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Abi 2014 Gesamtklausur Teil A


Analysis

Aufgabenbereich 1

Aufgabe 1

Schritt 1: Lage des Extrempunkts \(E\)

Laut Quotientenregel ist:
\(\begin{align*}\\ f'(x)&=\left(\frac{x}{\ln\;x}\right)'=\frac{x'\cdot\;\ln\;x\;-\;x\;\cdot\;(\ln\;x)'}{(\ln\;x)^2}\\ &=\frac{1\cdot\;\ln\;x-x\cdot\frac{1}{x}}{(\ln\;x)^2}=\frac{\ln\;x-1}{(\ln\;x)^2} \end{align*}\)

Null setzen liefert:
\(\begin{align*}&f'(x)\stackrel{!}{=}0\\ \Longleftrightarrow&\ln\;x-1=0\\ \Longleftrightarrow& \ln\;x=1\\ \Longleftrightarrow& x=e\end{align*}\)

\(\begin{align*}f(e)=\frac{e}{\ln\;e}=\frac{e}{1}=e\Longrightarrow E(e|e)\end{align*}\)

Schritt 2: Art des Extrempunkts \(E\)

 

 - Abbildung 1
 

\(\Longrightarrow E(e|e)\) ist ein Tiefpunkt.

  • Punkte:  5

Aufgabe 2

a)

Schritt 1: Nullstellen bestimmen

Null setzen liefert:
\(f(x)=e^x\cdot(2x+x^2)=0\\ \Longleftrightarrow e^x=0\text{ oder }2x+x^2=0\)

Ausklammern liefert:
\(\Longleftrightarrow x(2+x)=0\) (da \(e^x\ne0\))

\(\Longrightarrow\) Nullstellen bei \(x_1=0\) und \(x_2=-2.\)

b)

Schritt 1: Stammfunktion prüfen

Wir müssen zeigen, dass \(F'(x) = f(x)\) ist.

\(F(x) = x^2\cdot e^x\)

Laut Produktregel ist:
\(\begin{align*}\\ \Longrightarrow F'(x)&=(x^2)'\cdot e^x+x^2\cdot(e^x)'\\ &=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x\\ &=e^x(2x+x^2)=f(x) \end{align*}\)

Schritt 2: Stammfunktion \(G\) bestimmen

Wir bestimmen \(G(x)\):
Die zwei Stammfunktionen \(F\) und \(G\) von \(f\) unterscheiden sich höchstens um eine Konstante \(C\), setze also als Erstes
\(G(x)=F(x)+C\) und bestimme dann \(C\) mittels der Bedingung \(G(1)=2e.\)

Einsetzen liefert \(G(1) = F(1)+C=2e\)
\(\begin{align*} &\Longrightarrow C=2e-F(1)=2e-e=e\\ &\Longrightarrow G(x)=F(x)+e\text{, also}\\ &G(x)= x^2 \cdot e^x+e \end{align*}\)

  • Punkte:  5

Aufgabe 3

a)

Schritt 1: Allgemeine Sinusfunktion anpassen

\(\alpha\)) Wähle eine um 1 nach oben verschobene Sinuskurve  \(g_{a,c}=\sin(x)+1\)
\(\Longrightarrow a=1,\;c=1.\)

\(\beta\)) Die Periodenlänge der Funktion  \(g_{a,0}=\sin(ax)\) ist zugleich der Abstand zwischen der ersten und dritten nicht negativen Nullstelle. Die Periodenlänge ist \(\frac{2\pi}{a}=\pi\Longrightarrow a=2.\)
Somit ist \(g_{a,c}=\sin(2x)\) mit \(a=2\) und \(c=0\) eine Lösung.

b)

Schritt 1: Wertemenge bestimmen

Laut Kettenregel ist:
\(\begin{align*} (g_{a,c}(x))'&=(\sin(ax)+c)'\\ &=\cos(ax)\cdot(ax)'+0\\ &=\cos(ax)\cdot a\\ &=a\cdot\cos(ax) \end{align*}\)

Da \(\cos(ax)\) das Intervall [–1;1] als Wertemenge hat, nimmt die Ableitung von \(g_{a,c}\) genau die Werte aus dem Intervall \([a;a]\) an.

  • Punkte:  5

Aufgabe 4

a)

Schritt 1: Verhalten der Stammfunktion zwischen \(a\) und \(b\) beschreiben

Die gesuchte Stammfunktion von \(f\) bezeichnen wir mit \(F\).

Die Steigung des Graphen von \(F\) ist durch den Graphen von \(f\) gegeben.
Im Intervall \([a;b]\) hat \(f\) eine Nullstelle \(x_0\) mit Vorzeichenwechsel.

Links von der Nullstelle \(x_0\) steigt der Graph von \(F\) streng monoton, da dort \(f\) positiv ist. Rechts von der Nullstelle \(x_0\) fällt der Graph von \(F\) streng monoton, da dort \(f\)negativ ist.
An der Stelle \(x_0\) hat der Graph von \(F\) demnach einen Hochpunkt \(H\).

b)

Schritt 1: Verhalten der Stammfunktion rechts von \(b\) beschreiben

An der Stelle \(x_1\) hat der Graph von \(f\) einen Tiefpunkt. Damit hat hier \(f'\) und damit auch \(F''\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Also hat der Graph von \(F\) an der Stelle \(x_1\) einen Wendepunkt \(W\)
Rechts von der Stelle \(x_2\) ist \(f(x)\) und damit die Steigung des Graphen von \(F\) (soweit man sehen kann) konstant. In diesem Bereich sieht also der Graph von \(F\) aus wie eine Gerade. Hier eine Skizze dazu:

 

 - Abbildung 1
 

Aus den obigen Daten ergibt sich folgendes Bild von \(F\):

 

 - Abbildung 1
 
Bemerkung

Eine Stammfunktion von \(f\) ist nur bis auf Verschiebung um eine Konstante eindeutig bestimmt. Dies bedeutet, dass der blaue Graph beliebig nach oben oder unten verschoben werden kann und dabei immer noch eine korrekte Lösung darstellt.

  • Punkte:  5

Aufgabenbereich 2

Aufgabe 1

a)

Um eine Funktion \(f\) an der y-Achse zu spiegeln, muss man im Funktionsterm jedes \(x\) durch \(-x\) ersetzen. Im vorliegenden Fall wird aus der ursprünglichen Funktion \(f(x)=\sin(x)\) die Funktion \(g(x)=\sin(-x)\).

b)

Schritt 1: Skizze

 

 - Abbildung 1
 

Schritt 2: Passenden Funktionsterm suchen

Die Sinusfunktion hat den Wertebereich [−1;1].
Für den geforderten Wertebereich [1;3] muss man die Sinusfunktion um zwei Einheiten nach oben verschieben.
Die Verschiebungsformel liefert den Funktionsterm \(h(x)=\sin(x)+2\).

c)

In dem Term \(\sin(bx) \) bestimmt der Parameter \(b\) die Periodenlänge. Die Periodenlänge beträgt \(\frac{2\pi}{b}\). Wenn die Periode \(\pi\) sein soll, muss \(b=2\) sein.
Eine Lösung lautet also \(k(x)=\sin(2x)\).

  • Punkte:  3

Aufgabe 2

a)

Schritt 1: Funktionsterm gleich Null setzen

\(f(x)=e^x\cdot(2x+x^2)\), also
\(f(x)\stackrel{!}{=}0\Leftrightarrow e^x\cdot(2x+x^2)=0\)

Schritt 2: Einzelne Faktoren gleich Null setzen

\(e^x\cdot(2x+x^2)=0\)
\(\Leftrightarrow e^x=0\)  oder \(2x+x^2=0 \)
Die Gleichung \(e^x=0\) hat keine Lösung.
\(2x+x^2=0\)
\(\Leftrightarrow x(2+x)=0\Leftrightarrow x=0\) oder \(x=-2\)

Schritt 3: Nullstellen angeben

Die Funktion f hat also zwei Nullstellen, \(x_{1}=0\) und \(x_{2}=-2\).

b)

\(F\) ist eine Stammfunktion von \(f,\) wenn gilt: \(F'(x)=f(x)\).
Wir bestimmen die Ableitung von \(F(x)\) mit der Produktregel:
\(F'(x)=(x^2)'\cdot e^x+x^2(e^x)'=2x\cdot e^x+x^2e^x=(2x+x^2)e^x=f(x)\)

Jede Funktion der Form \(x^2\cdot e^x+C\) ist eine Stammfunktion von ​\(f\).
Um \(C\) zu bestimmen, setzen wir für \(x\) 1 ein. Das Ergebnis muss \(2e\) sein.
\(e+C=2e,\) also \(C=e \). Setze daher \(G(x) =x^2\cdot e^x+e\).

  • Punkte:  5

Aufgabe 3

Wendepunkte einer zweimal differenzierbaren Funktion sind Nullstellen der zweiten Ableitung mit Vorzeichenwechsel. Da g zwei Wendepunkte im Intervall [−5;5] hat, muss g'' in diesem Bereich zwei Nullstellen haben, also kommen nur die Graphen I und III infrage. Bei Graph III treten keine Vorzeichenwechsel auf, also ist Graph I der gesuchte.

  • Punkte:  2

Aufgabe 4

Schritt 1: Zielfunktion aufstellen

 

 - Abbildung 1
 

Wir suchen eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x.\) Die Formel für den Flächeninhalt von Rechtecken lautet im Allgemeinen \(A=a\cdot b\), wenn \(a\) und \(b\) die Seitenlängen sind.

Wir bezeichnen den Eckpunkt des Rechtecks, der auf dem Funktionsgraphen liegt, mit \(P.\) Dann ist die Länge des Rechtecks offensichtlich \(x_p\) und die Höhe \(y_p\) und damit ist \(A=x_p\cdot y_p\).

Schritt 2: Unbekannte eliminieren

Wir ersetzen \(y_p\) durch \(-\ln(x)\). Damit haben wir eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\).

\(A(x)=x\cdot(-\ln(x))=-x\cdot\ln(x)\)

Schritt 3: Extremwerte berechnen

Gesucht ist der Hochpunkt der Funktion, das heißt, es muss gelten:
\(A'(x)\stackrel{!}{=}0\) und \(A''(x)<0\)

Wir berechnen die 1. Ableitung mit der Produktregel.
\(\begin{align*} A'(x)&=(-x)'\cdot \ln(x)+(-x)\cdot(\ln(x))'\\ &=-\ln(x)- x\cdot\frac1x\\ &=-\ln(x)-1, \end{align*}\)

wobei Nullsetzen liefert:
\(-\ln(x)-1=0\Leftrightarrow\ln(x)=-1\Leftrightarrow x=e^{-1}=\frac1e\)

Schritt 4: Art des Extremwertes bestimmen

\(A''(x)=-\frac1x\\ A''(\frac1e)=-e<0\Rightarrow \text{Hochpunkt}\)

Das Rechteck mit der größten Fläche hat die Seitenlängen \(\frac1e\) und \(-\ln\frac1e=1\).

  • Punkte:  2

Aufgabe 5

a)

Schritt 1: Nullstelle von \(f\) interpretieren

Die gesuchte Stammfunktion von \(f\) bezeichnen wir mit \(F.\)

Die Steigung des Graphen von \(F\) ist durch den Graphen von \(f\) gegeben.
Im Intervall \([a;b]\) hat \(f\) eine Nullstelle \(x_0\) mit Vorzeichenwechsel: Links von \(x_0\) ist \(f\) positiv und rechts von \(x_0\) ist \(f\) negativ. Das bedeutet: Links von \(x_0\) steigt der Graph von \(F\) streng monoton, rechts von \(x_0\) fällt der Graph von \(F\) streng monoton.
An der Stelle \(x_0\) hat daher der Graph von \(F\) einen Hochpunkt \(H.\)

Schritt 2: Tiefpunkt von \(f\) interpretieren

Wegen \(F'(x)=f(x)\) ist \(F''(x)=f'(x).\)
\(f\) hat einen Tiefpunkt, dessen \(x\)-Koordinate wir mit \(x_1\) bezeichnen. Damit hat hier \(f'\) und damit auch \(F''\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Also hat der Graph von \(F\) an der Stelle \(x_1\) einen Wendepunkt \(W.\)
Der Wendepunkt \(W\) liegt tiefer als der Hochpunkt \(H,\) da der Graph von \(F\) in diesem Bereich streng monoton fällt.

Schritt 3: Bereich mit \(F(x)\) (fast) konstant interpretieren

Rechts von der Stelle \(x_2\) (siehe Skizze unten) ist \(f(x)\) und damit die Steigung des Graphen von \(F\) (soweit man sehen kann) konstant. In diesem Bereich sieht also der Graph von \(F\) aus wie eine Gerade.

b)

Die Daten aus Teilaufgabe a) liefern folgendes Bild (Stammfunktion blau):

 

 - Abbildung 1
  • Punkte:  5

Analytische Geometrie

Aufgabenbereich 1

Aufgabe 1

a)

Schritt 1: Koordinaten von F bestimmen 

\(\overrightarrow{OF}= \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}0\\8\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\8\\4\end{pmatrix}\)

Schritt 2: Vektor \(\overrightarrow{BF}\) berechnen

\(\overrightarrow{BF}=\begin{pmatrix}0\\8\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\8\\4\end{pmatrix}\)

Schritt 3: Länge des Vektors berechnen

\(\vert\overrightarrow{BF}\vert=\sqrt{(-8)^2+8^2+4^2}=12\;LE\)

b)

Schritt 1: Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren sind rechtwinklig, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.

Schritt 2: Berechnung der Vektoren \(\overrightarrow{MP}\) und \(\overrightarrow{MK}\)

Hierzu müssen wir zunächst die Koordinaten der Punkte P und M bestimmen.

P ist der Mittelpunkt der Strecke [BC]. Also ist
\(x_P=\frac{x_B+x_C}{2}=4,\;y_P=\frac{y_B+y_C}{2}=4\) und
\(z_P=\frac{z_B+z_C}{2}=0.\)

M ist der Mittelpunkt der Strecke [AD]. M hat also die Koordinaten M (0|0|2).
\(\Rightarrow\overrightarrow{MP}=\begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}\)

Berechnung des Vektors

 \(\overrightarrow{MK}=\begin{pmatrix}0\\y_K\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\y_K\\2\end{pmatrix}\)

Schritt 3: Das Skalarprodukt

Für Orthogonalität muss gelten: \(\overrightarrow{MP}\circ\overrightarrow{MK}=0,\) also:
\(\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\y_K\\2\end{pmatrix}=0\Longleftrightarrow4\cdot0+4\cdot\;y_K+(-2)\cdot\;2=0\Longleftrightarrow y_K=1\)

  • Punkte:  5

Aufgabe 2

a)

Die Ebene E ist parallel zur x1-Achse. Generell gilt: Kommt in der Koordinatengleichung einer Ebene eine Koordinate nicht vor, dann ist die Ebene parallel zu der Achse, deren Koordinate nicht vorkommt. Nach dieser Regel ist die Ebene E parallel zur x1-Achse.

b)

Schritt 1: Bedingung für Schnittpunkt Ebene–Kugel

Eine Ebene schneidet eine Kugel nur dann, wenn der Abstand des Mittelpunktes der Kugel von der Ebene höchstens so groß ist wie der Radius der Kugel. Ist der Abstand genau gleich dem Radius, dann berührt die Kugel die Ebene in genau einem Punkt.

Schritt 2: Abstandsberechnung

Abstand Punkt–Ebene über die Hesse-Normalform:
\(E:\frac{1}{5}(3x_2+4x_3-5)=0\)

Wenn man die Koordinaten des Mittelpunktes in die HNF einsetzt, erhält man bis auf Vorzeichen den Abstand des Mittelpunktes von der Ebene.
\(d=\vert\frac{1}{5}(3\cdot6+4\cdot3)\vert=6\)

Der Abstand des Mittelpunktes von E ist 6, der Radius der Kugel ist 7 > 6. Also schneidet die Ebene die Kugel.

  • Punkte:  5

Aufgabenbereich 2

Aufgabe 1

a)

Schritt 1: Quadereigenschaften

Drei Vektoren spannen dann einen Quader auf, wenn sie paarweise aufeinander senkrecht stehen.

Schritt 2: Nachweis

Zwei Vektoren bilden einen rechten Winkel, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.
\(\begin{align*} \overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}&=\pmatrix{2\\1\\2}\circ\pmatrix{-1\\2\\0}\\ &=2\cdot(-1)+1\cdot2+2\cdot0\\ &=0 \end{align*}\)

\(\begin{align*} \overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{c_t}&=\pmatrix{2\\1\\2}\circ\pmatrix{4t\\2t\\-5t}\\ &=2\cdot4t+1\cdot2t+2\cdot(-5t)\\&=0 \end{align*}\)

\(\begin{align*} \overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{c_t}&=\pmatrix{-1\\2\\0}\circ\pmatrix{4t\\2t\\-5t}\\ &=(-1)\cdot 4t+2\cdot2t+0\cdot(-5t)\\ &=0 \end{align*}\)

Somit stehen die Vektoren \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c_t}\) stets aufeinander senkrecht, unabhängig vom Parameter t, d. h., der von diesen Vektoren aufgespannte Körper ist immer ein Quader.

b)

Schritt 1: Volumenformel anwenden

\(V_{Spat}=\vert(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\circ\overrightarrow{c}\vert\)

Das Kreuzprodukt \(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\) ist \(\pmatrix{-4\\-2\\5}\).

Schritt 2: Werte für \(t\) ermitteln

\(\begin{align*} \vert(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\circ\overrightarrow{c}\vert&=\left|\right.{\pmatrix{-4\\-2\\5}\circ\pmatrix{4t\\2t\\-5t}}\left.\right|\\ &=\vert(-4)\cdot4t+(-2)\cdot2t+5\cdot(-5t)\vert\\ &=\vert-45t\vert=45\vert t\vert=15 \end{align*}\)

Die letzte Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn gilt:
\(\vert t \vert = \frac{1}{3}\Leftrightarrow t=\pm\frac{1}{3}\)

  • Punkte:  5

Aufgabe 2

a)

Schritt 1: Skizze

 

 - Abbildung 1
 

Man erreicht den Punkt Q, wenn man zu \(\overrightarrow{OM}\) den Vektor \(\overrightarrow{PM}\) addiert.

Schritt 2: Berechnung der Koordinaten

\(\begin{align*} \overrightarrow{OQ}&=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{PM}\\ \overrightarrow{OQ}&=\pmatrix{-3\\2\\7}+\left[{\pmatrix{-3\\2\\7}-\pmatrix{3\\4\\4}}\right]=\pmatrix{-9\\0\\10} \end{align*}\)

Der Punkt Q hat also die Koordinaten (−9|0|10).

b)

Schritt 1: Vorüberlegung

Eine Kugel berührt eine Ebene genau dann in nur einem Punkt, wenn der Abstand des Mittelpunktes der Kugel von der Ebene dem Radius der Kugel entspricht.

Schritt 2: Radius der Kugel

Der Radius der Kugel entspricht der Länge des Vektors \(\overrightarrow{MP}\).
\(\overrightarrow{MP}=\pmatrix{-6\\-2\\3}\\ \Rightarrow\vert\overrightarrow{MP}\vert=\sqrt{(-6)^2+(-2)^2+3^2}=7\quad (Dies\ ist\ also\ der\ Radius.)\)

Schritt 3: Abstand Mittelpunkt–Ebene

Der Abstand des Mittelpunktes von der x1x2-Ebene ist der Wert der x3-Koordinate des Mittelpunktes. Dieser Wert ist 7, also gleich dem oben bestimmten Radius. Das heißt, die Kugel berührt die x1x2-Ebene in genau einem Punkt.

  • Punkte:  5

Stochastik

Aufgabenbereich 1

Aufgabe 1

a)

Schritt 1: Visualisieren

 

 - Abbildung 1
 

Schritt 2: Möglichkeiten festlegen

Das Experiment besteht aus zwei Zügen mit jeweils zwei Möglichkeiten, das heißt, es gibt insgesamt vier Möglichkeiten. 

 

 - Abbildung 1
 

Schritt 3: Zusammensetzungen bestimmen

In den Fällen rr bzw. ww ändert sich die Zusammensetzung in Urne A nicht, es bleibt bei 2 roten und 3 weißen Kugeln in Urne A.
rw bedeutet, Urne A gibt eine rote Kugel ab und bekommt dafür eine weiße. Damit hat jetzt Urne A eine rote und 4 weiße Kugeln.
wr: Urne A gibt eine weiße Kugel ab und bekommt dafür eine rote. Damit hat jetzt Urne A 3 rote und 2 weiße Kugeln.
Insgesamt gibt es also drei Möglichkeiten für den Inhalt der Urne A nach dem 2. Zug, die wir schematisch wie folgt darstellen können:
(rwwww), (rrwww) oder (rrrww).

b)

Schritt 1: Pfadregeln

3 weiße Kugeln in Urne A gibt es nur, wenn rr bzw. ww gezogen wird.
Der Fall „1. Kugel rot und 2. Kugel rot oder 1. Kugel weiß und 2. Kugel weiß“ hat nach den Pfadregeln die Wahrscheinlichkeit \(P(E)=P(r_1)\cdot P(r_2|r_1)+P(w_1)\cdot P(w_2|w_1),\) wobei die Indizes anzeigen, um welche Ziehung es sich handelt.

Schritt 2: Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten

\(P(r_1)\) ist \(\frac25,\) da bei der 1. Ziehung 2 der 5 Kugeln rot sind.
\(P(r_2|r_1):\)  Wenn im 1. Zug eine rote Kugel gewählt wird, befinden sich in Urne B 4 rote und 2 weiße Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote aus Urne B zu ziehen, ist also \(\frac23.\)
\(P(w_1)\) ist \(\frac35,\) da bei der 1. Ziehung 3 der 5 Kugeln weiß sind.
\(P(w_2|w_1):\) Eine weiße Kugel im 1. Zug bedeutet für Urne B 3 rote und 3 weiße Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit für weiß im 2. Zug ist dann \(\frac12.\)

Schritt 3: Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E

\(P(E)=\frac25\cdot\frac23+\frac35\cdot \frac12=\frac{4}{15}+\frac{3}{10}=\frac{17}{30}>\frac{15}{30}=\frac12\)

Das Ereignis E hat tatsächlich eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis, da seine Wahrscheinlichkeit größer ist als \(\frac12.\)

  • Punkte:  5

Aufgabe 2

Schritt 1: Bedeutung des Terms bestimmen

Der Term \(0,9^{20}+20\cdot0,1\cdot0,9^{19}\) bedeutet, dass ein Ereignis, das mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 eintritt, bei 20-maliger Wiederholung des Experiments höchstens einmal eintritt. (Oder äquivalent dazu: Ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 0,9 tritt bei 20-maliger Wiederholung des Experiments mindestens 19-mal auf.)

Schritt 2: Ereignis berechnen

Beispiel: Ein Torwart hält im Schnitt jeden 10. Elfmeter. Es wird 20-mal geschossen. Das Ereignis, dass er höchstens einen Elfmeter hält, genügt den gewünschten Anforderungen.

  • Punkte:  2

Aufgabe 3

Schritt 1: Berechnung des Erwartungswertes

Der Erwartungswert wird mit der Formel \(E(X)=\sum^3_{i=0}x_iP(X=x_i)\) berechnet, wobei die Indizes die Werte sind, die von X angenommen werden können.
\(E(X)=0\cdot p_1+1\cdot\frac{3}{10}+2\cdot\frac15+3\cdot p_2=\frac{7}{10}+3p_2\)

Schritt 2: Überlegung, wie groß \(p_2\) maximal sein kann

Der Erwartungswert ist nur abhängig von der Wahrscheinlichkeit \(p_2.\) Also überlegen wir uns, wie groß \(p_2\) maximal sein kann.
Es gilt:

\(p_1+0,3+0,2+p_2=1\Longrightarrow p_1+p_2=0,5\Longrightarrow p_2\le0,5\)
Folglich ist \(E(X)\le0,7+3\cdot0,5=2,2.\)

  • Punkte:  3
Aufgabenbereich 2

Aufgabe 1

a)

Schritt 1: Visualisieren

 

 - Abbildung 1
 

Schritt 2: Möglichkeiten festlegen

Das Experiment besteht aus zwei Zügen mit jeweils zwei Möglichkeiten, das heißt, es gibt insgesamt vier Möglichkeiten.

 

 - Abbildung 1
 

Schritt 3: Zusammensetzungen bestimmen

In den Fällen rr bzw. ww ändert sich die Zusammensetzung in Urne nicht, es bleibt bei 2 roten und 3 weißen Kugeln in Urne A.
rw bedeutet, Urne A gibt eine rote Kugel ab und bekommt dafür eine weiße. Damit hat jetzt Urne A eine rote und 4 weiße Kugeln.
wr: Urne A gibt eine weiße Kugel ab und bekommt dafür eine rote. Damit hat jetzt Urne A 3 rote und 2 weiße Kugeln.
Insgesamt gibt es also drei Möglichkeiten für den Inhalt der Urne A nach dem 2. Zug, die wir schematisch wie folgt darstellen können:
(rwwww), (rrwww) oder (rrrww).

b)

Schritt 1: Pfadregel

3 weiße Kugeln in Urne A gibt es nur, wenn rr bzw. ww gezogen wird.
Der Fall „1. Kugel rot und 2. Kugel rot oder 1. Kugel weiß und 2. Kugel weiß“ hat nach den Pfadregeln die Wahrscheinlichkeit \(P(E)=P(r_1)\cdot P(r_2|r_1)+P(w_1)\cdot P(w_2|w_1),\) wobei die Indizes anzeigen, um welche Ziehung es sich handelt.

Schritt 2: Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten

\(P(r_1)\) ist \(\frac25,\) da bei der 1. Ziehung 2 der 5 Kugeln rot sind.
\(P(r_2|r_1):\) Wenn im 1. Zug eine rote Kugel gewählt wird, befinden sich in Urne B 4 rote und 2 weiße Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote aus Urne B zu ziehen, ist also \(\frac23.\)
\(P(w_1)\) ist \(\frac35,\) da bei der 1. Ziehung 3 der 5 Kugeln weiß sind.
\(P(w_2|w_1):\) Eine weiße Kugel im 1. Zug bedeutet für Urne B 3 rote und 3 weiße Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit für weiß im 2. Zug ist dann \(\frac12.\)

Schritt 3: Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E

\(P(E)=\frac25\cdot\frac23+\frac35\cdot \frac12=\frac{4}{15}+\frac{3}{10}=\frac{17}{30}>\frac{15}{30}=\frac12\)

Das Ereignis E hat tatsächlich eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis, da seine Wahrscheinlichkeit größer ist als \(\frac12.\)

  • Punkte:  5

Aufgabe 2

a)

\(\overline D\) ist das Gegenereignis von \(D.\) Es gilt also: \(P(\overline D)=1-P(D),\) wobei \(P(D)=\frac25+\frac{1}{10}=\frac12.\)
Es folgt \(P(\overline D)=1-P(D)=\frac12.\)

b)

Schritt 1: Bedingung für stochastische Unabhängigkeit hinschreiben

Die Ereignisse \(C\) und \(D\) sind stochastisch unabhängig, wenn gilt:
\(P(C)\cdot P(D)=P(C\cap D)\)
\(P(C\cap D)\) ist mit \(\frac25\) schon angegeben.

Schritt 2: \(P(C)\) berechnen

 

 - Abbildung 1
 

Es gilt: \(P(C)\cdot\frac35=\frac25\Rightarrow P(C)=\frac23\)
Überprüfung auf Unabhängigkeit: \(P(C)\cdot P(D)=\frac23\cdot\frac12=\frac13\ne\frac25\)
Die Ereignisse \(C\) und \(D\) sind also stochastisch abhängig.

c)

Schritt 1: Überlegen, über welche Größe \(P(\overline C \cap D)\) berechnet werden kann

 

 - Abbildung 1
 

In der Abbildung wird die zu bestimmende Größe \(P(\overline C\cap D)\) mit \(x\) bezeichnet.
Es gilt: \(P(D)=\frac25+x\)
Also ist \(x=P(D)-\frac25.\)

Schritt 2: \(P(D)\) und \(x\) berechnen

\(P(C\cap D)\) soll nicht verändert werden, bleibt also bei \(\frac25\). Damit bleibt auch \(P(C)\) mit \(\frac23\) unverändert.
Also muss gelten: \(P(C)\cdot P(D)=P(C\cap D),\) also \(\frac23\cdot P(D)=\frac25.\) Es folgt:
\(P(D)=\frac35,\) also ist \(x=P(D)-\frac25=\frac35-\frac25=\frac15.\)

  • Punkte:  10
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