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Abi 2015 Analysis 1.1 GK


Aufgabe 1.1: Bienen

Die Funktion \(b\) mit \(b(t ) = 60 − 54 ⋅ e^{−0,25t}\) beschreibt für \(0 ≤ t ≤ 12\) näherungsweise die Anzahl der Bienen in einem Bienenvolk im Zeitraum von April bis Juni. Dabei ist \(t\) die Zeit seit Beobachtungsbeginn in Wochen und \(b(t )\) die Anzahl der Bienen in Tausend. 

a)

Ermitteln Sie die Bienenanzahl zu Beobachtungsbeginn, nach 4 Wochen und nach 12 Wochen. Begründen Sie, dass die Funktion \(b\) für \(t → ∞ \) einen Grenzwert hat. Geben Sie diesen Grenzwert an. Skizzieren Sie den Graphen von \(b\) für \(0 ≤ t ≤ 12\) mithilfe der ermittelten Werte im Koordinatensystem in der Anlage.

(10 BE)

b)

Vom Imkerverband wird eine neue Bienensorte empfohlen, bei der der Bienenbestand \( f (t ) \) besonders schnell wächst (\(t\) in Wochen und \(f (t )\) in Tausend). Die Wachstumsgeschwindigkeit (gemessen in 1000 Bienen pro Woche) wird durch die Funktion \(v\) mit \(v(t ) = f'(t ) = 3⋅ e^{0,25t}\) angegeben. Ermitteln Sie für beide Bienensorten die Wachstumsgeschwindigkeiten zu Beobachtungsbeginn und nach 6 Wochen.
Vergleichen Sie das Wachstum des Bienenbestands bei beiden Sorten. 

(9 BE)

c)

Ein Bienenvolk der neuen Sorte hat zu Beobachtungsbeginn 2000 Bienen. Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion \(f\), die die Entwicklung des Bienenbestands beschreibt. [Zur Kontrolle: \(f (t ) = 12 ⋅ e^{0,25t} −10\)] Zeichnen Sie den Graphen von \(f\) für \(0 ≤ t ≤ 8\) mithilfe von drei geeigneten Wertepaaren in das Koordinatensystem von Aufgabenteil a) ein. 

(10 BE)

d)

Die Funktion \(d\) mit \(d(t )= b(t ) − f (t )\) beschreibt den Unterschied des Bienenbestands zwischen der alten und der neuen Sorte. Ermitteln Sie den Zeitpunkt \(t\), bei dem der Unterschied in den ersten 6 Wochen am größten ist. Für die Berechnung von \(t\) genügt die Verwendung der notwendigen Bedingung.

(7 BE)

e)

Weisen Sie nach, dass zum Zeitpunkt \(t\), bei dem der Unterschied bei der alten und der neuen Bienensorte am größten ist, die momentanen Wachstumsgeschwindigkeiten bei beiden Sorten gleich sind. Für diesen Nachweis sollen die Wachstumsgeschwindigkeiten nicht konkret berechnet werden.

(4 BE)

Lösung

a)

Funktionswerte bestimmen

\(\begin{array} \\ b(0)&=&60-54\cdot e^0&=&60-54&=&6\\ b(4)&=&60-54\cdot e^{-0,25\ \cdot\ 4}&=&60-54\cdot e^{-1}&\approx&40\\ b(12)&=&60-54\cdot e^{-0,25\ \cdot\ 12}&=&60-54\cdot e^{-3}&\approx&57 \end{array}\)

Ergebnis

Am Anfang hat das Bienenvolk etwa 6000 Bienen. Nach 4 Wochen sind es etwa 40.000 und nach 12 Wochen etwa 57.000 Bienen.  

Verhalten für t gegen unendlich

Testeinsetzungen ergeben:  

Zeit \(t\) in Wochen

10

30

50

Anzahl der Bienen in Tausend

55,57

55,97

59,99

Ergebnis

Für \(t\rightarrow \infty\) gilt:
\(b(t)\rightarrow60\)

Die Funktionswerte nähern sich für große Werte von \(t \) dem Funktionswert 60 an, da der Subtrahend \(54\cdot e^{-0,25\ t}\) gegen null geht.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier oder hier.

Graphen skizzieren

Zeit \(t\) in Wochen

0

4

12

Bestand \(b(t) \)

in Tausend

6

40,1

57,3

Abi 2015 Analysis 1.1 GK - Abbildung 1

b)

Wachstumsgeschwindigkeiten vergleichen

Die Wachstumsgeschwindigkeit der alten Sorte wird durch die 1. Ableitungsfunktion von \(b\) ermittelt.

\(\begin{array} \\ b(t)&=&60-54\cdot e^{-0,25\ \cdot\ t}&&\\ b'(t)&=&-54\cdot e^{-0,25\ \cdot\ t}\cdot(-0,25)&=&13,5\cdot e^{-0,25\ \cdot\ t}&\\ b'(0)&=&13,5\cdot e^{0}&=&13,5\\ b'(6)&=&13,5\cdot e^{-1,5}&\approx&3 \end{array}\)

Für die neue Sorte mit der Wachstumsgeschwindigkeit von 

\(v(t)=3\cdot e^{0,25}\) ist:

\(\begin{array} \\ v(0)&=&3\\ v(6)&=&3\cdot e^{1,5}&\approx&13,4 \end{array}\)

Ergebnis

Zu Beginn wächst der alte Bienenbestand schneller als der neue, nach 6 Wochen ist es umgekehrt.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier oder hier.

c)

Stammfunktion bestimmen

Es ist \(f'(t)=v(t)\). Zu \(v(t)\) muss die passende Stammfunktion bestimmt werden.

\(f(t)=\int v(t) \mathrm dt=\int(3\cdot e^{0,25\ \cdot\ t})\mathrm d t\\\quad\ \ \ =3\cdot 4\cdot e^{0,25\ \cdot\ t}+C=12\cdot e^{0,25\ \cdot\ t}+C\)

Weiterhin soll gelten:
\(f(0)=2\)

\(f(0)=12\cdot e^0+C=2\Leftrightarrow C=-10\)

Ergebnis

Die gesuchte Bestandsfunktion lautet \(f(t)=12\cdot e^{0,25\ \cdot\ t}-10\).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

Graphen der Bestandsfunktion ergänzen

Zeit \(t\) in Wochen

0

4

8

Bestand \(f(t)\)

in Tausend

2

22,6

78,7

Abi 2015 Analysis 1.1 GK - Abbildung 2

d)

Extremum der Differenzfunktion bestimmen

Gesucht ist das Maximum der Differenzfunktion \(d(t)=b(t)-f(t)\).

\(d(t)=60-54\cdot e^{-0,25t}-(12\cdot e^{0,25t}-10)\\ \quad\ \ \ =70-54\cdot e^{-0,25t}-12\cdot e^{0,25t}\)

Die notwendige Bedingung für ein Maximum von \(d(t)\) lautet: \(d'(t)=0\).

\(d'(t)=-54\cdot e^{-0,25t}\cdot(-0,25)-12\cdot e^{0,25t}\cdot 0,25\\ \qquad=13,5\cdot e^{-0,25t}-3\cdot e^{0,25t}\\ \begin{array}\\ 13,5\cdot e^{-0,25t}-3\cdot e^{0,25t}&=&0 &|+3\cdot e^{0,25t}\\ 13,5\cdot e^{-0,25t}=3\cdot e^{0,25t}&& &|:(3\cdot e^{-0,25t})\\ 4,5=\frac{e^{0,25t}}{e^{-0,25t}}\\ 4,5=e^{0,25t\ +\ 0,25t}\\ 4,5=e^{0,5t}&&&|\mathrm{ln}(...)\\ \mathrm{ln}(4,5)=0,5\cdot t&&&|\cdot 2\\ 2\cdot\mathrm{ln}(4,5)=t\\ t\approx 3 \end{array}\)

Ergebnis

Die Differenzfunktion \(d(t)\) hat bei \(t\approx3\) ein relatives Maximum. Nach 3 Wochen ist der Unterschied der beiden Bienenbestände maximal.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

e)

Nachweis der Gleichheit der Wachstumsgeschwindigkeiten

Zum Zeitpunkt \(t_{max}\), bei dem der Unterschied beider Bienensorten am größten ist, gilt: \(d'(t_{max})=0\)

\(0=d'(t_{max})\Leftrightarrow0=b'(t_{max})-f'(t_{max})\quad|+f'(t_{max})\\ f'(t_{max})=b'(t_{max})\\ v(t_{max})=b'(t_{max}) \)   

Ergebnis

Somit sind die Wachstumsgeschwindigkeiten \(b'(t_{max})\) und \(v(t_{max})\) der beiden Bienenarten zum Zeitpunkt \(t_{max}\) gleich.

  • Punkte:  40
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