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Abi 2014 Pflichtteil


Aufgabe 1

Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit \(f(x)=\sqrt{x}\cdot e^{2x}\).

Schritt 1: Struktur der Funktion beschreiben

Der Funktionsterm von f ist das Produkt einer einfachen Funktion \(u(x) = \sqrt{x}\) und einer Verkettung \(v(x) = e^{2x}=g(h(x))\) mit \(g(x)=e^x\) und \(h(x) = 2x\).

Schritt 2: Rechenregeln anwenden

Da die Teilfunktionen u und v miteinander multipliziert werden, wird die Produktregel benötigt.

Produktregel: \(f(x) = u(x)\cdot v(x) \Rightarrow f'(x) = u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)\)

Dabei kann u'(x) mit der Potenzregel bestimmt werden, denn \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\).

Potenzregel: \(u(x)=x^n\Rightarrow u' (x)=n⋅x^{(n-1)}\) mit \(n = \frac{1}{2}\) 
\(\Rightarrow u' (x)=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}⋅x^{- \frac{1}{2}}=\frac{1}{2√x}\) .

Die Funktion v ist eine Verkettung, sodass die Kettenregel gebraucht wird.

Kettenregel: \(v(x)=g(h(x))\Rightarrow v'(x)=g'(h(x))⋅h'(x)\) mit \(g(x) = e^x\) und \(h(x)=2x\Rightarrow v'(x)=e^{2x}\cdot 2 = 2e^{2x}\)

Einsetzen von u'(x) und v'(x) in die Formel liefert:

\(\begin{align*}f'(x)=&\frac{1}{2\sqrt{x}}⋅e^{2x}+x^{\frac{1}{2}}⋅2e^{2x}\\= &e^{2x}\cdot (\frac{1}{2√x}+√x)\end{align*}\)

  • Punkte:  2

Aufgabe 2

Berechnen Sie das Integral \(\int_{0}^{1} \frac{4}{(2x\ +\ 1)^3}dx\).

Schritt 1: Verschachtelungstyp erkennen

Der Integrand \(\frac{4}{(2x\ +\ 1)^3}=4\cdot(2x+1)^{-3}\) ist bis auf den konstanten Faktor 4 eine Verkettung aus der Potenzfunktion \(x \mapsto x^{-3}\) und der linearen Funktion \(x \mapsto 2x+1\)

Schritt 2: Integrationsregeln anwenden

Für Potenzfunktionen mit Exponenten ungleich \(-1\) gilt die Integrationsregel \(f(x) =x^n\Rightarrow\int_{}^{} f(x)dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\). Für \(n = -3\) ergibt sich somit \(F(x)=\frac{x^{-3+1}}{-3+1}=-\frac{1}{2}x^{-2}\) als Stammfunktion von \(f(x)=x^{-3}\). Die Regel der linearen Substitution besagt:

Ist eine Stammfunktion von h, so ist eine Stammfunktion von \(x\mapsto h(ax+b)\) gegeben durch \(x\mapsto \frac{1}{a}H(ax+b)\).

Nach dieser Regel ist dann durch \(x\mapsto\frac{1}{2}F(2x+1)=-\frac{1}{4}(2x+1)^{-2}\) eine Stammfunktion von \(x\mapsto f(2x+1)=(2x+1)^{-3}\) gegeben.

Um schließlich eine Stammfunktion des Integranden \(4\cdot(2x+1)^{-2}\) zu erhalten, muss die Faktorregel herangezogen werden. Sie lautet \(\int_{}^{} af(x)dx=a\int_{}^{} f(x)dx\). In unserem Fall ist \(a = 4\) und wir erhalten \(G(x)=-4\cdot\frac{1}{4}(2x+1)^{-2}=\frac{1}{(2x+1)^2}\) als Stammfunktion des Integranden \(\frac{4}{(2x\ +\ 1)^3}\).

Schritt 3: Integrationsgrenzen einsetzen und rechnen

Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt \(\int_{0}^{1} \frac{4}{(2x+1)^3}dx=\begin{bmatrix}\frac{-1}{(2x+1)^2} \end{bmatrix}_{0}^{1}=-\frac{1}{9}+1=\frac{8}{9}\).

  • Punkte:  2

Aufgabe 3

Lösen Sie die Gleichung \(x^4=4+3x^2\).

Schritt 1: Gleichungstyp erkennen

Es tauchen nur zweite und vierte Potenzen der Variablen auf, d. h., es handelt sich um eine biquadratische Gleichung.

Schritt 2: Durch Substitution quadratische Gleichung bilden

Durch die Substitution \(u=x^2\) wird die biquadratische Gleichung 

\(x^4=4+3x^2\)

zur quadratischen Gleichung

\(u^2=4+3u\).

Schritt 3: Quadratische Gleichung lösen

\(u^2=4+3u\quad\quad\mid-3u-4\\ u^2-3u-4=0\quad\quad quadratische\;Lösungsformel\\ u=\frac{3\ \pm\ \sqrt{(-3)^2\ -\ 4\ \cdot\ [-4]}}{2}=\frac{3}{2}\pm\frac{5}{2}\)

Somit ergeben sich die zwei Lösungen \(u=\frac{3}{2}-\frac{5}{2}=-1\) und \(u=\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4\).

Schritt 4: Rücksubstitution

Um die ursprüngliche biquadratische Gleichung zu lösen, wird die Substitution \(u=x^2\) wieder rückgängig gemacht. Durch Einsetzen der beiden Lösungen für u ( also \(u=-1\) und \(u=4\)) in diese Substitutionsgleichung ergeben sich die Lösungen für x.

\(-1 = x^2\) hat keine reelle Lösung.

\(4=x^2\) hat die reelle Lösung \(x=-2\) und \(x=2\). Dies sind also alle reellen Lösungen der vorgegebenen biquadratischen Gleichung.

  • Punkte:  3

Aufgabe 4

Gegeben sind die Funktionen f und g mit \(f(x)=\cos(x)\) und \(g(x) = 2\cos\left(\begin{array}{c}\frac{\pi}{2}x\\ \end{array}\right)-2.\)

  1. Beschreiben Sie, wie man den Graphen von g aus dem Graphen von f erhält.
  2. Bestimmen Sie die Nullstellen von g für \(0\leq x\leq4.\)

Aufgabe 4a) 

Beschreiben Sie, wie man den Graphen von g aus dem Graphen von f erhält.

Schritt 1: Transformation von f nach g erklären, Periodenstreckungsparameter erklären

Zunächst wird \(f(x)=\cos(x)\) durch Stauchung in x-Richtung um den Faktor \(\frac{\pi}{2}\) in die Funktion \(f^{*}(x)=\cos\left(\begin{array}{c}\frac{\pi}{2}x\\ \end{array}\right)\) überführt.

Streckungsparameter erklären

Aus \(f^{*}(x)=\cos\left(\begin{array}{c}\frac{\pi}{2}x\\ \end{array}\right)\) wird durch Streckung in y-Richtung um den Faktor 2 die Funktion \(f^{**}(x)=2\cos\left(\begin{array}{c}\frac{\pi}{2}x\\ \end{array}\right)\).

Verschiebung erklären

Der Graph von \(f^{**}\) wird nun um 2 LE nach unten verschoben, um \(G_f\) zu erhalten.

Aufgabe 4b)

Bestimmen Sie die Nullstellen von g für \(0\leq x\leq4.\)

Schritt 1: Gleichung vereinfachen

Gesucht sind alle Lösungen der Gleichung:

\(2\cos\left(\begin{array}{c}\frac{\pi}{2}x\\ \end{array}\right)-2=0\;für\;0\leq x\leq 4\\ 2\cos\left(\begin{array}{c}\frac{\pi}{2}x\\ \end{array}\right)-2=0\quad\quad\mid+2\\ 2\cos\left(\begin{array}{c}\frac{\pi}{2}x\\ \end{array}\right)=2\quad\quad\mid:2\\ \cos\left(\begin{array}{c}\frac{\pi}{2}x\\ \end{array}\right)=1\)

Schritt 2: Gleichung lösen

Die Substitution \(u=\frac{\pi}{2}x\) liefert die einfachere Gleichung \(\cos(u)=1\).

Die Maxima der Kosinusfunktion befinden sich an den Stellen \(x_\kappa=2\kappa\pi\) für \(\kappa\;\epsilon\;\mathbb{Z}\). Die Rücksubstitution liefert \(u=\frac{\pi}{2}x=2\kappa\pi\Leftrightarrow x=\frac{2\kappa\pi}{\frac{\pi}{2}}=4\kappa\;(\kappa\;\epsilon\;\mathbb{Z})\). Die einzigen ganzzahligen Vielfachen von 4, die im Intervall \([0;4]\) liegen, sind die Ränder. Die gesuchten Lösungen der Gleichung (und damit die Nullstellen von g) sind somit \(x=0\) und \(x=4\).

  • Punkte:  4

Aufgabe 5

Die Abbildung zeigt die Graphen \(K_f\) und \(K_g\) zweier Funktionen f und g.

  1. Bestimmen Sie \(f(g(3))\). Bestimmen Sie einen Wert für x so, dass \(f(g(x))=0\) ist.

  2. Die Funktion h ist gegeben durch \(h(x) = f(x)\cdot g(x)\). Bestimmen Sie \(h'(2)\).

Abi 2014 Pflichtteil - Abbildung 1

Aufgabe 5a)

Bestimmen Sie \(f(g(3))\). Bestimmen Sie einen Wert für x so, dass \(f(g(x))=0\) ist.

Schritt 1: Funktionswert der Verkettung an der Stelle \(x = 3\) bestimmen

Der Funktionswert von g an der Stelle \(x=3\) ist die Höhe des Schnittpunkts von \(K_g\) mit der senkrechten Geraden \(x=3\), also laut Abbildung etwa \(-1\). Dieser Wert wird in \(f\) eingesetzt. Der Funktionswert von \(f\) an der Stelle \(x=-1\) ist die Höhe des Schnittpunkts von \(K_f\) mit der senkrechten Geraden \(x=-1\), also laut Abbildung etwa 5. Es gilt also (innerhalb der Genauigkeit der Abbildung) \(f(g(3))=f(-1)=5\).

Schritt 2: Eine Nullstelle der Verkettung bestimmen

Eine Nullstelle von \(f\) ist der x-Wert eines Schnittpunkts von \(G_f\) mit der x-Achse. Ein solcher ist laut Abbildung etwa \((0\mid0)\), also bei \(x=0\). Die Verkettung \(f\circ g\) nimmt also den Wert null an, wenn \(g\) den Wert null annimmt. Die Nullstelle von \(g\) liegt laut Abbildung etwa bei \(x=2\). Somit ist \(f(g(2)) = f(0)=0\), d. h., \(x=2\) hat die gewünschte Eigenschaft.

Bemerkung

Eine weitere Nullstelle von f ist etwa bei \(x=4\) und \(g\) nimmt etwa bei \(x=-2\) den Wert 4 an. Also ist \(x=-2\) eine weitere Lösung der Gleichung \(f(g(x)=0\).

Aufgabe 5b)

Die Funktion h ist gegeben durch \(h(x) = f(x)\cdot g(x)\). Bestimmen Sie \(h'(2)\).

Schritt 1: Produktregel anwenden

Laut Produktregel ist \(h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \), also speziell \(h'(2) = f'(2)\cdot g(2) + f(2) \cdot g'(2)\).

Schritt 2: Werte ablesen und einsetzen 

\(f'(2)\) ist die Steigung von \(K_f\) an der Stelle \(x=2\), also etwa 0, denn \(K_f\) hat einen Tiefpunkt etwa bei \((2\mid-4)\). \(g(2)\) ist der Funktionswert von \(g\) an der Stelle \(x=2\), also etwa 0. \(f(2)\) ist etwa \(-4\) und \(g'(2)\) ist die Steigung der Geraden \(k_g\). Die Gerade geht in etwa durch die Punkte \((0\mid 2)\) und \((2\mid 0)\) und hat somit ungefähr die Steigung \(\frac{0\ -\ 2}{2\ -\ 0}=-1\). Einsetzen dieser Schätzwerte in die Formel

\(h'(2)=f'(2)\cdot f(2)\cdot g'(2)\)

liefert \(h'(2) = 0\cdot 0 + (-4) \cdot (-1) = 4\).

  • Punkte:  4

Aufgabe 6

Gegeben sind die Ebenen \(E:x_1+x_2=4\) und \(F:x_1+x_2+2x_3=4\).

  1. Stellen Sie die beiden Ebenen in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F an.
  2. Die Ebene G ist parallel zur x1-Achse und schneidet die x2x3-Ebene in derselben Spurgeraden wie die Ebene F. Geben Sie eine Gleichung der Ebene G an.

Aufgabe 6a)

Stellen Sie die beiden Ebenen in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F an.

Schritt 1: Spurpunkte mit Achsenabschnittsform bestimmen

\(E:\frac{x_1}{4}+\frac{x_2}{4}=1\qquad S_{E_1}(0\mid4\mid0),\;S_{E_2} (0\mid4\mid0),\) kein Punkt auf der x3-Achse 

\(F:\frac{x_1}{4}+\frac{x_2}{4}+\frac{x_3}{2}=1\qquad S_{F_1}(4\mid0\mid0),\ S_{F_2}(0\mid4\mid0),\ S_{F_3} (0\mid0\mid2)\)

Schritt 2: Ebenen in einem Koordinatensystem zeichnen

Da E keinen Schnittpunkt mit der x3-Achse hat, verläuft diese Ebene parallel zur x3-Achse durch die beiden Spurpunkte \(S_{E_1}\) und \(S_{E_2}\). F ist die ebene Fortsetzung des Spurdreiecks mit Eckpunkten \(S_{F_1}\), \(S_{F_2}\) und \(S_{F_3}\).

Abi 2014 Pflichtteil - Abbildung 2

Schritt 3: Schnittgerade ablesen und angeben

Die gemeinsamen Spurpunkte \(S_{E_1} (4\mid 0\mid 0) \) und \(S_{E_2} (0\mid4\mid0)\) legen bereits Schnittgeraden von E und F fest. Eine Parametergleichung lautet:

\(g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OS_{E_1}}+r\cdot(\overrightarrow{OS_{E_2}}-\overrightarrow{OS_{E_1}})=\left(\begin{array}{c}4\\0\\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}-4\\4\\ 0\end{array}\right);\quad r\;\epsilon\;\mathbb{R}\)

Aufgabe 6b)

Die Ebene G ist parallel zur x1-Achse und schneidet die x2x3-Ebene in derselben Spurgeraden wie die Ebene F. Geben Sie eine Gleichung der Ebene G an.

Schritt 1: Gleichung in Achsenabschnittsform ansetzen

Die Ebene G enthält die Spurgerade g und ist damit nicht parallel zur x2- oder x3-Achse. Sie ist aber parallel zur x1-Achse. Deswegen taucht die Koordinate x1 in der Gleichung von G nicht auf, sehr wohl aber die Koordinaten x2 und x3. Die Achsenabschnittsform muss also \(G:\frac{x_2}{a}+\frac{x_3}{b}=1\) für geeignete Konstanten a und b lauten.

Schritt 2: Spurpunkte einsetzen

Mit g enthält G auch die beiden Spurpunkte \(S_{G_2}(0\mid4\mid0)\) und \(S_{G_3}(0\mid0\mid2)\). Einsetzen von \(S_{G_2}\) in die Achsenabschnittsform für G liefert die zur Koordinate x2 gehörige Konstante a = 4. Einsetzen von \(S_{G_2}\) liefert die zur Koordinate x3 gehörige Konstante b = 2. Die vollständige Achsenabschnittsform von G lautet somit:

\(G:\frac{x_2}{a}+\frac{x_3}{b}=1\)

Bemerkung

Eine Parametergleichung für G lautet:

\(g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right);\quad s\;\epsilon\;\mathbb{R},\ t\;\epsilon\;\mathbb{R}\)

  • Punkte:  5

Aufgabe 7

Gegeben sind die Punkte \(A (1\mid10\mid1)\)\(B (-3\mid13\mid1)\) und \(C (2\mid3\mid1)\).

Die Gerade g verläuft durch A und B. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes C von der Geraden g.

Schritt 1: Lotfußpunkt bestimmen

Geradengleichung aufstellen

Die Punkte A und G legen die Gerade g eindeutig fest, der Ortsvektor von A kann als Stützvektor dienen, der Vektor \(\overrightarrow{AB} \) ist ein möglicher Richtungsvektor von g. Somit ergibt sich \(g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\10\\ 1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}-4\\3\\ 0\end{array}\right)\) mit r reell.

Orthogonalitätsbedingung aufstellen (Skalarprodukt anwenden)

Der allgemeine Geradenpunkt Pr auf g hat den Ortsvektor \(\overrightarrow{OP_r}=\left(\begin{array}{c}1\\10\\ 1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}-4\\3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1-4r\\10+3r\\ 1\end{array}\right)\). Der Abstand von g zu C ist der kürzeste Abstand eines solchen Punktes zu C. Der Abstand ist genau dann minimal, wenn der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{P_rC}\) auf der Geraden g senkrecht steht. Die Bedingung dafür ist, dass das Skalarprodukt aus dem Verbindungsvektor \(\overrightarrow{P_rC}\) und dem Richtungsvektor \(\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\0\end{array}\right)\) der Geraden g verschwindet, d. h. \(\overrightarrow{P_rC}\circ\left(\begin{array}{c}-4\\3\\ 0\end{array}\right)=0\).

Dabei ist \(\overrightarrow{P_rC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OP_r}=\left(\begin{array}{c}2\\3\\1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1-4r\\10+3r\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+4r\\-7-3r\\ 0\end{array}\right)\), also:

\(\begin{align}\overrightarrow{P_rC}\circ\left(\begin{array}{c}-4\\3\\ 0\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}1-4r\\-7-3r\\0\end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c}-4\\3\\ 0\end{array}\right)\\&= (1+4r)\cdot(-4)+(-7-3r)\cdot 3 + 0 \cdot 0\\&=-4-16r-21-9r\\&=25-25r\end{align}\)

Gleichung lösen

Die Gleichung \(-25-25r=0\) hat als Lösung \(r=1\). Einsetzen dieser Lösung in die Koordinaten von \(P_r\) liefert den Lotfußpunkt \(L(1-4\cdot(-1)\mid10+r\cdot(-1)\mid1)=L(5\mid9\mid1)\).

Schritt 2: Abstand ausrechnen

Für den Abstand von C und g ergibt sich somit \(d(c,g)=d(L,C)=\;\mid\overrightarrow{LC}\mid\). Durch Einsetzen des Parameters \(r=-1\) in die obige Gleichung \(\overrightarrow{P_rC}=\left(\begin{array}{c}1+4r\\-7-3r\\0\end{array}\right)\) ergibt sich \(\overrightarrow{LC}=\left(\begin{array}{c}-3\\-4\\0\end{array}\right)\). Also kann die Berechnung von \(d(C,g)\) wie folgt fortgesetzt werden:

\(\begin{align}d(c,g)&=\mid\overrightarrow{LC}\mid\\ &=\left\vert\left(\begin{array}{c}-3\\-4\\0\end{array}\right)\right\vert\\&=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2+0^2}\\&=\sqrt{9+16}\\&=5\end{align}\)

Der Abstand des Punktes C von der Geraden g beträgt somit 5 LE.

  • Punkte:  4

Aufgabe 8

An einem Spielautomaten verliert man durchschnittlich \(\frac23\) aller Spiele.

  1. Formulieren Sie ein Ereignis A, für das gilt:

\(P(A)=\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3}\end{array}\right)^8\cdot\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\end{array}\right)^2+10\cdot\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3}\end{array}\right)^9\cdot\frac{1}{3}+\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3}\end{array}\right)^{10}\)

  1. Jemand spielt 4 Spiele an dem Automaten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert er dabei genau 2-mal?

Aufgabe 8a)

 Formulieren Sie ein Ereignis A, für das gilt:

\(P(A)=\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3}\end{array}\right)^8\cdot\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\end{array}\right)^2+10\cdot\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3}\end{array}\right)^9\cdot\frac{1}{3}+\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3}\end{array}\right)^{10}\)

Schritt 1: Typ des Zufallsexperiments erkennen

Der erste Summand hat die Form \(\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\) mit k = 8, n = 10 und \(p=\frac{2}{3}\).

Die anderen Summanden lassen sich auch auf diese Form bringen, denn \(10\cdot (\frac{2}{3})\cdot\frac{1}{3}=\left(\begin{array}{c}10\\ 9\end{array}\right)\cdot(\frac{2}{3})^9\cdot(\frac{1}{3})^1\) und \((\frac{2}{3})^{10}=\left(\begin{array}{c}10\\ 10\end{array}\right)\cdot(\frac{2}{3})^{10}\cdot(\frac{1}{3})^0.\)

\(\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\) ist die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p=\frac{2}{3}\) entspricht in der vorliegenden Situation der Wahrscheinlichkeit, ein Spiel zu verlieren. Die Länge n gibt an, wie oft gespielt wird, und k gibt an, wie viele Spiele verloren gehen.

Schritt 2: Ereignis formulieren

Der vorgegebene Term ist nach obigen Umformungen \(\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right)\cdot(\frac{2}{3})^8\cdot(\frac{1}{3})^2+\left(\begin{array}{c}10\\ 9\end{array}\right)\cdot (\frac{2}{3})^9+\left(\begin{array}{c}10\\ 10\end{array}\right)\cdot (\frac{2}{3})^{10}\cdot (\frac{1}{3})^0.\)

Nach der Pfadadditionsregel entspricht die Addition einer „oder“-Verknüpfung von Elementarereignissen, d. h., der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass entweder 8 oder 9 oder 10 Treffer bei einer Bernoulli-Kette erreicht werden. Gemäß obiger Übertragung auf unsere Situation heißt das, dass von insgesamt 10 Spielen entweder 8, 9 oder 10 verloren gehen. Das vereinfacht sich zum Ereignis

A: „Von 10 Spielen gehen mindestens 8 Spiele verloren.“

Aufgabe 8b)

Jemand spielt 4 Spiele an dem Automaten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert er dabei genau 2-mal?

Schritt 1: Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben

Die Zufallsvariable X, welche die Anzahl der verloren gegangenen Spiele bei insgesamt 4 Spielen zählt, ist binomialverteilt mit Parametern n = 4 und \(p = \frac{2}{3}\)

\(P (x = 2)=B(4, \frac{2}{3},2)\)

Schritt 2: Wahrscheinlichkeit mit der Bernoulli-Formel berechnen

Die Wahrscheinlichkeit, genau 2-mal zu verlieren, ist:

\(\begin{align}P(x=2)=B(4,\frac{2}{3},2)\\=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)\cdot(\frac{2}{3})^2\cdot(\frac{1}{3})^2\\=6\cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{9}\\=\frac{24}{81}\\=\frac{8}{27}\end{align}\)

  • Punkte:  3

Aufgabe 9

Gegeben sind der Mittelpunkt einer Kugel sowie eine Ebene. Die Kugel berührt diese Ebene. Beschreiben Sie, wie man den Kugelradius und den Berührpunkt bestimmen kann.

Schritt 1: Skizze anfertigen

In der folgenden 2-D-Skizze ist E die vorgegebene Ebene, \(\overrightarrow{n}\) ein Normalenvektor von E, M der Mittelpunkt der Kugel, B der Berührpunkt der Kugel mit der Ebene und g die Gerade durch M und B.

Abi 2014 Pflichtteil - Abbildung 3

Schritt 2: Vorgehensweise beschreiben

Der Berührpunkt B der Kugel mit der Ebene ist der Schnittpunkt der Geraden g mit E. Eine Parametergleichung der Geraden g ergibt sich wie folgt: Als Stützvektor dient der Ortsvektor des vorgegebenen Kugelmittelpunkts M. Als Richtungsvektor dient der Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene E (den man ggf. aus der Ebenengleichung von E bestimmen muss), denn g schneidet E im rechten Winkel. Dann bestimmt man den Schnittpunkt von g und E, das ist der Berührpunkt B. Der Radius der Kugel ist der Abstand von B zum Kugelmittelpunkt M, also \(r=d(M, B)=\vert\overrightarrow{MB}\vert=\vert\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}\vert\).

  • Punkte:  4

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