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Abi 2015 Analysis A2 LK


Aufgabe 1

Im Material sind die Graphen einer Funktion der Funktionenschar \(f_k\) mit \(f_k(x) = \mathrm{sin}(x) + k·x,\ k \in \mathbb R\), und ihrer Ableitungsfunktion zu sehen.

1.1

Geben Sie die erste Ableitung von \(f_k \) an. Beschriften Sie die Graphen im Material jeweils mit der zugehörigen Funktion. Bestimmen Sie \(k\) für die im Material abgebildeten Funktionsgraphen.

(4 BE)

1.2

Untersuchen Sie unter Einbeziehung der Eigenschaften des Graphen der Ableitungsfunktion, für welche Werte von \(k\) die Scharfunktionen \(f_k \) Extremstellen haben.

(5 BE)

1.3

Skizzieren Sie im Material die Fläche zwischen dem Graphen von \(f_k \) und der Geraden mit der Gleichung \(y=k \cdot x\) über dem Intervall \([0;2π]\) für den in Aufgabe 1.1 bestimmten Wert von \(k\)

(2 BE)

1.4

Betrachtet werden für jede Scharfunktion \(f_k \) die Flächenstücke zwischen dem Graphen von \(f_k \) und der Geraden mit der Gleichung \(y=k \cdot x\), die jeweils von zwei aufeinanderfolgenden Schnittpunkten begrenzt werden. Zeigen Sie mithilfe geeigneter Rechnungen, dass alle diese Flächenstücke unabhängig von \(k\) gleich groß sind.

(5 BE)

Material

Graphen einer Funktion der Funktionenschar \(f_k\) mit \(f_k(x)=sin(x)+k\cdot x, \ k\in\mathbb R\) und ihrer Ableitungsfunktion.

Abi 2015 Analysis A2 LK - Abbildung 1

 

 

Lösung

1.1

Ableitung berechnen und Graphen zuordnen

\(f_k(x)=\mathrm{sin} (x)+kx\\ f_k'(x)=\mathrm{cos} (x)+k\)

Die Ableitung ist eine um \(k\) nach oben \((k > 0)\) bzw. unten \((k < 0)\) verschobene Kosinusfunktion, das entspricht dem in der rechten Bildhälfte unteren Graphen. Am y-Achsenabschnitt von 1,5 liest man ab, dass \(k = 0,5\) sein muss.

Abi 2015 Analysis A2 LK - Abbildung 2

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1.2

Extremstellen

Notwendige Voraussetzung einer Extremstelle ist eine Nullstelle der Ableitung.

\(f_k'(x)=\mathrm{cos} (x)+k=0 \Leftrightarrow k=-\mathrm{cos} (x)\)

Der Parameter \(k\) muss also im Wertebereich der Kosinusfunktion liegen, also \(-1\leq k\leq1\).

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1.3

Skizze der Fläche zwischen fk(x) und kx

Abi 2015 Analysis A2 LK - Abbildung 3

1.4

Beweis der Gleichheit aller Flächenstücke

Die Fläche zwischen den angegebenen Funktionsgraphen im Intervall \(\left[n\pi; (n+1)\pi\right]\ (n\ge0)\) wird durch das folgende bestimmte Integral angegeben:

\(\left|\int_{n\pi}^{(n\ +\ 1)\pi}\left(f(x)-kx\right)\ \mathrm dx\right|=\left|\int_{n\pi}^{(n\ +\ 1)\pi}\mathrm{sin} x\ \mathrm dx\right|\\=\left|\left[-\mathrm{cos}x\right]_{n\pi}^{(n\ +\ 1)\pi}\right|=\left|-\mathrm{cos}((n+1)\pi)+\mathrm{cos}\pi\right|=2\)

Von zwei benachbarten ganzzahligen Vielfachen von \(p\) hat immer ein Flächenstück den Wert \(1\) und eines den Wert \(–1\), daher ergibt die Summe vor dem letzten Gleichheitszeichen immer unabhängig von \(k\) betragsmäßig \(2\).

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  • Punkte:  16

Aufgabe 2

Der Temperaturverlauf eines Tages (gemessen in \(^°C\)) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (gemessen in Stunden) kann modellhaft durch eine Funktion \(g\) dargestellt werden, die folgende Form hat:

\(g(t)=a\cdot \mathrm{sin}\left(\frac 1 {12}\pi\cdot(t-b)\right)+c,\ t\in \mathbb R,\ 0\leq t\leq24 \) und \(a,\ b,\ c\in \mathbb R\)

An einem bestimmten Tag wird um \(4\ \text {Uhr}\) morgens die tiefste Tagestemperatur von \(16\ ^°C\) gemessen. Im Laufe des Tages steigt die Temperatur auf einen Maximalwert von \(26\ ^°C\) an. Bestimmen Sie unter Nutzung Ihrer Kenntnisse über die Eigenschaften der Sinusfunktion zu den gegebenen Daten passende Werte für die Parameter \(a,\ b\) und \(c\). Beschreiben Sie die Bedeutung der Parameter im Sachzusammenhang. 

(8 BE)

Lösung

Parameter einer Sinusfunktion bestimmen

Wertebereich des Tagesgangs: \(16\ ^°C\leq g(t)\leq26\ ^°C\), die Mitteltemperatur beträgt \(21\ ^°C\). Damit \(g(t)\) um \(5\ ^°C\) nach oben und unten um den Wert \(21\ ^°C\) schwankt, müssen \(|a| = 5\) und\( c = +21\) sein. Das Vorzeichen von \(a\) ergibt sich aus der Tatsache, dass die Temperatur nach Mitternacht zunächst abnehmen soll, also \(a = -5\).

Der Vorfaktor \(\frac \pi {12}\) streckt die Periode der Sinusfunktion von \(2\pi\) auf \(24\), damit also eine volle Periode genau einen Tag lang dauert.

Der Parameter \(b\) schließlich verschiebt den gesamten Funktionsgraphen horizontal. Die negative Sinusfunktion erreicht ihr Minimum nach einer Viertelperiode, in unserem Fall also um \(6\ \text{Uhr}\) morgens. Damit dies bereits um \(4\ \text{Uhr}\) geschieht, muss \(b = -2\) sein (Verschiebung nach links).

Ergebnis:

\(g(t)=-5\ \mathrm{sin}\left(\frac \pi{12}(t+2)\right)+21\)

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  • Punkte:  8

Aufgabe 3

An einem bestimmten Tag wird in der Stadt Frankfurt am Main der Temperaturverlauf annähernd durch die Funktion \(h\) beschrieben mit:

\(h(t)=-6\cdot\mathrm{sin}\left(\frac \pi{12}t+\frac \pi{12}\right)+0,4t+10,5,\ t\in \mathbb R,\ 0\leq t\leq 24\)
(\(t\) in Stunden, \(h(t)\) in \(^°C\) auf eine Nachkommastelle genau angegeben.)

3.1

Untersuchen Sie, zu welcher Uhrzeit die minimale und zu welcher Uhrzeit die maximale Temperatur erreicht wird.

Hinweis: Eine Betrachtung der Randwerte ist nicht erforderlich.

(9 BE)

3.2

Liegen nur wenige Temperaturmessungen vor, wird die mittlere Tagestemperatur näherungsweise nach der Formel \(T_L=\frac 1 4(T_0+T_6+T_{12}+T_{18})\) berechnet, wobei \(T_0,\ T_6,\ T_{12}\) und \(T_{18}\) die gemessenen Temperaturen zu den sogenannten „synoptischen Stunden“ um \(0,\ 6,\ 12\) und \(18\ \text{Uhr}\) des Tages bezeichnen. Berechnen Sie mithilfe von \(h\) und dieser Formel die mittlere Tagestemperatur an diesem Tag.

(3 BE)

3.3

Mit \(\overline T=\frac 1 {24}\int_0^{24}h(t)\ \mathrm d t\) kann ebenfalls eine sinnvolle mittlere Tagestemperatur berechnet werden. Berechnen Sie damit die mittlere Tagestemperatur in Frankfurt an diesem Tag. Berechnen Sie zudem die prozentuale Abweichung der Näherung durch die „synoptische Stunden“-Formel aus Aufgabe 3.2 vom hier berechneten Wert von \(\overline T\)

(4 BE)

Lösung

3.1

Extrema des Tagesgangs

\(\begin{array}{rl}\\ h(t)&=&-6\cdot\mathrm{sin}\left(\frac\pi{12}t+\frac\pi{12}\right)+0,4t+10,5\\ h'(t)&=&-6\cdot\mathrm{cos}\left(\frac\pi{12}t+\frac\pi{12}\right)\cdot \frac\pi{12}+0,4\\ h'(t)&=&0 \quad \Rightarrow t=\frac {12}\pi \mathrm {arccos} \left(\frac{0,8}{\pi}\right)-1 \end{array}\\ \)

Diese Gleichung hat zwei Lösungen, \(t_1\approx 4,016\) und \( t_2 \approx17,984\). Da der Sinusterm in der Funktionsgleichung ein negatives Vorzeichen hat, entspricht wie in Aufgabe 2 der erste Wert dem Minimum und der zweite dem Maximum.

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3.2

Funktionswerte berechnen

\(h(0) = 8,95\ ^°C;\ h(6) = 7,10\ ^°C;\ h(12) = 16,85\ ^°C;\ h(18) = 23,50\ ^°C\)

Mittelwert: \(14,1\ ^°C\)

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3.3

Mittelwertintegral

\(\quad\ \frac 1 {24}\int_0^{24}\left(-6\cdot\mathrm{sin}\left(\frac\pi{12}t+\frac\pi{12}\right)+0,4t+10,5\right)\mathrm d t \\=\frac 1 {24}\left[\frac{72}\pi\cdot \mathrm{cos}\left(\frac\pi{12}t+\frac\pi{12}\right)+0,2t^2+10,5t\right]_0^{24}\\ \approx \frac 1 {24}\cdot(389,34-22,137)\approx15,30\)

Ergebnisse

Die mittlere Tagestemperatur in Frankfurt beträgt an diesem Tag \(15,3\ ^°C\).

Das Mittelwertintegral liefert einen um \(8,51\ \%\) größeren Wert verglichen mit dem „synoptischen Mittel“.

  • Punkte:  16
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