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Abi 2015 Analysis A1 LK


Aufgabe 1

Die Bestimmung von Enzymaktivitäten in Serum, Plasma oder Harn hat in der medizinischen Diagnostik eine wichtige Bedeutung. Beispielsweise ist bei einem Herzinfarktpatienten die Serum-Enzymaktivität bestimmter Enzyme auch Tage nach dem Infarkt noch erhöht, sodass eine Spätdiagnose über die Messung der Enzymaktivität möglich ist. 

Der Verlauf einer bestimmten Enzymaktivitätskurve lässt sich durch den Graphen einer Exponentialfunktion der Schar \(f_{a,b,c}\) mit \(f_{a,b,c}(t)=a+b\cdot t^2\cdot e^{c\ \cdot\ t} \quad(a,b>0\ \text{und}\ c<0)\) approximieren (Material 1). Dabei steht \(t\) für die Zeit in Tagen seit Beginn einer Erkrankung und \(f(t)\) für die Enzymaktivität in Units (Substratumsatz pro Tag).

Bestimmen Sie die Parameter \(a\)\(b\) und \(c\) unter Berücksichtigung der folgenden Angaben: 

  • Die Enzymaktivität beträgt zu Beginn 80 Units.
  • Bereits nach einem Tag ist die Enzymaktivität auf den Wert 740 Units gestiegen.
  • Drei Tage nach Beginn hat sich die Enzymaktivität wieder weitgehend normalisiert und beträgt nur noch 120 Units.

(9 BE)

Material 1

Abi 2015 Analysis A1 LK - Abbildung 1

Lösung

1.

Parameterbestimmung bei einer Funktionsschar

\(f_{a,b,c}(t)=a+b\cdot t^2\cdot e^{c\ \cdot\ t}\)

Es sind gegeben:

  • \(f_{a,b,c}(0)=80 \Rightarrow\quad a=80\)
  • \(f_{a,b,c}(1)=740;\quad f_{a,b,c}(3)=120 \)

\(\left.\begin{array}\\660=b\cdot e^c \Rightarrow b=\frac{660}{e^c}\\ 40=9b\cdot e^{3c} \Rightarrow b=\frac{40}{9e^{3c}}\end{array}\right\}\Rightarrow\frac 2{9\ \cdot\ 33}=e^{2c}\\ \begin{array}{ccl}\\ \Rightarrow c=&\frac 1 2 \cdot \mathrm{ln}\ \frac2{9\ \cdot\ 33}&\approx -2,5\\ \Rightarrow b=&\frac{660}{e^c}&\approx 8040,25\end{array}\)

Ergebnis

Die Parameter lauten: \(a = 80,\ b = 8040,45\) und \(c = -2,5\).

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  • Punkte:  9

Aufgabe 2

Um einen Herzinfarkt zu diagnostizieren, misst man beispielsweise die Aktivität des Enzyms Creatin-Kinase. Bei einem bestimmten Patienten kann die Aktivitätskurve für dieses Enzym für \(0\leq t \leq 5\) durch den Graphen der Exponentialfunktion \(f\) mit \(f(t)=100+4600\cdot t^2\cdot e^{-2\ \cdot\ t}\) angenähert werden, wobei \(t\) für die Zeit in Tagen nach dem Infarkt steht und \(f(t)\) für die Enzymaktivität in Units. Ca. 3 Tage nach einem Herzinfarkt befindet sich die Aktivität dieses Enzyms wieder im Normalbereich.

2.1

Zeigen Sie rechnerisch, dass gilt:

\(f''(t)=9200\cdot e^{-2 \cdot t}\cdot (2t^2-4t+1)\)

(6 BE)

2.2

Βerechnen Sie die Zeitpunkte, zu denen die Aktivitätskurve für das Enzym Creatin-Kinase am stärksten ansteigt bzw. am stärksten fällt, sowie jeweils die zugehörigen Änderungsraten. 

Hinweis: Die Überprüfung der notwendigen Bedingung ist ausreichend. 

(6 BE)

2.3

In Material 2 wird die Ermittlung einer Stammfunktion von \(f\) durch eine bestimmte Integrationsmethode angedeutet.

2.3.1

Geben Sie die Integrationsmethode an und leiten Sie durch Vervollständigung der Rechnung eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) her.

(5 BE)

2.3.2

Bestimmen Sie das Integral \(\frac 1 3\cdot\int_0^3 f(t)\mathrm\ {d}t\) und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(4 BE)

2.4

Die Entscheidung für die Diagnose Herzinfarkt liege bei einer Enzymaktivität des Enzyms Creatin-Kinase von mindestens 192 Units. Zeigen Sie, dass der Ansatz \(100+4600\cdot t^2\cdot e^{-2\ \cdot\ t} = 192\) zu der Gleichung \(\mathrm{ln}\ \left(t^2\right)=2\cdot t - 3,91202\) führt. Diese Gleichung lässt sich nicht algebraisch lösen. Erläutern Sie die Darstellung in Material 3 und untersuchen Sie mithilfe der Graphen näherungsweise, in welcher Zeitspanne die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden kann. 

(10 BE)

Material 2

Abi 2015 Analysis A1 LK - Abbildung 2

Material 3

Abi 2015 Analysis A1 LK - Abbildung 3

Lösung

2.1

Zweite Ableitung

\( \begin{array}{rcl}\\ f(t)&=&100+4600t^2\cdot e^{-2t}\\ f'(t)&=&2\cdot4600t\cdot e^{-2t}+(-2)\cdot 4600t^2\cdot e^{-2t}\\ &=&9200\cdot e^{-2t}\cdot \left(t-t^2\right)\\ f''(t)&=&(-2)\cdot 9200\cdot e^{-2t}\cdot(t-t^2)+9200\cdot e^{-2t}\cdot(1-2t)\\ &=&9200e^{-2t}\cdot(2t^2-4t+1) \end{array}\)

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2.2

Steigung an den Wendepunkten

Extrema der Ableitung sind Wendestellen. Für deren Vorliegen ist es notwendig, dass die 2. Ableitung 0 wird.

\(f''(t)=0 \Leftrightarrow2t^2-4t+1=0\\ \Rightarrow t=\frac{4\ \pm\ \sqrt{16\ -\ 8}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{2}}2\\ \Rightarrow t_1\approx0,293;\quad t_2\approx1,707\)

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Die 1. Ableitung hat an diesen Stellen die folgenden Werte:

\(f'(t_1)\approx1060,7; \quad f'(t_2)\approx-365,4\)

Ergebnis

Der stärkste Anstieg mit \(1060,7\) Units/Tag kommt nach \(0,293\) Tagen (etwa 7 Stunden), die größte Abnahme mit \(365,4\) Units/Tag nach \(1,707\) Tagen (41 Stunden bzw. 1 Tag 17 Stunden).

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2.3.1

Ermittlung einer Stammfunktion

Die Integrationsmethode ist die partielle Integration, die man als Umkehrung der Produktregel der Ableitung auffassen kann. 

\(\begin{array}\\ \int(100+4600t^2\cdot e^{-2t})\mathrm d t&=100t-2300t^2\cdot e^{-2t}+\int4600t\cdot e^{-2t} \mathrm d t\\ &=100t-2300t^2\cdot e^{-2t}-2300\cdot e^{-2t}+2300\int e^{-2t} \mathrm d t\\ &=100t-2300t^2\cdot e^{-2t}\left( t^2+t+\frac 1 2\right) \end{array}\)

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2.3.2

Bestimmtes Integral ausrechnen

\(\frac 1 3\int_0^3f(t)\mathrm d t=\frac 1 3 \left[100t-2300e^{-2t}\left(t^2+t+\frac 1 2\right)\right]_0^3\\\qquad\qquad\ \ \ \approx\frac 1 3(228,7+1150)=459,5\overline 6\)

Dieses Integral gibt die Fläche unter der Enzymaktivitätskurve geteilt durch die Länge des Integrationsintervalls an, ist also ein Mittelwertintegral. Damit gibt der Wert \(459,6\) Units die mittlere Enzymaktivität während der ersten 3 Tage an.

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2.4

Exponentialgleichung

\( \begin{array}\\ &100+4600t^2\cdot e^{-2t}&=&192\\ \Rightarrow& t^2\cdot e^{-2t}&=&0,02\\ \Rightarrow& \mathrm {ln}\left(t^2\right)-2t&\approx&-3,91202 \end{array}\)

Die beiden Graphen in Material 3 sind die Funktionsgraphen der Funktionen \(f(t) = \mathrm{ln}\left(t^2\right)\) und \(g(t) = 2t – 3,912 02\). Die Schnittpunkte entsprechen den beiden Lösungen der obigen Gleichung.

Die Diagnose Herzinfarkt wird gestellt, wenn die Ungleichung:

\(\begin{array}{crl}\\ &100+4600t^2\cdot e^{-2t}&>&192\\ \Rightarrow&\mathrm{ln}\left(t^2\right)&>&2t-3,91202 \end{array}\)

erfüllt ist. Dies ist dann der Fall, wenn der gebogene Graph in Material 3 über dem geraden liegt, also etwa im Zeitraum \(0,167 < t < 3,081\).

  • Punkte:  31
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