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Abi 2015 Analysis 1.2 GK


Aufgabe 1.2: Fischmobile

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)=\frac{1}{16}x^3-\frac{5}{8}x^2+\frac{25}{16}x; \; x\in\mathbb R\). Der Graph dieser Funktion ist \(G_f\) .

a)

Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von \(f\) für \(x → +∞\) und \(x → −∞\) an. Berechnen Sie die Nullstellen von \(f\). Begründen Sie, dass der Graph der Funktion \(f\) nicht achsensymmetrisch zur y-Achse verlaufen kann.

(9 BE)

b)

Bestimmen Sie die Art und die Koordinaten lokaler Extrempunkte von \(G_f\).
Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x_W=\frac {10}{3}\) einen Wendepunkt. Ermitteln Sie die Größe des Steigungswinkels der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) in diesem Wendepunkt. Zeichnen Sie \(G_f\) im Intervall \([0;8]\) in das in der Anlage gegebene Koordinatensystem. 

(14 BE)

Für ein Mobile soll eine Figur in der Form eines Fisches aus Pappe hergestellt werden. Das Profil des Fisches wird durch den Graphen \(G_f\) und den durch Spiegelung von \(G_f\) an der x-Achse entstandenen Graphen \(G_g\) begrenzt. Im Aufhängepunkt \(P(5 | 0)\) berühren sich die beiden Graphen, siehe nebenstehende Darstellung.

Abi 2015 Analysis 1.2 GK - Abbildung 1

c)

Der gespiegelte Graph \(G_g\) ist der Graph einer Funktion \(g\). Geben Sie eine Funktionsgleichung von \(g\) an. Zeichnen Sie \(G_g\) in das Koordinatensystem in der Anlage ein.

(3 BE)

d)

Im Folgenden gilt: \(1\text{ LE} = 1\ \text{cm}\).
Der Fisch soll so hergestellt werden, dass die Schwanzflosse (rechts von \(P\)) denselben Flächeninhalt wie der vordere Teil des Fischkörpers (links von \(P\)) hat. Zeigen Sie, dass für die Breite \(b = 2,8\ \text{cm}\) der Schwanzflosse die beiden Flächeninhalte auf Zehntel gerundet gleich sind.
Bestimmen Sie die Höhe \(h\) dieser Schwanzflosse.

(8 BE)

e)

Ein Mobile besteht aus mehreren solcher Fische. Der Verkauf erfolgt in einer Schachtel, die die Form eines dreiseitigen Prismas hat. Die Grundfläche der Schachtel wird durch die Tangenten an die Graphen \(G_f\) und \(G_g\) in den Punkten \(T_1(1|1)\) und \(T_2(1|-1)\) sowie die Gerade, auf der das Ende der Schwanzflosse liegt, begrenzt. Ermitteln Sie den Flächeninhalt der Grundfläche für eine solche Schachtel.

(6 BE)

Lösung

a)

Verhalten für x gegen plus und minus unendlich

Für \(x\rightarrow +\infty\) gilt: \(\frac 1 {16}x^3\rightarrow +\infty\) und für \(x\rightarrow -\infty\) gilt: \(\frac 1 {16}x^3\rightarrow -\infty\).

Ergebnis

Für \(x\rightarrow +\infty\) gilt: \(f(x)\rightarrow +\infty\).

Für \(x\rightarrow -\infty\) gilt: \(f(x)\rightarrow -\infty\).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier oder hier.

Nullstellen bestimmen

Für die Nullstellen von \(f\) gilt: \(f(x)=0\).

\(\frac{1}{16}x^3-\frac{5}{8}x^2+\frac{25}{16}x=0\)

\(\frac{1}{16}x\cdot\left(x^2-10x+25\right)=0\)

Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich null ist. 

Dies liefert: \(x_1=0\) und:

\(x^2-10x+25=0\\ x_{2/3}=5\pm\sqrt{25-25}=5\)

Ergebnis

Die Nullstellen von \(f\) liegen bei \(x_1=0\) und \(x_2=5\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Symmetrie untersuchen

Da die ganzrationale Funktion \(f\) sowohl gerade als auch ungerade Exponenten besitzt, verläuft ihr Graph weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur y-Achse.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

Art und Koordinaten der Extrema bestimmen

Die hinreichende Bedingung für Extrema lautet: \(f'(x_E)=0\) und \(f''(x_E)\neq0\).

\(f'(x)=\frac{3}{16}x^2-\frac{5}{4}x+\frac{25}{16}\\ \)

\(\begin{array}\\ 0&=&\frac{3}{16}x^2-\frac{5}{4}x+\frac{25}{16}&|\cdot \frac 3{16}\\ 0&=&x^2-\frac{20}{3}x+\frac{25}{3}\\ x_{1/2}&=&\frac{10}{3}\pm\sqrt{\frac{100}{9}-\frac{25}{3}}\\ &=&\frac{10}{3}\pm\sqrt{\frac{25}9}\\ &=&\frac{10}{3}\pm\frac{5}{3} \end{array}\)

\(x_1=\frac 5 3\) und \(x_2=5\)

\(\begin{array}\\ f''(x)&=&\frac 3 8x-\frac 54\\ f''\left(\frac 5 3\right)&=&\frac 3 8\cdot \frac 5 3-\frac 5 4&=&-\frac 5 8 <0 \end{array}\)

Somit hat \(f\) bei \(x_1=\frac 5 3\) ein relatives Maximum.

\(\begin{array}\\ f\left(\frac 5 3\right)&=&\frac {1}{16}\cdot\left(\frac {5}{3}\right)^3-\frac {5}{8}\cdot\left(\frac {5}{3}\right)^2+\frac {25}{16}\cdot\left(\frac {5}{3}\right)&\approx&1,16\\ f''(5)&=&\frac 3 8 \cdot5-\frac {5}{4}=\frac{5}{8}>0 \end{array}\)

Somit hat \(f\) bei \(x_2=5\) ein relatives Minimum.

\(f(5)=0\)

Ergebnis

Der Graph von \(f\) besitzt einen Hochpunkt mit den Koordinaten \(\left(\frac 5 3|1,16\right)\) und einen Tiefpunkt mit den Koordinaten \(\left(5|0\right)\).

Steigungswinkel berechnen

An der Stelle \(x_W=\frac{10}{3}\) hat der Graph von \(f\) eine Tangente \(t\) mit der Steigung:

\(f'\left(\frac{10}{3}\right)=\frac{3}{16}\cdot\left(\frac{10}{3}\right)^2-\frac 5 4\cdot \left(\frac{10}{3}\right)+\frac{25}{16}\approx-0,521\)

Für den Steigungswinkel \(\alpha \) bei \(x_W=\frac{10}{3}\) gilt: \(\mathrm{tan}\ \alpha\approx-0,521\)

\(\alpha\approx-27,5^°\)

Für den Steigungswinkel ist der Gegenwinkel hierzu relevant.

\(180^°-27,5^°=152,5^°\).

Ergebnis

Der gesuchte Winkel \(α\) beträgt etwa \(152,5^°\).

Graph zeichnen

\(x\)

0

1

 

2

3

4

5

6

7

8

\(f(x)\)

0

1

1,16

1,125

0,75

0,25

0

0,275

1,75

4,5

Abi 2015 Analysis 1.2 GK - Abbildung 2

c)

Funktionsgleichung angeben

Das Spiegeln der Funktionswerte an der x-Achse wird durch Multiplizieren mit dem Faktor –1 umgesetzt.

\(g(x)=-1\cdot f(x)=-\frac{1}{16}x^3+\frac{5}{8}x^2-\frac{25}{16}x\)

Ergebnis

Die gesuchte Funktion lautet:

\(g(x)=-\frac{1}{16}x^3+\frac{5}{8}x^2-\frac{25}{16}x\)

Graph zeichnen

Abi 2015 Analysis 1.2 GK - Abbildung 3

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

d)

Flächengleichheit nachweisen

Für den Flächeninhalt des Fischkörpers gilt:

\(A_K=2\cdot\int\limits_0^5 f(x)\text{d}x=2\cdot\left[\frac 1 {64}x^4-\frac{5}{24}x^3+\frac{25}{32}x^2\right]_0^5\\ =2\cdot\left(\frac{625}{64}-\frac{625}{24}+\frac{625}{32}-0\right)\\ =2\cdot\frac{625}{192}\approx6,5\ \text{[FE]}\)

Für den Flächeninhalt der Schwanzflosse gilt bei vorgegebener Breite von \(b = 2,8\):

\(A_S=2\cdot\int\limits_5^{7,8} f(x)\text{d}x=2\cdot\left[\frac 1 {64}x^4-\frac{5}{24}x^3+\frac{25}{32}x^2\right]_5^{7,8}\\ \approx2\cdot\left(6,5-\frac{625}{192}\right)\\ \approx6,5\ \text{[FE]}\)

Ergebnis

Beide Flächen sind auf Zehntel gerundet gleich groß.

Höhe bestimmen

Die Höhe \(h\) der Schwanzflosse entspricht dem Doppelten des Funktionswertes von \(f\) bei \(x=7,8\).

\(h=2\cdot f(7,8)\approx7,6\ \text{[LE]}\)

Ergebnis

Die Höhe der Schwanzflosse beträgt etwa \(7,6\text{ cm}\).

e)

Skizze des Sachverhalts

Abi 2015 Analysis 1.2 GK - Abbildung 4

Tangentengleichungen aufstellen

Der Ansatz für die Tangentengleichung durch den Punkt \(T_1(1|1)\) lautet:

\(t_1(x)=mx+n\)

Für \(m\) gilt:

\(m=f'(1)=0,5\)

Weiterhin gilt:

\(t_1(1)=1\)

\(t_1(1)=0,5\cdot1+n=1\quad |-0,5\\ n=0,5\\ t_1(x)=0,5x+0,5\)

Der linke Eckpunkt der dreieckigen Grundfläche der Schachtel entspricht der Nullstelle von \(t_1\).

\(0,5x+0,5=0\Leftrightarrow x=-1\)

Der linke Eckpunkt hat die Koordinaten \((-1|0)\).

Für den rechten oberen Eckpunkt der dreieckigen Grundfläche der Schachtel gilt: \(x=7,8\).

\(t_1(7,8)=0,5\cdot 7,8+0,5=4,4\)

Der rechte obere Eckpunkt hat somit die Koordinaten \((7,8|4,4)\)

Aufgrund der Achsensymmetrie zur x-Achse hat der rechte untere Eckpunkt die Koordinaten \((7,8|-4,4)\).

Damit hat das Dreieck die Grundseite \(g=2\cdot 4,4= 8,8 \text{ [LE]}\) und die zugehörige Höhe \(h_g=7,8+1=8,8 \text{ [LE]}\).

Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt dann:

\(A=\frac 1 2g\cdot h_g=\frac 1 2\cdot 8,8\cdot 8,8=38,72 \text{ [FE]}\)

Ergebnis

Der Flächeninhalt der Grundfläche der Schachtel beträgt etwa \(39\text{ cm}^2\).

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  • Punkte:  40
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