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Abi 2014 Stochastik Teil B, AG 2


Aufgabe 1

a)

Schritt 1: Laplace-Wahrscheinlichkeit

Jede Möglichkeit ist gleich wahrscheinlich. Wir berechnen daher die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem wir die Anzahl der für das Ereignis günstigen Möglichkeiten durch die Anzahl aller möglichen Ausgänge des Experiments teilen.

Schritt 2: Anzahl der günstigen Ereignisse

Für das erste Päckchen gibt es 200 Möglichkeiten, ein Bild auszuwählen. Da alle fünf Bilder verschieden sein sollen, hat man für das zweite Päckchen nur noch 199 Möglichkeiten, für das dritte nur noch 198 usw.
Das macht bei fünf Päckchen \(200\cdot199\cdot198\cdot197\cdot196\) „günstige“ Möglichkeiten.
Daraus folgt:

\(P(5\;\text{verschiedene Tierbilder})=\frac{200\;\cdot\;199\;\cdot\;198\;\cdot\;197\;\cdot\;196}{200^5}\)

b)

Sei E das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit wir bestimmen sollen. Für E günstige Möglichkeiten: Da der Junge schon 185 Bilder hat, gibt es für jedes der 10 neuen Bilder 185 Möglichkeiten, mit einem der bereits im Sammelalbum vorhandenen Bilder übereinzustimmen. Hier können Bilder auch wiederholt gezogen werden, also kommen wir auf 18510 „günstige“ Möglichkeiten. Die Gesamtzahl aller möglichen Ausgänge ist 20010, nämlich bei jedem der insgesamt 10 neuen Bilder 200 Möglichkeiten.

Damit gilt für die Wahrscheinlichkeit von E:
\(P(E)=185^{10}:200^{10}=(\frac{185}{200})^{10}=(\frac{37}{40})^{10}\approx0,459\)

c)

Schritt 1: Baumdiagramm zeichnen

Bei jedem Päckchen gibt es zwei mögliche Ausgänge: Entweder es enthält ein 3-D-Bild oder nicht. Wir haben also eine Bernoulli-Kette. Das folgende Baumdiagramm veranschaulicht die Situation:

Abi 2014 Stochastik Teil B, AG 2 - Abbildung 1

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein 3-D-Bild soll mehr als 99 % betragen, also muss die Wahrscheinlichkeit für kein 3-D-Bild weniger als 1 % sein.

Schritt 2: Berechnung der Pfadwahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einem Päckchen kein 3-D-Bild befindet:

Der Anteil an 3-D-Bildern liegt bei 0,1. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 5 Bildern kein einziges 3-D-Bild ist: \(0,9^5=0, 59049.\)

Schritt 3: Rechnung

\(\begin{align*} 0,59049^n<0,01\quad\qquad&\text{beide Seiten logarithmieren}\\ \ln (0,59049^n)<\ln(0,01)\quad\qquad&\text{linke Seite umformen}\\ n\cdot\ln(0,59049)<\ln(0,01)\quad\qquad&|:\ln(0,59049) \end{align*}\)

Vorsicht: \(\ln(0, 59049)\) ist eine negative Zahl. Du musst das Ungleichheitszeichen umdrehen, wenn du beide Seiten durch diese Zahl teilst!

Du erhältst:
\(n>\frac{\ln(0,01)}{\ln(0,59049)}\approx8,74\)

Ein Kind benötigt also mindestens 9 Päckchen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein 3-D-Bild zu bekommen.

  • Punkte:  10

Aufgabe 2

a)

Schritt 1: Berechnung des Öffnungswinkels

Wenn die Größe der Sektoren proportional zu ihrem Zahlenwert ist, dann ist Sektor 1 eine Einheit groß, Sektor 2 zwei Einheiten usw. Das macht insgesamt \(1 + 2 +…+ 5 = 15\) Einheiten. Eine Einheit entspricht demnach einem Öffnungswinkel von \(360° : 15 = 24°.\) Dies ist also der Öffnungswinkel von Sektor 1.

Schritt 2: Berechnung der Wahrscheinlichkeit

Wenn die 1 einen Winkel von 24° hat, dann hat die 5 einen Winkel von \(5\cdot24°=120°.\) 120° ist \(\frac13\) von 360°. Da die Wahrscheinlichkeit eines Sektors proportional zu seinem Öffnungswinkel ist und die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 gleichmäßig auf die 360° verteilt ist, hat somit Sektor 5 die Wahrscheinlichkeit \(\frac13.\) Die Wahrscheinlichkeit, eine Eintrittskarte zu gewinnen, ist also \(\frac13.\)

b)

Schritt 1: Berechnung des Erwartungswertes

Bezeichne mit X die Auszahlung nach einem Spiel und tabelliere die möglichen Werte von X mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

\(x\) 1 2 3 4 15
\(P(X=x)\) \(\frac{1}{15}\) \(\frac{2}{15}\) \(\frac{3}{15}=\frac15\) \(\frac{4}{15}\) \(\frac{5}{15}=\frac13\)

 

 

Diese Werte setzt du nun in die Formel für den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable.
\(E(X)=1\cdot\frac{1}{15}+2\cdot\frac{2}{15}+3\cdot\frac15+4\cdot\frac{4}{15}+15\cdot\frac13=7\)

Schritt 2: Interpretation

Da der Supermarkt pro Spiel 6 Euro einnimmt, aber im Schnitt 7 Euro auszahlt, wird der örtliche Kindergarten mit dieser Veranstaltung wahrscheinlich kein Geld einnehmen, sondern eher Verluste machen.

c)

Der Erwartungswert der Auszahlung ist jetzt:
\(E(X)=1\cdot\frac{1}{15}+2\cdot\frac{2}{15}+3\cdot\frac15+4\cdot\frac{4}{15}+10\cdot\frac13=5\frac13\approx5,33\)

Bei Einnahmen von 6 Euro pro Spiel ergibt sich ein durchschnittlicher Überschuss von \(\frac23\) Euro pro Spiel. Das macht bei 6000 Spielen einen Überschuss von \(\frac23\cdot6000=4000\) Euro, den der Kindergarten in etwa erwarten kann.

  • Punkte:  10

Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.

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