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Abi 2014 Stochastik Teil A, AG 1


Aufgabe 1

a)

Schritt 1: Visualisieren

Abi 2014 Stochastik Teil A, AG 1 - Abbildung 1

Schritt 2: Möglichkeiten festlegen

Das Experiment besteht aus zwei Zügen mit jeweils zwei Möglichkeiten, das heißt, es gibt insgesamt vier Möglichkeiten. 

Abi 2014 Stochastik Teil A, AG 1 - Abbildung 2

Schritt 3: Zusammensetzungen bestimmen

In den Fällen rr bzw. ww ändert sich die Zusammensetzung in Urne A nicht, es bleibt bei 2 roten und 3 weißen Kugeln in Urne A.
rw bedeutet, Urne A gibt eine rote Kugel ab und bekommt dafür eine weiße. Damit hat jetzt Urne A eine rote und 4 weiße Kugeln.
wr: Urne A gibt eine weiße Kugel ab und bekommt dafür eine rote. Damit hat jetzt Urne A 3 rote und 2 weiße Kugeln.
Insgesamt gibt es also drei Möglichkeiten für den Inhalt der Urne A nach dem 2. Zug, die wir schematisch wie folgt darstellen können:
(rwwww), (rrwww) oder (rrrww).

b)

Schritt 1: Pfadregeln

3 weiße Kugeln in Urne A gibt es nur, wenn rr bzw. ww gezogen wird.
Der Fall „1. Kugel rot und 2. Kugel rot oder 1. Kugel weiß und 2. Kugel weiß“ hat nach den Pfadregeln die Wahrscheinlichkeit \(P(E)=P(r_1)\cdot P(r_2|r_1)+P(w_1)\cdot P(w_2|w_1),\) wobei die Indizes anzeigen, um welche Ziehung es sich handelt.

Schritt 2: Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten

\(P(r_1)\) ist \(\frac25,\) da bei der 1. Ziehung 2 der 5 Kugeln rot sind.
\(P(r_2|r_1):\)  Wenn im 1. Zug eine rote Kugel gewählt wird, befinden sich in Urne B 4 rote und 2 weiße Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote aus Urne B zu ziehen, ist also \(\frac23.\)
\(P(w_1)\) ist \(\frac35,\) da bei der 1. Ziehung 3 der 5 Kugeln weiß sind.
\(P(w_2|w_1):\) Eine weiße Kugel im 1. Zug bedeutet für Urne B 3 rote und 3 weiße Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit für weiß im 2. Zug ist dann \(\frac12.\)

Schritt 3: Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E

\(P(E)=\frac25\cdot\frac23+\frac35\cdot \frac12=\frac{4}{15}+\frac{3}{10}=\frac{17}{30}>\frac{15}{30}=\frac12\)

Das Ereignis E hat tatsächlich eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis, da seine Wahrscheinlichkeit größer ist als \(\frac12.\)

  • Punkte:  5

Aufgabe 2

Schritt 1: Bedeutung des Terms bestimmen

Der Term \(0,9^{20}+20\cdot0,1\cdot0,9^{19}\) bedeutet, dass ein Ereignis, das mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 eintritt, bei 20-maliger Wiederholung des Experiments höchstens einmal eintritt. (Oder äquivalent dazu: Ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 0,9 tritt bei 20-maliger Wiederholung des Experiments mindestens 19-mal auf.)

Schritt 2: Ereignis berechnen

Beispiel: Ein Torwart hält im Schnitt jeden 10. Elfmeter. Es wird 20-mal geschossen. Das Ereignis, dass er höchstens einen Elfmeter hält, genügt den gewünschten Anforderungen.

  • Punkte:  2

Aufgabe 3

Schritt 1: Berechnung des Erwartungswertes

Der Erwartungswert wird mit der Formel \(E(X)=\sum^3_{i=0}x_iP(X=x_i)\) berechnet, wobei die Indizes die Werte sind, die von X angenommen werden können.
\(E(X)=0\cdot p_1+1\cdot\frac{3}{10}+2\cdot\frac15+3\cdot p_2=\frac{7}{10}+3p_2\)

Schritt 2: Überlegung, wie groß \(p_2\) maximal sein kann

Der Erwartungswert ist nur abhängig von der Wahrscheinlichkeit \(p_2.\) Also überlegen wir uns, wie groß \(p_2\) maximal sein kann.
Es gilt:

\(p_1+0,3+0,2+p_2=1\Longrightarrow p_1+p_2=0,5\Longrightarrow p_2\le0,5\)
Folglich ist \(E(X)\le0,7+3\cdot0,5=2,2.\)

  • Punkte:  3

Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.

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