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Abi 2015 Analysis A1 GK


Der Laderaum eines Lastkahns ist 50 m lang. Sein Querschnitt ist auf der gesamten Länge gleich und wird modellhaft beschrieben durch den Graphen der Funktion \(f\) mit
\(f(x)=\frac{1}{125}x^4\;;\quad -5\le x\le 5 \quad(x\text{ und }f(x)\text{ in Meter}).\)
 

Aufgabe a)

Wie tief ist der Laderaum in der Mitte? 
Wie breit ist er in 3 m Höhe?
In welchem Bereich hat der Boden des Laderaums eine Neigung unter 5%?
Berechnen Sie das Volumen des Ladraums.
(5 VP)

Lösung

Tiefe des Laderaums in der Mitte
Das zu untersuchende Intervall ist \([–5; 5]\), somit ist der mittlere Wert die 0. Die Tiefe in der Mitte des Laderaums entspricht somit der Differenz der Funktionswerte von \(f\) an den Stellen \(x=5\) und \(x=0\):
\(f(5)-f(0)=5.\)
Die Tiefe des Laderaums beträgt 5 m.

Breite des Laderaums in 3 m Höhe
Die gesuchte Breite entspricht dem Abstand der beiden Stellen, an denen die Funktion den Wert 3 annimmt.
\(f(x)=3,\;\text{der GTR liefert }x_1\approx -4,40\text{ und }x_2\approx 4,40\)
\(b=x_2-x_1\approx 8,80\)
Die gesuchte Breite beträgt ca. 8,8 m.

Neigung des Laderaums
Das gesuchte Intervall wird von den beiden Stellen begrenzt, an denen der Betrag der Ableitung von \(f\) kleiner als 5% ist.
\(|f'(x)|<0,05\)
Der GTR liefert \(x_1 \approx -1,16\) und \(x_2 \approx 1,16\).
Das gesuchte Intervall lautet etwa: [–1,16; 1,16].

Volumen des Laderaums
Das gesuchte Volumen ist das Produkt aus Querschnittsfläche und Länge. Die Querschnittsfläche bestimmt man mit Hilfe des folgenden Integrals:
\(10\cdot 5 - \int\limits_{-5}^5 f(x)\text{d}x=50-10=40\)
\(V=40\cdot 50 = 2000\)
Der Lastkahn hat ein Laderaumvolumen von 2000 m³.

Aufgabe b)

Zur Wartung steht der Lastkahn an Land auf einer ebenen Plattform. Dort wird er stabilisiert durch gerade Stützen, die orthogonal zur Außenwand des Laderaums angebracht sind. Betrachtet werden zwei einander gegenüberliegende Stützen, deren Befestigungspunkte im Modell durch die Punkte 
\(P_1 (-4/ f(-4))\) und \(P_2 (4/f(4)) \) beschrieben werden.
In welchem Abstand voneinander enden diese Stützen auf der Plattform?
(3 VP)

Lösung

Hier ist es sinnvoll, eine Skizze der Situation anzufertigen. Aus Symmetriegründen genügt es, lediglich die eine Hälfte des Lastkahns zu zeichnen.

Abi 2015 Analysis A1 GK - Abbildung 1

Anhand der Skizze erkennst du, dass du die Nullstelle der Normale \(n\) zur Tangente \(t\) an der Stelle \(x=4\) benötigst. Die Tangente \(t\) hat die Steigung. Somit hat die Normale \(n\) den dazu negativen Kehrwert als Steigung:
\(m_n=-\frac{1}{m_t}\approx -0,48828.\)

Der Schnittpunkt \(P_2\) von Normale und Tangente hat die Koordinaten \((4|2,048)\). Die Gleichung der Normalen lautet:
\(y=-0,48828x+c.\)
Einsetzen der Koordinaten von \(P_2\) liefert \(c=4\).
\(n:\quad y=-0,48828x+4.\)
Die zugehörige Nullstelle lautet: \(x\approx 8,19.\)

Aufgrund der Symmetrie beträgt der Abstand der Stützen am Boden ca. 16,4 m.

Aufgabe c)

Der Laderaum kann durch eine horizontale Zwischendecke der Länge 50 m in zwei Teilräume geteilt werden. Das Volumen des unteren Teilraums beträgt 500 m³.
Berechnen Sie die Breite der Zwischendecke.
(4 VP)

Lösung

Die gesuchte Breite ist der Abstand der beiden Integralgrenzen \(–k\) und \(k\), die das Laderaumvolumen 500 m³ liefern.
\(\begin{align} &\left(2k\cdot f(k)-\int\limits_{-k}^k f(x)\text{d}x\right)\cdot 50 = 500\\ \Longrightarrow&2k\cdot f(k)-\int\limits_{-k}^k f(x)\text{d}x=10 \end{align}\)
Mit dem GTR erhält man die ungefähren Integralgrenzen –3,79 und 3,79.

Somit hat die Zwischendecke eine Breite von etwa 7,6 m.

Aufgabe d)

Untersuchen Sie, ob sich eine zylinderförmige Röhre mit Außendurchmesser 9,8 m  so in Längsrichtung in den Laderaum legen lässt, dass sie ihn an der tiefsten Stelle berührt. 
(3 VP)

Lösung

Damit die zylinderförmige Röhre wie beschrieben in den Laderaum gelegt werden kann, muss der Rand des Laderaums stets mindestens den halben Außendurchmesser der Röhre von ihrem Mittelpunkt entfernt sein. Der Mittelpunkt der Röhre befindet sich bei \(M(0|4,9)\). Ein beliebiger Laufpunkt \(P\) auf dem Schaubild von \(f\) hat die Koordinaten \(P(x|f(x))\). Der Abstand von \(M\) und \(P\) kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden:
\(d(M;P)=\sqrt{x^2+(4,9-f(x))^2}.\)
Für \(x > 4,034\) ist der Abstand von \(M\) und \(P\) nicht mehr ausreichend.

Die Röhre kann nicht wie beschrieben gelagert werden.

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