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Abi 2015 Analysis Aufgabe 2 GK


Eine Gärtnerei vertreibt ein tunnelförmiges Foliengewächshaus, dessen Bodenfläche 12 m lang und 7 m breit ist und dessen Höhe 3 m beträgt.

Abi 2015 Analysis Aufgabe 2 GK - Abbildung 1

Aufgabe 1

Ermitteln Sie die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion \(p\), deren Graph die parabelförmige Berandung der vorderen Abschlussfläche des Gewächshauses beschreibt.
\(\left[\text{zur Kontrolle:}\;p(x)=-\frac{12}{49}\cdot x^2+3,\quad x\in[-3,5;\ 3,5]\quad(\text{in Metern})\right]\)

Lösung

Die allgemeine Parabelgleichung lautet:

\(y=f(x)=ax^2+bx+c\)

Die 1. Ableitung ist gegeben durch:

\(f'(x)=2ax+b\)

Ermittlung der Funktionsgleichung:

  • Höhe der Konstruktion ist \(3\ \text{m}\Rightarrow f(x=0)=3\Rightarrow c=3 \).
  • Bei \(x=0\) hat der Graph von \(f(x)\) eine waagerechte Tangente.
    \(\Rightarrow f'(0)=2a\cdot 0+b=0\Rightarrow b=0\)
  • Halbe Breite des Querschnitts ist 3,50 m.
    \(\Rightarrow f\left(\pm\frac{7}{2}\right)=0\Rightarrow a\cdot\frac{49}{4}+3=0\Rightarrow a=-\frac{12}{49}\)
  • Also:
    \(f(x)=-\frac{12}{49}x^2+3\)
  • Punkte:  7

Aufgabe 2

Berechnen Sie das gesamte Volumen des Gewächshauses unter der Annahme, dass die vordere und hintere Abschlussfläche senkrecht auf der Bodenfläche stehen.

Lösung

Volumen = Länge mal Querschnittsfläche, wobei die Querschnittsfläche \(Q\) die Fläche unter dem Funktionsgraphen ist und durch bestimmte Integration berechnet werden kann.

\(\Rightarrow Q=\int\limits_{-3,5}^{3,5}\left(-\frac{12}{49}x^2+3\right)\text{d}x=\left[-\frac{4}{49}x^3+3x\right]_{\small -3,5}^{\small 3,5}=14\;[\text{m}^2]\)

Das Volumen unter der Folie beträgt \(12\,\text{m}\cdot14\,\text{m}^2=168\,\text{m}^3\).

  • Punkte:  8

Aufgabe 3

Um eine geeignete Arbeitshöhe für die Gärtner zu bekommen, wird in einer Hälfte des Gewächshauses in 1 Meter Höhe über die gesamte Länge des Gewächshauses ein Zwischenboden eingefügt. 

Abi 2015 Analysis Aufgabe 2 GK - Abbildung 2

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Zwischenbodens.
Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Zwischenboden kleiner ist als die Bodenfläche dieser Gewächshaushälfte.

Lösung

Der Zwischenboden ist \(12\ \text{m}\) lang. Für seine halbe Breite gilt \(f(b)=1\).
\(\Rightarrow 1=-\frac{12}{49}b^2+3\Rightarrow b=\frac{7}{\sqrt{6}}\approx2,86\)

Der Zwischenboden ist etwa \(12b = 34,29\,[\text{m}^2]\) groß. Die halbe Grundfläche der Konstruktion ist \(12\,\text{m}\cdot 3,5\,\text{m} = 42\,\text{m}^2\). Der Zwischenboden ist also etwa 18,4 % kleiner als die Grundfläche.

  • Punkte:  7

Aufgabe 4

Mehrere Kunden reklamieren, dass das Gewächshaus im oberen Bereich zu eng gebaut sei. Die Firma möchte mit einer Halbkreis-Form Abhilfe schaffen (siehe Abbildung). Die Höhe und die Länge des Gewächshauses sollen beibehalten werden.

Abi 2015 Analysis Aufgabe 2 GK - Abbildung 3

Bestimmen Sie den Verbrauch an Folie für die neue Bedachung (ohne Vorder- und Rückseite). 
(Information: Die Gleichung \(x^2+y^2=r^2\) beschreibt einen Kreis mit dem Radius \(r\), dessen Mittelpunkt im Nullpunkt des Koordinatensystems liegt.)

Lösung

Die gesuchte Fläche ist die halbe Mantelfläche eines Zylinders mit Radius \(3\,\text{m}\) und Länge \(12\,\text{m}\). Sie beträgt \(12\,\text{m}\cdot\pi\cdot 3\,\text{m}\approx 113,10\,\text{m}^2\). Der Folienverbrauch beträgt also \(113,10\,\text{m}^2\).

  • Punkte:  4

Aufgabe 5

Leiten Sie ausgehend von den Informationen zu der obigen Abbildung die Funktionsgleichung einer Funktion \(k\) her, mit deren Graph der Rand der halbkreisförmigen vorderen Abschlussfläche des Gewächshauses beschrieben werden kann.
\(\left[\text{zur Kontrolle:}\;k(x)=\sqrt{9-x^2}\;\text{für}\;-3\leq x\leq3\right]\)

Lösung

Unter Zuhilfenahme der obigen Information erhält man für \(k\):
\(y^2+x^2=r^2\stackrel{r=3}{=}9 \Longrightarrow y\equiv k(x) =\sqrt{9-x^2}\)

  • Punkte:  5

Aufgabe 6

Um im unteren Bereich mehr Breite zu gewinnen, wird der Kreisbogen ab den Punkten \(P_1(-2,5|k(x=-2,5))\) und \(P_2(2,5|k(x=2,5))\) durch Tangenten ersetzt.
Berechnen Sie die neue Breite der Bodenfläche des Gewächshauses.
Hinweis: Sie können einfache geometrische Beziehungen zwischen Kreisradius und Kreistangente nutzen. 

Lösung

Aus Symmetriegründen braucht man nur einen Punkt zu betrachten:

  • Tangentengleichung\(t(x)=mx+c\)
  • Steigung \(m\) entspricht der Ableitung in Punkt \(P_2\):
    1. Ableitung: \(k'(x)=\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}}\)
    \(m=k'(x=2,5)=-\frac{2,5}{\sqrt{9\ -\ 2,5^2}}=-\frac{5}{\sqrt{11}}\approx-1,51\)
  • \(k(x=2,5)=t(x=2,5)\Rightarrow\frac{\sqrt{11}}{2}=-\frac{5}{\sqrt{11}}\cdot\frac{5}{2}+c\Rightarrow c=\frac{18}{\sqrt{11}}\approx5,43\)
  • Tangentengleichung: \(t(x)=-\frac{5}{\sqrt{11}}\cdot x+ \frac{18}{\sqrt{11}}\)
  • Am Boden hat die Tangente den Funktionswert null. Nullstelle der Tangentenfunktion:
    \(t(x_0)=0\Rightarrow x_0=3,6\)

Die Nullstelle der Tangente entspricht der halben Breite der neuen Konstruktion, also ist diese insgesamt rund \(7,2\ \text{m}\) breit. Die neue Breite der Bodenfläche des Gewächshauses beträgt also \(7,2\ \text{m}\).

  • Punkte:  9
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