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Abi 2015 Analysis eA


Aufgabe 1A

Eine Isolierkanne besteht aus einer Kunststoffhülle sowie einem Glaseinsatz und soll modellmäßig beschrieben werden. Die Kanne wird entsprechend der folgenden Abbildung im Koordinatensystem liegend betrachtet.

Abi 2015 Analysis eA - Abbildung 1

Außen wird der obere Rand der Hülle für \(-11\leq x \leq 11\) beschrieben durch eine Funktion \(f\) mit \(f(x)=\frac{1}{512}\cdot x^3-\frac{3}{8}\cdot x+6\,;\, x\) und \(f(x)\) in Zentimetern.

  1. Die parallel zur y-Achse gemessene Wandstärke der Hülle beträgt 2 mm. Begründen Sie, dass innen der obere Rand der Hülle für \(-11\leq x \leq 11\) durch eine Funktion \(g\) mit \(g(x)=\frac{1}{512}\cdot x^3-\frac{3}{8}\cdot x+5,8\) beschrieben wird; \(x\) und \(g(x)\) in Zentimetern. 
    Bestimmen Sie den Innendurchmesser der Hülle am Boden und den maximalen Innendurchmesser der Hülle.
    Die Hülle erhält einen zylinderförmigen Einsatz aus Glas wie in der obigen Abbildung dargestellt. Seine Wandstärke beträgt 3 mm. Der Einsatz reicht vom Boden bis 1 cm unterhalb der Öffnung.
    Berechnen Sie die Höhe, bis zu der der Einsatz gefüllt werden muss, damit er 0,75 Liter Flüssigkeit enthält.
  2. An der Hülle wird ein Griff angebracht. Der Rand des Griffs wird für \(-8\leq x \leq 8\) beschrieben durch eine Funktion \(h\) mit \(h(x)=-\frac{1}{256}\cdot x^3-\frac{3}{64}\cdot x^2+9\,;\,x\) und \(h(x)\) in Zentimetern.
    Zeigen Sie, dass der Übergang zwischen der Modellierung von Griff und Hülle an der Stelle \(x=-8\) sprung- und knickfrei, aber nicht krümmungsruckfrei ist.
    Der obere Rand der Hülle hat im Punkt \(B(8 | 4)\) eine waagerechte Tangente.
    Bestimmen Sie die Größe des Winkels \(\alpha\), unter dem der Griff im Punkt \(B\) auf den oberen Rand der Hülle trifft.
    Zeigen Sie, dass der parallel zur \(y\)-Achse gemessene Abstand zwischen Griff und oberem Rand der Hülle stets kleiner als 3,7 cm ist.
  3. Die äußere Hülle (ohne Deckel und Boden) wird aus Kunststoff gefertigt. 
    Berechnen Sie die Masse des dafür benötigten Kunststoffs, wenn 1cm³ Kunststoff eine Masse von 0,91g hat (Nur für CAS).
    Berechnen Sie das Volumen des dafür benötigten Kunststoffs (Nur für GTR).
    Die senkrecht zum Graphen von \(f\) gemessene Dicke \(d\) der Hülle soll untersucht werden. Eine Gerade, die senkrecht zum Graphen von \(f\) durch den Punkt \(C(0 | 6)\) verläuft, hat die Gleichung \(n(x)=\frac{8}{3}\cdot x+6.\)
    Untersuchen Sie, ob die Dicke \(d\) im Punkt \(C(0 | 6)\) um weniger als 10% von der parallel zur \(y\)-Achse gemessenen Wandstärke abweicht.
  4. Unabhängig vom Sachzusammenhang werden Graphen ganzrationaler Funktionen \(p\) dritten Grades betrachtet, die neben einem Wendepunkt auch einen Hoch- und einen Tiefpunkt haben.
    In der folgenden Abbildung ist der Graph einer möglichen Ableitungsfunktion \(p'\) dargestellt.

    Abi 2015 Analysis eA - Abbildung 2

    Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass für jeden Graphen einer ganzrationalen Funktion \(p\) dritten Grades mit obigen Eigenschaften gilt:
    1. Die \(x\)-Koordinate des Wendepunktes liegt in der Mitte zwischen der \(x\)-Koordinate des Hoch- und der \(x\)-Koordinate des Tiefpunktes.
    2. Hoch-, Wende- und Tiefpunkt liegen auf einer Geraden.

(14 + 12 + 13 + 7 BE)

Lösung

  1. Begründung der Funktionsgleichung:
    Damit eine Wandstärke von 2 mm erreicht wird, muss die Differenz der begrenzenden Funktionen \(f\) und \(g\) 2 mm = 0,2 cm betragen. Dies ergibt die Rechnung.
    Innendurchmesser der Hülle am Boden:
    Der Innendurchmesser am Boden errechnet sich aus dem 2-fachen des Funktionswertes von \(g\) an der Stelle \(x=-11\). Der Innendurchmesser beträgt rund 14,7 cm.
    Maximaler Innendurchmesser der Hülle:
    Der maximale Innendurchmesser im Intervall \(-11\le x\le 11\) lässt sich mit der Funktion fMax berechnen. Man erhält 15,6 cm.
    Abi 2015 Analysis eA - Abbildung 3

    Maximale Füllhöhe des Einsatzes:
    Den Zylinderradius des Glaseinsatzes bestimmt man als Differenz des minimalen Funktionswertes von g und der Wandstärke. Der Radius beträgt 3,5 cm. Um 0,75 l = 750 cm3 einzufüllen, errechnet man aus der Volumenformel für Zylinder \(V=\pi r^2h\) eine Füllhöhe von 19,5 cm.

    Abi 2015 Analysis eA - Abbildung 4
  2. Sprungfreiheit:
    Beide Funktionswerte für \(x=-8\) sind gleich.
    Knickfreiheit:
    Beider Werte für die 1. Ableitung für \(x=-8\) sind gleich.
    Keine Krümmungsruckfreiheit:
    Die Werte der 2. Ableitung unterscheiden sich. Betrachtet werden die Funktionen von Hülle \(f(x)\) und Griff \(h(x).\) Es liegt ein Krümmungsruck vor.

    Abi 2015 Analysis eA - Abbildung 5


    Größe des Winkels \(\alpha\):
    Zur Bestimmung des Winkels \(\alpha\), unter dem der Griff im Punkt \(B(8|4)\) auf den oberen Rand der Hülle trifft, benötigt man den Wert der 1. Ableitung von \(h(x)\) an der Stelle \(x=8\): \(h'(8)=-1,5\)Als Winkel zwischen Hülle und Griff erhält man \(\alpha\approx 56,3°\).
    Abstand Griff / oberer Rand der Hülle:
    Den Abstand zwischen Griff und oberem Rand beschreibt die Funktion \(h(x)-f(x)\)Ihr Maximum kann mit der Funktion fMax ermittelt werden. Es beträgt 3,55 cm, was kleiner als 3,7 cm ist.

    Abi 2015 Analysis eA - Abbildung 6

     
  3. Masse des benötigten Kunststoffs:
    Die äußere Hülle ist ein innen hohler Rotationskörper. Das Volumen der Hülle berechnet sich als Differenz des äußeren (\(f(x)\)) und des inneren (\(g(x)\)) Rotationskörpers.
    Die gesucht Masse ist das Produkt aus Volumen und Dichte (0,91 g/cm³). Die Masse beträgt 148,43 g.

    Abi 2015 Analysis eA - Abbildung 7


    Dicke der Hülle:
    Die senkrecht zum Graphen von \(f\) in \(C(0|6)\) gemessene Dicke \(d\) der Hülle erhält man im Punkt \(C(0|6)\) durch die Normale im Punkt \(C\). Dazu berechnet man ihren Schnittpunkt \(S\) mit dem Graphen von \(g\). Der Punktabstand von \(C\) und \(S\) ist die gesuchte Dicke \(d\).

    Abi 2015 Analysis eA - Abbildung 8

     
  4. Ganzrationale Funktion dritten Grades:
    Die Ableitungsfunktion \(p'(x)\) hat zwei Nullstellen: \(x_1\) und \(x_3\). Da \(p'(x)\) bei \(x_1\) das Vorzeichen von „+“ nach „– wechselt, befindet sich dort ein Hochpunkt von \(p(x)\). Analog existiert ein Tiefpunkt bei \(x_3\). Bei \(x_2\) ist ein Tiefpunkt von \(p'(x)\) und damit ein Wendepunkt von \(p(x)\). Die Parabelachse von \(p'(x)\) ist die Gerade \(x=x_2\). \(x_1\) und \(x_3\) liegen symmetrisch zu \(x_2\). Somit ist die Änderung von \(p(x)\) zwischen \(x_1\) und \(x_2\) genauso groß wie die Änderung zwischen \(x_2\) und \(x_3\)

    HP(\(x_1\)|?) und TP(\(x_3\)|?) liegen punktsymmetrisch zu WP(\(x_2\)|?). Somit liegen diese drei Punkte auf einer Geraden.

Aufgabe 1B

Bei der Untersuchung eines Patienten wird ein Atemstoßtest durchgeführt. Dazu soll der Patient einmal möglichst vollständig und schnell ausatmen. Die hierbei pro Zeit ausgeatmete Luft wird als Atemfluss bezeichnet. Dieser wird in Litern pro Sekunde und die Zeit in Sekunden gemessen. Der Messvorgang und das Ausatmen beginnen gleichzeitig zum Zeitpunkt \(t_0=0\)s.
In den ersten drei Sekunden des Ausatmens wird der Atemfluss durch die Funktion \(f\) mit \(f(t)=40\cdot t\cdot\text{e}^{-\frac{5}{2}t}\)\(t\) in Sekunden, \(f(t)\) in Litern pro Sekunde, modelliert. Die folgende Abbildung zeigt den Graphen von \(f\).

Abi 2015 Analysis eA - Abbildung 9

  1. Bestimmen Sie den Zeitpunkt \(t_1\), zu dem der Atemfluss maximal ist.
    Bestimmen Sie den Zeitpunkt \(t_2\), zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt.
    Der Messvorgang wird beendet, wenn der Atemfluss nach dem Zeitpunkt \(t_1\) die Grenze von \(0,1\frac{L}{s}\) unterschreitet.
    Berechnen Sie die Dauer des Messvorgangs.
  2. Es wird modellhaft vorausgesetzt, dass die Lunge zum Zeitpunkt \(t_0=0\)s voll und zum Zeitpunkt \(t_3=2,81\)s leer ist. Ein Patient wird als gesund eingestuft, wenn er innerhalb der ersten Sekunde mindestens 75% der in seiner Lunge vorhandenen Luft ausatmet.
    Entscheiden Sie, ob der obige Patient bezüglich dieses Kriteriums als gesund eingestuft werden kann. 
    Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Patient 3,2 Liter Luft ausgeatmet hat.
  3. Bei einer weiteren Messung wird der Atemfluss durch die Funktion \(g\) mit \(g(t)=35\cdot t\cdot\text{e}^{-\frac{5}{2}t}\)\(t\) in Sekunden, \(g(t)\) in Litern pro Sekunde, modelliert.
    Begründen Sie ohne Rechnung, dass bei dieser Modellierung die Zeitpunkte \(t_1\) und \(t_2\) aus Teilaufgabe a) gleich bleiben.
    Durch einen Defekt des Messgerätes werden bei dieser Messung nur Atemflusswerte unterhalb eines unbekannten Schwellenwertes \(S\) aufgezeichnet. Nach der Messung wird festgestellt, dass dadurch für einen Zeitraum von 0,25 Sekunden keine Atemflusswerte aufgezeichnet wurden. Die folgende Abbildung verdeutlicht diesen Sachverhalt.

    Abi 2015 Analysis eA - Abbildung 10

    Bestimmen Sie das Zeitintervall, in dem das Messgerät keine Werte aufzeichnet, und den Schwellenwert \(S\).
  4. Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die Funktion \(h\) mit \(h(x)=x^2\cdot\text{e}^{x^2}\) gegeben.
    CAS:
    • Zeigen Sie, dass der Graph von \(h\) an der Stelle \(x=0\) eine waagerechte Tangente hat.
    • Im Folgenden wird die Funktion \(k\) mit \(k(x)=p(x)\cdot\text{e}^{p(x)}\) betrachtet.
    • Untersuchen Sie, wie viele Stellen mit waagerechter Tangente der Graph von \(k\) haben kann, wenn \(p\) eine quadratische Funktion ist.
    • Im Folgenden soll \(p\) eine beliebige differenzierbare Funktion sein.
    ​​GTR:
    • Weisen Sie nach, dass sich die erste Ableitung von h in der Form \(h'(x)=2\cdot x\cdot m(x)\) mit geeigneter Funktion \(m\) schreiben lässt.
    • Begründen Sie, dass der Graph von h an der Stelle \(x=0\) eine waagerechte Tangente hat.
    • IIm Folgenden wird die Funktion \(k\) mit \(k(x)=p(x)\cdot\text{e}^{p(x)}\) betrachtet. Die Funktion \(p\) ist differenzierbar.
    Beurteilen Sie, ob der Graph von \(k\) an allen Extremstellen von \(p\) jeweils eine waagerechte Tangente hat.

(CAS: 11 + 11 + 10 + 14 BE)
(GTR: 11 + 12 + 11 + 12 BE)

Lösung

  1. Zeitpunkt mit maximalem Atemfluss:
    Der Zeitpunkt \( t_1\) des maximalen Atemflusses stellt einen Hochpunkt der Funktion des Atemflusses dar. Er wird nach 0,4 Sekunden erreicht.
    Zeitpunkt, zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt:
    Dieser Zeitpunkt \(t_2\) ist ein lokales Minimum der Ableitungsfunktion \(f'\) des Atemflusses. Er wird nach 0,8 Sekunden erreicht.
    Ende des Messvorgangs:
    Das Ende des Messvorgangs wird erreicht, wenn \(t>t_1\) und \(f(t)>0,1\) gilt. Der Messvorgang dauert rund 2,81 Sekunden.

    Abi 2015 Analysis eA - Abbildung 11
     
  2. Entscheidung, ob der Patient gesund ist:
    Das ausgeatmete Luftvolumen ergibt sich als Integral über die Funktion des Atemflusses vom Zeitpunkt \(t = 0\) bis zum Ende des Messvorgangs bzw. bis zum Zeitpunkt \(t = 1\). Als Prozentsatz erhält man 71,8%. Der Patient kann nicht als gesund eingestuft werden.
    Zeitpunkt bestimmen:
    Der Zeitpunkt, zu dem der Patient 3,2 Liter Luft ausgeatmet hat, ergibt sich aus dem Ansatz 
    \(\int\limits_0^x f(t)\text{d}t=3,2\)
    zu \(x=0,67\).

    Abi 2015 Analysis eA - Abbildung 12
     
  3. Modelle vergleichen:
    Es gilt: \(f(t)=\frac{8}{7}g(t)\), die Graphen unterscheiden sich nur durch einen Streckungs- bzw. Stauchungsfaktor. Dadurch werden die Funktionswerte verändert, nicht aber die charakteristischen Stellen \(t_1\) und \(t_2\).
    Zeitintervall, in dem das defekte Gerät keine Werte aufzeichnet:
    Aus der grafischen Darstellung der Messwerte des Atemflusses bei defektem Messgerät ergibt sich der Ansatz für das Zeitintervall \([t; t + 0,25]\):
    solve(g(t)=g(t+0.25),t) mit der Lösung {t=0.2879368430801}.
    Ergebnis: 
    Im Zeitintervall \([0,29; 0,54]\) werden keine Messwerte aufgezeichnet.
    Bestimmung des Schwellenwerts:
    S=g(t)|t=0.2879368431=4.906161362 ist der gesuchte Schwellenwert.
    Ergebnis: Der Schwellenwert beträgt 4,9 Liter.
  4. Waagerechte Tangente an den Graphen von \(h\):
    Eine waagerechte Tangente liegt vor, wenn \(h'(x)=0\) ist. Mit CAS kann man diesen Wert direkt berechnen, ohne die Ableitungsfunktion zu bilden. Man kann auch die Tangentengleichung (\(y = 0\)) an der Stelle 0 angeben.
    Waagerechte Tangenten an den Graphen von \(k\):
    Für eine quadratische Funktion \(p(x)\) hat \(k(x)\) eine waagerechte Tangente, wenn die Ableitung gleich null ist. Es gibt drei Nullstellen, wenn die Diskriminante \(b^2-4ac-4a>0\) ist, oder genau eine Nullstelle.

    Abi 2015 Analysis eA - Abbildung 13

    Beurteilen, ob der Graph von \(k\) an allen Extremstellen von \(p\) eine waagerechte Tangente hat:
    Sei \(k(x)=p(x)\cdot\text{e}^{p(x)}\).
    Die Ableitungsfunktion erhält man mit der Produkt- und Kettenregel:
    \(k'(x)=p'(x)\cdot\text{e}^{p(x)}+p(x)\cdot\text{e}^{p(x)}\cdotp(x)=p'(x)\cdot(1+p(x))\cdot\text{e}^{p(x)}.\)
    An den Extremstellen von \(p(x)\) gilt \(p'(x)=0\) und damit auch \(k'(x)=0\), der Graph von \(k\) besitzt an diesen Stellen eine waagerechte Tangente.
    Ergänzung für den GTR-Teil:
    Die erste Ableitung von \(h(x)=x^2\cdot\text{e}^{x^2}\)lautet \(h'(x)=2x\cdot\text{e}^{x^2}(1+x^2)\). Dies entspricht der geforderten Form \(h'(x)=2x\cdot m(x)\), wenn man \(m(x)=\text{e}^{x^2}(1+x^2)\) setzt.
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