ergibt sich dann die Steigung der Geraden g zu:

\(k=-\frac{1}{f'(0,8)}\approx-\frac {1}{-5,413}\approx0,185\)

Ergebnis

Der Parameter hat den Wert \(0,185\).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Untersuchung auf gemeinsame Schnittpunkte der Graphen

Zur Ermittlung möglicher Schnittstellen werden die Terme von \(g\) und \(f\) gleichgesetzt.

\(40 \cdot t \cdot e^{-2,5\ \cdot\ t}=k\cdot t\Leftrightarrow 40 \cdot t \cdot e^{-2,5\ \cdot\ t}-k\cdot t=t\cdot (40 \cdot e^{-2,5\ \cdot\ t}-k)=0\)

Die Gleichung ist erfüllt, wenn \(t=0 \) oder \(40 \cdot e^{-2,5\ \cdot\ t}-k=0\) ist.

Damit gibt es unabhängig von \(k\) mindestens einen gemeinsamen Schnittpunkt bei \(t = 0\).

\(40 \cdot e^{-2,5\ \cdot\ t}-k=0 \Leftrightarrow40 \cdot e^{-2,5\ \cdot\ t}=k \Leftrightarrow e^{-2,5\ \cdot\ t}=\frac k{40}\)

Die Gleichung kann weiter nach \(t\) aufgelöst werden, wenn \(k > 0\) ist. Denn der Logarithmus existiert nur von einer positiven Zahl.

\(-2,5\cdot t=\mathrm{ln}\left(\frac{k}{40}\right)\Leftrightarrow t=\frac{\mathrm{ln}\left(\frac{k}{40}\right)}{-2,5}=-\frac 2 5\cdot \mathrm{ln}\left(\frac{k}{40}\right)\)

Wenn \(k = 40\) beträgt, ist \(\mathrm{ln}\left(\frac k {40}\right)\) und damit \( t = 0\).

Für \(k = 40\) und \(k < 0\) gibt es also nur einen gemeinsamen Schnittpunkt der Graphen von \(g\) und \(f\).

Für \(0 < k < 40\) und \(k > 40\) existieren zwei Schnittpunkte der Graphen von \(g\) und \(f\), nämlich an den Stellen \(0\) und \(-\frac{2}{5}\cdot \mathrm{ln}\left(\frac k {40}\right)\).

Ergebnis

Die Geraden der Schar \(g_k\) und der Graph der Funktion \(f\) haben:
– einen gemeinsamen Punkt für \(k = 40\) und \(k < 0\).
– zwei gemeinsame Punkte für \(0 < k < 40\) und \(k > 40\).

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  • Punkte:  34
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