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Abi 2014 GA (2)


Analysis

Aufgabe 1

a)

1.

Schritt 1: Schnittpunkte mit den Koordinaten bestimmen

Die \(y\)-Achse hat die Gleichung \(x=0\). Setzt man das im Funktionsterm von \(f\) ein, so erhält man \(f\left(0\right)=\left(2-0\right)\cdot e^{0}=2\). Der Schnittpunkt von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse ist also \(S_{y}\left(0\mid2\right)\).

Die \(x\)-Achse hat die Gleichung \(y=0\). Setzt man \(y=f\left(x\right)=0\), so ergibt sich folgende Bedingung für die Schnittstelle \(x\):

\(\left(2-x\right)\cdot e^{x}=0\quad\;\;\mid :e^{x}\) (möglich, da \(e^{x} \neq 0\))

\(2-x=0\qquad\qquad\mid +\ x\); Seiten vertauschen

\(x=2\)

Der Schnittpunkt von \(G_f\) mit der \(x\)-Achse ist also \(N\left(2\mid0\right)\).

2.

Schritt 1: Ableitungen von \(f\) bestimmen

Eine hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt an der Stelle \(x\) ist \(f''\left(x\right)\) und \(f'''\left(x\right)\neq0\). Dabei lauten die ersten drei Ableitungen von \(f\) nach der Produktregel wie folgt:

\(f\left(x\right)=\left(2-x\right)\cdot e^{x}\\ \Rightarrow f'\left(x\right)=\left(-1\right)\cdot e^{x}+\left(2-x\right)\cdot e^{x}=\left(1-x\right)\cdot e^{x}\\ \Rightarrow f''\left(x\right)=\left(-1\right)\cdot e^{x}+\left(1-x\right)\cdot e^{x}=-x\cdot e^{x}\\ \Rightarrow f'''\left(x\right)=\left(-1\right)\cdot e^{x}+\left(-x\right)\cdot e^{x}=-\left(1+x\right)\cdot e^{x}\)

Schritt 2: Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen

Notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei \(x:f'\left(x\right)=0\)

\(\left(1-x\right)\cdot e^{x}=0\quad\;\;\mid :e^{x}\) (möglich, da \(e^{x} \neq 0\))

\(1-x=0\qquad\qquad\mid +\ x\); Seiten vertauschen

\(x=1\)

Schritt 3: Nullstellen der 1. Ableitung auf Extremalität prüfen

Es ist \(f''\left(1\right)=-1\cdot e^{1}=-e<0\). Daher ist die hinreichende Bedingung \(f'\left(1\right)=0\) und \(f''\left(1\right)<0\) für ein lokales Maximum an der Stelle \(x=1\) erfüllt.

Schritt 4: Funktionswerte an den Extremstellen berechnen

Die einzige Extremstelle ist \(x=1\) und es ist \(f\left(1\right)=\left(2-1\right)\cdot e^{1}=e\). Also ist der einzige Extrempunkt von \(G_f\) ein Hochpunkt mit Koordinaten \(H\left(1\mid e\right)\).

Schritt 5: Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen

Notwendige Bedingung für eine Wendestelle bei \(x:f''\left(x\right)=0\)

\(-x\cdot e^{x}=0\quad\;\;\mid :e^{x}\) (möglich, da \(e^{x} \neq 0\))

\(-x=0\qquad\quad\; \mid \cdot \left(-1\right)\)

\(x=0\)

Schritt 6: Hinreichende Bedingung für Wendestelle prüfen

Es ist \(f'''\left(0\right)=-\left(1+0\right)\cdot e^{0} = -1 \neq0\), also ist die hinreichende Bedingung \(f''\left(0\right)=0\) und \(f'''\left(0\right)\neq0\) für eine Wendestelle bei \(x=0\) erfüllt. 

Schritt 7: Funktionswerte an den Wendestellen berechnen

Die einzige Wendestelle ist \(x=0\) und es ist \(f\left(0\right)=\left(2-0\right)\cdot e^{0} =2\). Also ist der einzige Wendepunkt von \(G_f\) \(W\left(0\mid 2\right)\).

3.

Schritt 1: Schnittpunkte von \(f\) und \(f'\) bestimmen

Gleichsetzen der Funktionsterme von \(f\) und \(f'\) liefert:

\(\left(2-x\right)\cdot e^{x}=\left(1-x\right)\cdot e^{x}\quad\mid :e^{x}\) (möglich, da \(e^{x} \neq 0\))

\(2-x=1-x\qquad\qquad\qquad \mid +\ x\)

\(2=1\)

Dieser Widerspruch zeigt, dass es keine Schnittstelle der Graphen von \(f\) und \(f'\) gibt, d. h., die Graphen von \(f\) und \(f'\) schneiden sich nicht.

b)

1.

Schritt 1: Stammfunktion prüfen

Es ist zu zeigen, dass \(F'\left(x\right)=f\left(x\right)\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt. Dabei ist nach der Produktregel:

\(F\left(x\right)=\left(3-x\right) \cdot e^{x}\\ \Rightarrow F'\left(x\right)=\left(-1\right) \cdot e^{x} +\left(3-x\right)\cdot e^{x}= \left(2-x\right)\cdot e^{x}=f\left(x\right)\)

Somit ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

2.

Schritt 1: Flächeninhalt \(A\left(z\right)\) bestimmen

Da der Graph von \(f\) im Intervall \(\left[0;2\right]\) stets oberhalb der \(x\)-Achse verläuft (siehe Abbildung), ist für \(z\in \left[0;2\right]\) der Flächeninhalt \(A\left(z\right)\) gegeben durch:

\(A\left(z\right)=\int_{z}^{0} f\left(x\right)dx\)

 

 - Abbildung 1

 

Aufgrund des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung ist:

\(\int_{z}^{0} f\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]{^z_0}=\left[\left(3-x\right)\cdot e^{x}\right]{^z_0}\\ \qquad\qquad\; =\left(3-z\right)\cdot e^{z}-\left(\left(3-0\right)\cdot e^{0}\right)\\ \qquad\qquad\; =\left(3-z\right)\cdot e^{z}-3\)

Damit beträgt der Inhalt \(A\left(z\right)\) der gesuchten Fläche \(\left(3-z\right)\cdot e^{z}-3\) Flächeneinheiten.

c)

1.

Schritt 1: Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang beschreiben

Zu Beginn des Beobachtungszeitraums am 1. Januar 2013 beträgt die Förderrate 2 Millionen Tonnen pro Jahr. Diese steigt streng monoton an und erreicht Ende des Jahres 2013 mit ca. 2,7 Millionen Tonnen pro Jahr ihr Maximum. Danach fällt die jährliche Förderrate streng monoton. Am Ende des Beobachtungszeitraums am 31. Dezember 2014 kommt die Förderung zum Erliegen.

2.

Schritt 1: Gesamte Fördermenge berechnen

Die gesamte Fördermenge im genannten Zeitraum ergibt sich durch Integration der Förderrate von \(x=0\) bis \(x=2\). Unter Verwendung der Flächenfunktion \(A\left(z\right)\) aus Teilaufgabe b (2.) ergibt sich das Integral zu:

\(A\left(2\right)=\left(3-2\right)\cdot e^{2}-3=e^{2}-3\approx 4,39 \left[FE\right]\)

Das entspricht einer Fördermenge von etwa 4,4 Millionen Tonnen Erdöl, die in den Jahren 2013 und 2014 zutage gefördert wird.

3.

Schritt 1: Lineare Funktion \(g\) bestimmen

Gesucht: lineare Funktion \(g\), die \(f\) ab \(x=\frac{5}{4}=1,25\) differenzierbar fortsetzt.

Bedingungen:

1) \(f\left(\frac{5}{4}\right)=g\left(\frac{5}{4}\right)\), damit sich die Förderquote nicht sprunghaft ändert;

2) \(f'\left(\frac{5}{4}\right)=g'\left(\frac{5}{4}\right)\), damit die Steigungen am Übergangspunkt übereinstimmen.

\(G_g\) ist somit die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(\left(\frac{5}{4}\mid f\left(\frac{5}{4}\right)\right)\). Anhand der Abbildung (siehe oben) kann man erkennen, dass die gesuchte Tangente nicht senkrecht ist, also ergibt sich eine Gleichung der Form \(g\left(x\right)=m\cdot x+b\) für geeignete Parameter \(m\) und \(b\) aus \(\mathbb{R}\).

Es ist \(f\left(\frac{5}{4}\right) = \left(2-\frac{5}{4}\right) \cdot e^{\frac{5}{4}}=\frac{3}{4}\cdot e^{\frac{5}{4}}\) und \(f'\left(\frac{5}{4}\right) = \left(1-\frac{5}{4}\right) \cdot e^{\frac{5}{4}}=-\frac{1}{4}\cdot e^{\frac{5}{4}}\). Des Weiteren ist \(g'\left(x\right)=m\) für alle \(x\in\mathbb{R}\).

Einsetzen von \(f'\left(\frac{5}{4}\right) = -\frac{1}{4} \cdot e^{\frac{5}{4}}\) und \(g'\left(\frac{5}{4}\right)=m\) in Bedingung 2) liefert \(-\frac{1}{4} \cdot e^{\frac{5}{4}}=m\).

Es ist also \(g\left(x\right)=-\frac{1}{4} \cdot e^{\frac{5}{4}} \cdot x +b\), insbesondere also:

\(g\left(\frac{5}{4}\right)=-\frac{1}{4} \cdot e^{\frac{5}{4}} \cdot \frac{5}{4} +b=-\frac{5}{16}e^{\frac{5}{4}}+b\)

Setzt man das zusammen mit \(f\left(\frac{5}{4}\right) =\frac{3}{4}\cdot e^{\frac{5}{4}}\) in Bedingung 1) ein, so ergibt sich:

\(\frac{3}{4} \cdot e^{\frac{5}{4}} =\frac{5}{16}e^{\frac{5}{4}}+b \Rightarrow b=\frac{3}{4} \cdot e^{\frac{5}{4}} +\frac{5}{16}e^{\frac{5}{4}}=\frac{17}{16}e^{\frac{5}{4}}\)

Die vollständige Gleichung von \(g\) lautet also:

\(g\left(x\right)=-\frac{1}{4} \cdot e^{\frac{5}{4}} \cdot x+\frac{17}{16}e^{\frac{5}{4}}=\frac{1}{16}e^{\frac{5}{4}}\left(17-4x\right)\)

Schritt 2: Endzeitpunkt der Ölförderung bestimmen

Die Erdölförderung endet, wenn die Förderrate gleich 0 ist. Gesucht ist also die Nullstelle der Funktion \(g\).

\(\frac{1}{16}\cdot e^{\frac{5}{4}}\left(17-4x\right)=0\qquad\;\;\mid :\left(\frac{1}{16}\cdot e^{\frac{5}{4}}\right)\)

\(17-4x=0 \qquad\qquad\qquad\; \mid +\ 4x\); Seiten vertauschen

\(4x=17\qquad\qquad\qquad\qquad\mid :4\)

\(x=\frac{17}{4}=4,25\)

Somit endet die Erdölförderung 4,25 Jahre nach Beginn der Modellierung, also am Ende des 1. Quartals des Jahres 2017.

Aufgabe 2

a)

1.

Schritt 1: Zuflussrate am Anfang und am Ende berechnen

 

 - Abbildung 1

 

Es gilt:

\(f\left(0\right) =250\) und

\(f\left(24\right) =\frac{1}{4}\cdot 24^{3}-12\cdot 24^{2}+144\cdot 24+250=250\)

Damit beträgt die Zuflussrate zu Beginn und am Ende der Beobachtungszeit jeweils \(250\ \frac{m^{3}}{h}\).

2.

Schritt 1: Ableitungen bestimmen

Gesucht ist das Maximum der Funktion \(f\). Eine hinreichende Bedingung für ein Maximum von \(f\) an der Stelle \(x\) lautet \(f'\left(x\right) =0\) und \(f''\left(x\right) <0.\)

Dabei ist:

\(f\left(t\right) =\frac{1}{4}t^{3}-12t^{2}+144t+250\\ \Rightarrow f'\left(t\right) =\frac{3}{4}t^{2}-24\cdot t+144\\ \Rightarrow f''\left(t\right) =\frac{3}{2}t-24\)

Schritt 2: Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen

Die Nullstellen von \(f'\) liegen laut quadratischer Lösungsformel bei

\(t=\frac{24 \pm\sqrt{24^{2}-4\cdot \frac{3}{4}\cdot 144}}{2\cdot \frac{3}{4}} =\frac{\left(24\pm12\right)\cdot 2}{3}=16\pm 8,\)

d. h. bei \(t=8\) und bei \(t=24\).

Schritt 3: Nullstellen der 1. Ableitung auf Maximalität prüfen

Es ist \(f''\left(8\right)=\frac{3}{2}\cdot 8-24=-12<0\) und \(f''\left(24\right)=\frac{3}{2}\cdot 24-24=12<0\). Somit ist \(t=8\) eine Maximalstelle und \(t=24\) eine Minimalstelle von \(f\), d. h., es ist \(t_m=8\).

Schritt 4: Funktionswert an der Maximalstelle berechnen

Es ist \(f\left(8\right)=\frac{1}{4}\cdot 8^{3}-12\cdot 8^{2}+144\cdot 8+250=762\). Diese Zuflussrate ist größer als der Wert 250 an den Rändern der Beobachtungszeit, also handelt es sich um das globale Maximum von \(f\). Die maximale Zuflussrate wird also 8 Stunden nach Beobachtungsbeginn erreicht und beträgt \(762\ \frac{m^{3}}{h}\).

b)

1.

Schritt 1: Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen

Eine hinreichende Bedingung dafür, dass \(x\) eine Wendestelle von \(f\) ist, lautet \(f''\left(x\right)=0\) und \(f'''\left(x\right)\neq 0\). Dabei ist

\(f''\left(t\right)=\frac{3}{2}t-24=0 \Leftrightarrow t=24\cdot \frac{2}{3}=16\).

Schritt 2: Hinreichende Bedingung für Wendestelle prüfen

Es ist \(f'''\left(t\right)=\frac{3}{2}\) für alle \(t \in \mathbb{R}\), insbesondere also \(f'''\left(16\right)=\frac{3}{2}\neq0\). Somit ist \(t=16\) eine Wendestelle von \(f\), und zwar die einzige.

2.

Schritt 1: Stärkste Veränderung der Zuflussrate bestimmen

Die Änderung der Zuflussrate wird durch die Ableitungsfunktion \(f'\) beschrieben. Gesucht ist also das Maximum des Betrags von \(f'\) auf dem Intervall \(\left[0;24\right]\). Dieses wird entweder an einer Maximalstelle oder an einer Minimalstelle von \(f'\) erreicht. Das kann nur an der Wendestelle von \(f\) oder am Rand des Modellierungsintervalls der Fall sein.

Es ist \(f'\left(0\right)=\frac{3}{4}\cdot 0^{2}-24\cdot 0+144=144\) und \(f'\left(24\right)=\frac{3}{4}\cdot 24^{2}-24\cdot 24+144=0\) sowie \(f'\left(16\right)=\frac{3}{4}\cdot 16^{2}-24\cdot 16+144=-48\). Somit wird das Maximum des Betrags von \(f'\) bei \(t=0\) erreicht.

Die stärkste Änderung der Zuflussrate ist zu Beginn der Beobachtungszeit.

3.

Schritt 1: Bedeutung der Wendestelle

Die Wendestelle entspricht dem Zeitpunkt im Beobachtungszeitraum, zu dem sich die Zuflussrate am stärksten verringert. Der Wasserfluss in das Staubecken verlangsamt sich zu diesem Zeitpunkt am stärksten.

4.

Schritt 1: Intervall angeben, auf dem \(f\) zur Modellierung ungeeignet ist

Wie in Teilaufgabe a) (2.) festgestellt, hat \(f\) bei \(t=24\) eine Minimalstelle, das ist die größere der zwei Nullstellen der quadratischen Funktion \(f'\left(t\right)=\frac{3}{4}\cdot t^{2}-24\cdot t+144\). Wegen \(\frac{3}{4}>0\) ist \(G_{f'}\) eine nach unten geöffnete Parabel, also ist für \(t>24\) \(f'\left(t\right)>0\) und somit \(f\) streng monoton wachsend. Ferner gilt

\(\lim_{t \rightarrow \infty} f\left(t\right)=\infty,\)

d. h., \(f\) wächst für \(t>24\) unbeschränkt an. Da die Zuflussrate aus dem Bach beschränkt bleibt und nicht bis in alle Ewigkeit zunehmen kann, eignet sich die Funktion \(f\) auf dem Intervall \(\left[24;\infty\right]\) nicht für die Modellierung der Zuflussrate.

c)

1.

Schritt 1: Gesamtwassermenge nach 24 Stunden bestimmen

Gesamtwassermenge \(V_{gesamt}\) in \(m^{3}\), die im Beobachtungszeitraum aus dem Bach ins Staubecken fließt:

\(V_{gesamt}=\int_{0}^{24}f\left(t\right)dt=\int_{0}^{24}\left(\frac{1}{4}t^{3}-12t^{2}+144t+250\right)dt\\ \qquad\quad =\left[\frac{1}{16}t^{4}-4t^{3}+72t^{2}+250t\right]{^{24}_{0}}\\ \qquad\quad =\left(\frac{1}{16}24^{4}-4\cdot 24^{3}+72\cdot 24^{2}+250\cdot 24\right)-0\\ \qquad\quad =12.912\)

Das gesamte Wasservolumen wäre \(12.912 \;m^{3}\). Damit könnte das Staubecken nicht das gesamte Wasser aufnehmen, da nach Aufgabenstellung nur noch \(4500 \;m^{3}\) in das Becken passen.

2.

Schritt 1: Bedeutung der Zahl \(a\)

Die Gleichung

\(\int_{0}^{a}f\left(t\right)dt=4500\) mit \(a\approx 7,6\)

bedeutet, dass nach ca. 7,6 Stunden \(4500 \;m^{3}\) Wasser aus dem Bach in das Staubecken geflossen sind. Dies entspricht gerade der Wassermenge, die noch in das Staubecken passt, d. h., nach dieser Zeit wäre das Becken voll.

3.

Schritt 1: Bedeutung des Integralterms

Der Term

\(\underbrace{\int_{0}^{6}f\left(t\right)dt}+\underbrace{\int_{6}^{14}\left(f\left(t\right)-600\right)dt}\\ \quad\tiny{Integral\;1\;\;\qquad\qquad Integral\;2\quad\\}\)

gibt die Wassermenge in \(m^{3}\) an, die während der ersten 14 Stunden des Beobachtungszeitraums in das Staubecken geflossen ist.

Das Integral 1 beschreibt die Wassermenge im Staubecken nach den ersten 6 Stunden, vor der Öffnung der Notschleuse.

Das Integral 2 gibt die Wassermenge an, die vom Anfang der 7. bis zum Ende der 14. Stunde in das Staubecken fließt. Dabei wird berücksichtigt, dass in diesem Zeitintervall der Notablauf geöffnet ist. Damit verringert sich die Nettozuflussrate ab dem Zeitpunkt \(t=6\) um 600.

Es ist \(f\left(t\right)>600\) auf dem Intervall \(\left(6;14\right)\). Bis \(t=14\) ist also die Nettozuflussrate positiv, d. h., die Wassermenge im Staubecken nimmt zu (sofern das Becken nicht überläuft). Auf dem Intervall \(\left(14;24\right)\) ist \(f\left(t\right)<600\), also ist hier die Nettozuflussrate negativ, d. h., die Wassermenge im Staubecken nimmt ab.

Somit wird also zum Zeitpunkt \(t=14\) die Wassermenge im Staubecken maximal. Der Integralterm beschreibt also die maximale Wassermenge, die sich im Staubecken im Beobachtungszeitraum \(\left[0;24\right]\) ansammelt.

4.

Schritt 1: Neue Gesamtwassermenge im Staubecken

Zum Zeitpunkt \(t=14\) ist die Wassermenge \(V_{14h}\) im Staubecken maximal (vgl. Schritt 3).

Zu prüfen ist, ob \(V_{14h}\leq4500\;m^{3}\) (Kapazität des Beckens) ist.

\(V_{14h}\;=\int_{0}^{6}f\left(t\right)dt+\int_{0}^{14}\left(f\left(t\right)-600\right)dt\\ \qquad =\int_{0}^{6}\left(\frac{1}{4}t^{3}-12t^{2}+144t+250\right)dt\;+\int_{0}^{14}\left(\frac{1}{4}t^{3}-12t^{2}+144t-350\right)dt\\ \qquad =\left[\frac{1}{16}t^{4}-4t^{3}+72t^{2}+250t\right]{^{6}_{0}}\;+\left[\frac{1}{16}t^{4}-4t^{3}+72t^{2}-350t\right]{^{14}_{6}}\\ \qquad =3309+928=4237\)

Wird der Notablauf nach 6 Stunden geöffnet, so fließen innerhalb der ersten 14 Stunden \(4237\; m^{3}\) Wasser in das Staubecken. Danach nimmt die Wassermenge wieder ab und das Staubecken läuft somit innerhalb des Beobachtungszeitraums nicht über.

Lineare Algebra / Analytische Geometrie

Aufgabe 3

a)

1.

Schritt 1: Koordinaten des Mittelpunktes \(M\) bestimmen

\(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,5\\ 0,5\\ 0\end{array}\right)\)

\(\Longrightarrow\) Der Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(\overline{OD}\) hat die Koordinaten \(M\) \(\left(\frac{1}{2}\mid \frac{1}{2}\mid 0\right)\).

Schritt 2: Orthogonalität von \(CM\) und \(OD\) prüfen

Die Geraden \(CM\) und \(OD\) stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn die Vektoren \(\overrightarrow{CM}\) und \(\overrightarrow{OD}\) senkrecht aufeinanderstehen, also wenn das Skalarprodukt von \(\overrightarrow{CM}\) und \(\overrightarrow{OD}\) 0 ergibt.

\(\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}= \left(\begin{array}{c}0,5\\ 0,5\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,5\\ -0,5\\ 0\end{array}\right)\\ \Longrightarrow \overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{OD}= \left(\begin{array}{c}0,5\\ -0,5\\ 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0,5\cdot 1+\left(-0,5\right)\cdot 1+0\cdot 0=0\)

Die Geraden \(CM\) und \(OD\) stehen somit senkrecht aufeinander.

Schritt 3: Abstand des Punktes \(C\) von der Geraden \(OD\) bestimmen

\(\overrightarrow{CM}\) steht senkrecht auf \(\overrightarrow{OD}\), also entspricht der gesuchte Abstand der Länge des Vektors \(\overrightarrow{CM}\).

\(\mid \overrightarrow{CM}\mid =\mid \left(\begin{array}{c}0,5\\ -0,5\\ 0\end{array}\right)\mid = \sqrt{0,5^{2}+\left(-0,5\right)^{2}+0^{2}}=\sqrt{0,5}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Longrightarrow\) Der gesuchte Abstand beträgt \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)  Längeneinheiten.

b)

1.

Schritt 1: Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren bestimmen

Als Aufpunkt bietet sich der Punkt \(A\) an. \(E\) steht senkrecht auf der Drehachse \(\overline{OD}\), also werden für die Parametergleichung zwei Richtungsvektoren (Spannvektoren) gebraucht, die senkrecht auf \(\overline{OD}\) stehen.

Aus Abbildung 2 erkennt man den Punkt \(A'\left(0\mid \sqrt{2}\mid 0\right)\), der in \(E\) liegt. Da \(\overline{AA'}\) Punkt und Spiegelpunkt bzgl. der Drehachse verbindet, steht dieser Vektor senkrecht auf der Drehachse, liefert also einen Richtungsvektor (Spannvektor) \(\overline{AA'}=\left(\begin{array}{c}-\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0\end{array}\right)\) von \(E\).

Der Einfachheit halber bevorzugen wir den Richtungsvektor \(\frac{1}{\sqrt{2}}\overline{AA'}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\) als ersten Richtungsvektor. Ein zweiter ist \(\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\), der senkrecht nach oben zeigt und somit senkrecht auf der ganzen \(x_1\)\(x_2\)-Ebene steht, in der \(\overline{OD}\) liegt.

Schritt 2: Parametergleichung der Ebene \(E\) feststellen

Es ergibt sich aus diesen Daten die Parametergleichung:

\(E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\)

Schritt 3: Normalenform der Ebene \(E\) herleiten

Da \(A\left(\sqrt{2}\mid 0\mid 0\right)\) ein Punkt auf \(E\) und \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{OD} = \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\) ein Normalenvektor von \(E\) ist, erhält man als Normalenform

\(E:\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OA}\right)\cdot \overrightarrow{n}=0\), also \(E: \left(\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 0\\ 0\end{array}\right)\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0\) bzw. ausmultipliziert und vereinfacht \(x_1+x_2-\sqrt{2}=0\).

2.

Schritt 1: Koordinaten des Schnittpunktes \(S\) bestimmen

Eine Gleichung der Geraden \(OD\) in Parameterform lautet \(\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right).\)

Ein allgemeiner Punkt dieser Geraden hat also die Koordinaten \(P_\lambda\left(\lambda \mid \lambda \mid 0\right)\).

Setzt man den allgemeinen Punkt \(P_\lambda\left(\lambda \mid \lambda \mid 0\right)\) der Geraden \(OD\) in die Koordinatengleichung von \(E\) ein, so erhält man:

\(\lambda+\lambda-\sqrt{2}=0 \Leftrightarrow \lambda=\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

Einsetzen dieses Parameters in den allgemeinen Geradenpunkt \(P_\lambda\left(\lambda \mid \lambda \mid 0\right)\) liefert den Schnittpunkt \(S\left(\frac{1}{2}\sqrt{2} \mid \frac{1}{2}\sqrt{2} \mid 0\right)\).

c)

1.

Schritt 1: Ebenengleichung in Parameterform bestimmen

Die Ebene \(E^*\) wird aufgespannt von dem Richtungsvektor \(\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\) der Geraden \(OD\) und dem Normalenvektor \(\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\) der \(x_1\)\(x_2\)-Ebene. Als Stützvektor kann der Nullvektor verwendet werden, da der Ursprung in der Ebene liegt. Somit ergibt sich die Parametergleichung \(E^*:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)= r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right), \;r\in \mathbb{R}, \;s \in \mathbb{R}.\)

2.

Schritt 1: Vektorgleichung für \(\overrightarrow{OA^*}\) aufstellen

Unter Benutzung des Punktes \(S\) aus Teilaufgabe b) (2.) erhält man unter Berücksichtigung von Abbildung 3 die Gleichung \(\overrightarrow{OA^*}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{SA^*}\), wobei \(\overrightarrow{SA^*}\) senkrecht nach oben zeigt, d. h., es gibt ein \(\lambda \in \mathbb{R}\) mit \(\overrightarrow{SA^*}=\lambda\cdot \left(\begin{array}{c}0\\0\\ 1\end{array}\right)\). Außerdem gilt \(\mid\overrightarrow{SA^*}\mid\;=\;\mid\overrightarrow{SA}\mid\)

Schritt 2: Die Länge des Vektors \(\overrightarrow{SA}\) berechnen

\(\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OS}=\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\0,5\sqrt{2}\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\-0,5\sqrt{2}\\ 0\end{array}\right)\\ \Longrightarrow\; \mid \overrightarrow{SA}\mid\;\;\;=\sqrt{\left(0,5\sqrt{2}\right)^2+\left(-0,5\sqrt{2}\right)^2+0^2}=1\\ \Longrightarrow\; \mid \overrightarrow{SA^*}\mid\;=1\)

Schritt 3: Koordinaten des Punktes \(A^*\) berechnen

\(\overrightarrow{OA^*}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{SA^*}=\left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\0,5\sqrt{2}\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\0,5\sqrt{2}\\ 1\end{array}\right)\\ \Longrightarrow\; A^*\left(0,5\sqrt{2}\mid 0,5\sqrt{2}\mid 1\right)\)

d)

1.

Schritt 1: Nachweisen, dass \(ABDS\) ein Drachenviereck ist

Abbildung 3 (siehe oben) legt nahe, dass die Seiten \(\overline{AS}\) und \(\overline{AB}\) gleich lang sind, ebenso die Seiten \(\overline{SD}\) und \(\overline{BD}\). Diese Gleichungen weisen wir rechnerisch nach, um zu zeigen, dass es sich um ein Drachenviereck handelt.

Aus der Teilaufgabe c) (2., Schritt 3) ist bekannt, dass \(\mid\overrightarrow{AS}\mid\;=1\) ist. Das Viereck \(OABC\) (das ganze DIN-A4-Blatt) ist ein Rechteck, also ist \(\mid\overrightarrow{AB}\mid=\mid\overrightarrow{OC}\mid\;=1\). Somit ist die Gleichung \(\mid\overrightarrow{AS}\mid=\mid\overrightarrow{AB}\mid\) nachgewiesen.

Es ist:

\(\mid\overrightarrow{SD}\mid\;=\; \mid\left(\begin{array}{c}1\\1\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\0,5\sqrt{2}\\ 0\end{array}\right)\mid\;=\;\mid\left(\begin{array}{c}1-0,5\sqrt{2}\\1-0,5\sqrt{2}\\ 0\end{array}\right)\mid\\ \qquad\;\;=\sqrt{\left(1-0,5\sqrt{2}\right)^2+\left(1-0,5\sqrt{2}\right)^2+0^2}\\ \qquad\;\;=\sqrt{2\cdot \left(1-0,5\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{\left(1-0,5\sqrt{2}\right)^2}\\ \qquad\;\;=\sqrt{2}\;\cdot \mid 1-0,5\sqrt{2}\mid=\sqrt{2}-1\quad und\\ \\ \mid\overrightarrow{BD}\mid\;=\; \mid\left(\begin{array}{c}1\\1\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\1\\ 0\end{array}\right)\mid\;=\;\mid \left(\begin{array}{c}1-\sqrt{2}\\0\\ 0\end{array}\right)\mid\\ \qquad\;\;\;=\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^2+0^2+0^2}\\ \qquad\;\;\;=\sqrt{2}-1\)

Damit gilt auch \(\mid\overrightarrow{SD}\mid=\mid\overrightarrow{BD}\mid\). Also handelt es sich bei dem Viereck \(ABDS\) um einen Drachen.

2.

Schritt 1: Flächeninhalt des Drachen bestimmen

Aus Abbildung 3 kann man erkennen, dass sich der Drachen aus zwei gleich großen rechtwinkligen Dreiecken zusammensetzt, nämlich \(ABD\) und \(ADS\).

Die Kathetenlängen sind aus Teilaufgabe d) (1.; Schritt 1) bekannt:

\(\mid\overrightarrow{AS}\mid\;=1\) und \(\mid\overrightarrow{SD}\mid\;=\sqrt{2}-1\)

Somit ist der Flächeninhalt \(A\) des Drachen gegeben durch \(A=2\cdot A_{ADS}=2\cdot \frac{1}{2} \cdot \mid\overrightarrow{AS}\mid \cdot \mid\overrightarrow{SD}\mid \;=\sqrt{2}-1\;\left[FE\right].\)

Aufgabe 4

a)

1.

Schritt 1: Verteilung nach einem Jahr

Die Verteilung nach einem Jahr ergibt sich durch Multiplikation der Übergangsmatrix mit der Startverteilung.

\(\left(\begin{array}{c}0\\0,6\\ 0\end{array}\quad\begin{array}{c}0\\0\\ 0,6\end{array}\quad\begin{array}{c}0,5\\0\\ 0,8\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}2000\\4000\\ 15.000\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,5\cdot15.000\\0,6\cdot 2000\\ 0,6\cdot 4000+0,8\cdot15.000\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7500\\1200\\ 14.400\end{array}\right)\)

Nach einem Jahr sind also laut Modell 7500 Vögel in Altersgruppe 1, 1200 in Altersgruppe 2 und 14.400 in Altersgruppe 3.

Schritt 2: Verteilung nach zwei Jahren

Die Verteilung nach zwei Jahren ergibt sich durch Multiplikation der Übergangsmatrix mit dem Verteilungsvektor nach einem Jahr.

\(\left(\begin{array}{c}0\\0,6\\ 0\end{array}\quad\begin{array}{c}0\\0\\ 0,6\end{array}\quad\begin{array}{c}0,5\\0\\ 0,8\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}7500\\1200\\ 14.400\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,5\cdot14.400\\0,6\cdot 7500\\ 0,6\cdot 1200+0,8\cdot14.400\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7200\\4500\\ 12.240\end{array}\right)\)

Nach zwei Jahren gibt es 7200 Jungvögel, 4500 Vögel im 2. Lebensjahr und 12.240 Altvögel.

2.

Schritt 1: Verteilung der Vögel

Gesucht ist der Vektor \(\overrightarrow{x}\) mit:

\(\left(\begin{array}{c}0\\0,6\\ 0\end{array}\quad\begin{array}{c}0\\0\\ 0,6\end{array}\quad\begin{array}{c}0,5\\0\\ 0,8\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2000\\4000\\ 15.000\end{array}\right)\)

Diese Gleichung führt auf das folgende lineare Gleichungssystem:

\(I:\qquad\qquad\qquad\quad 0,5x_3=2000\\ II: \;0,6x_1\qquad\qquad\quad\;\;\;\ =4000\\ III: \qquad\; 0,6x_2+0,8x_3=15.000\)

Aus \(I\) folgt \(x_3=2000:0,5=4000\) und aus \(II\) folgt \(x_1=4000:0,6\approx6667\)

Setzt man den Wert für \(x_3\) in \(III\) ein, so erhält man \(x_2=\left(15.000-0,8 \cdot 4000\right):0,6=11.800:0,6\approx19.667\).

Im Vorjahr gab es also laut Modell etwa 6667 Jungvögel, etwa 19.667 Vögel in der Altersgruppe 2 und 4000 Altvögel.

3.

Schritt 1: Wert Null aus dem Sachzusammenhang erklären

Die 1. Zeile der Matrix steht für den Übergang in die Altersgruppe 1. Die 1. Spalte beschreibt den Übergang von der Altersgruppe 1. Somit bedeutet die Null in der 1. Zeile und 1. Spalte, dass der Bestand an Jungvögeln am Anfang eines Jahres keinen Einfluss auf den Bestand an Jungvögeln im Folgejahr hat, d. h., keine Jungvögel bleiben nach einem Jahr in der Altersgruppe 1 und keine Jungvögel brüten neue Jungvögel aus. Das liegt daran, dass alle überlebenden Jungvögel nach einem Jahr in die Altersgruppe 2 übergehen und die Vögel erst im 3. Lebensjahr brüten können. Außerdem wird im Modell davon ausgegangen, dass keine Seevögel von außerhalb der Beobachtungszone einfliegen.

Die zweite Null in der 1. Zeile bedeutet, dass der Bestand an Vögeln der Altersgruppe 2 keinen Einfluss auf die Altersgruppe 1 im Folgejahr hat. Das liegt daran, dass die Vögel im 2. Lebensjahr weder jünger werden noch brüten können, um neue Jungvögel für das Folgejahr hervorzubringen.

Die Null in der 2. Zeile und 2. Spalte der Matrix bedeutet, dass der Bestand an Vögeln der Altersgruppe 2 keinen Einfluss auf die Altersgruppe 2 im Folgejahr hat. Das folgt direkt aus der Definition der Altersgruppen, nachdem alle überlebenden Vögel der Altersgruppe 2 in die Altersgruppe 3 übergehen.

Die Null in der 2. Zeile und 3. Spalte gibt an, dass der Bestand an Vögeln der Altersgruppe 3 keinen Einfluss auf die Altersgruppe 2 im Folgejahr hat. Der Grund dafür ist, dass die Altvögel nur durch ihre Überlebensrate den zukünftigen Bestand der Altvögel oder durch Brüten den Bestand der Jungvögel im Folgejahr beeinflussen können, nicht aber den Bestand der Altersgruppe 2.

In der 3. Zeile und 1. Spalte zeigt die Null an, dass die Jungvögel keinen Einfluss auf den Bestand der Altvögel nach einem Jahr nehmen. Das liegt an der Definition der Altersgruppen, nach der die Vögel im Verlauf eines Jahres immer nur eine Altersgruppe weiterrücken können.

b)

1.

Eine Verteilung \(\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right)\) ist genau dann stationär, wenn gilt:

\(\left(\begin{array}{c}0\\0,6\\ 0\end{array}\quad\begin{array}{c}0\\0\\ 0,6\end{array}\quad\begin{array}{c}0,5\\0\\ 0,8\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right)\)

Schritt 1: Gleichungssystem aufstellen

Obige Gleichung führt auf das folgende lineare Gleichungssystem:

\(I:\qquad\qquad\qquad\; 0,5x_3=x_1\\ II: 0,6x_1\qquad\qquad\quad\;\;\ =x_2\\ III: \quad\;\; 0,6x_2+0,8x_3=x_3\)

oder vereinfacht:

\(I: \qquad -x_1\qquad\qquad\;\ 0,5x_3 \;=0\\ II:\quad0,6x_1\;\;-x_2\qquad\qquad\;=0\\ III: \qquad\quad\;\ 0,6x_2-\;0,2x_3 =0\)

Schritt 2: Gleichungssystem lösen

\(I\) liefert \(x_1=0,5x_3\), was in \(II\) eingesetzt zu \(0,6\cdot 0,5x_3=x_2\) führt, d. h. \(x_2=0,3x_3\). Dies wiederum in \(III\) eingesetzt liefert \(0,6 \cdot 0,3x_3-0,2x_3=0\), also \(-0,02x_3=0\;\Longrightarrow\;x_3=0\). Somit liefert \(I\) die Beziehung \(x_1=0\) und damit folgt aus \(II\) sofort \(x_2=0\).

Außer der trivialen Lösung \(\overrightarrow{x}=0\) gibt es daher keine stationäre Verteilung.

2.

Wenn sich die Population pro Jahr um einen festen Prozentsatz \(p\) verkleinert und in einem Zeitraum von 10 Jahren von 17.870 auf 15.422 verringert, dann gilt:

\(15.422=17.870\cdot \left(1-p\right)^{10}\), also:

\(p=1-\sqrt[10]{\frac{15.422}{17.870}}\approx1-0,9854=0,0146\approx1,5\) %

Nach einer gewissen Zeit verringert sich die Population um etwa 1,5 % pro Jahr.

3.

Schritt 1: Halbwertszeit bestimmen

Gesucht ist die Halbwertszeit \(T\) für einen vorhandenen Bestand \(B>0\), d. h. ein \(n\), sodass gilt:

\(B\cdot \left(1-p\right)^T=\frac{1} {2}\cdot B \qquad\qquad \mid:B\)

\(\left(1-p\right)^T=\frac{1} {2}\qquad\qquad\qquad\quad logarithmieren\)

\(ln\left(\left(1-p\right)^T\right)=ln\left(\frac{1} {2}\right)\)          Logarithmus-Gesetz \(anwenden\)

\(T\cdot ln\left(1-p\right)=ln\left(\frac{1} {2}\right) \qquad\quad\; \mid :ln\left(1-p\right)\)

\(T=\frac{ln\left(\frac{1}{2}\right)}{ln\left(1-p\right)}\)

Mit \(p\approx 0,01462\) ergibt sich

\(T=\frac{ln\left(\frac{1}{2}\right)}{ln\left(1-p\right)}\approx47,06\)

Damit halbiert sich nach gut 47 Jahren der Bestand.

4.

Schritt 1: Sationäre Verteilung bei neuer Übergangsmatrix

Die neue Übergangsmatrix lautet \(\left(\begin{array}{c}0\\0,6\\ 0\end{array}\quad\begin{array}{c}0\\0\\ 0,6\end{array}\quad\begin{array}{c}\frac{5}{9 }\\0\\ 0,8\end{array}\right)\).

Zu zeigen ist, dass \(\left(\begin{array}{c}5\\3\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5n\\3n\\ 9n\end{array}\right)\) für jedes \(n\in \mathbb{N}\) eine stationäre Verteilung ist, d. h., dass stets \(\left(\begin{array}{c}0\\0,6\\ 0\end{array}\quad\begin{array}{c}0\\0\\ 0,6\end{array}\quad\begin{array}{c}\frac{5}{9 }\\0\\ 0,8\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}5n\\3n\\ 9n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5n\\3n\\ 9n\end{array}\right)\) gilt.

Es ist

\(\left(\begin{array}{c}0\\0,6\\ 0\end{array}\quad\begin{array}{c}0\\0\\ 0,6\end{array}\quad\begin{array}{c}\frac{5}{9 }\\0\\ 0,8\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}5n\\3n\\ 9n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \cdot 5n+0 \cdot 3n +\frac{5}{9}\cdot 9n \\0,6\cdot 5n+0 \cdot 3n+0\cdot 9n\\ 0\cdot 5n+0,6\cdot 3n+0,8\cdot 9n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5n\\3n\\ 9n\end{array}\right)\)

unabhängig von \(n\). Also handelt es sich stets um eine stationäre Verteilung.

5.

Schritt 1: Prozentuale Anteile der Altersgruppen an der Population berechnen

Für \(n=1\) ergibt sich die stationäre Verteilung \(\left(\begin{array}{c}5\\3\\ 9\end{array}\right)\). Zu dieser Verteilung gehört die Gesamtanzahl an Vögeln von \(5+3+9=17\).

Anteil der Jungvögel: \(\frac{5}{17}\approx29,4\) %

Anteil der Vögel der Altersgruppe 2: \(\frac{3}{17}\approx17,6\) %

Anteil der Altvögel: \(\frac{9}{17}\approx52,9\) %

Wählt man einen anderen Parameter \(n\), so hat man insgesamt \(5n+3n+9n=17n\) Vögel mit folgenden Anteilen:

Anteil der Jungvögel: \(\frac{5n}{17n}\approx29,4\) %

Anteil der Vögel der Altersgruppe 2: \(\frac{3n}{17n}\approx17,6\) %

Anteil der Altvögel: \(\frac{9n}{17n}\approx52,9\) %

Es ergeben sich also unabhängig von \(n\) dieselben Anteile wie für den zuerst betrachteten Fall \(n=1\).

c)

1.

Die Übergangsmatrix lautet \(M=\left(\begin{array}{c}0\\0,5\end{array}\quad\begin{array}{c}0,8\\ 0,6\end{array}\right)\).

2.

Hier werden nur zwei Altersgruppen unterschieden:

\(x_1:\)       Anzahl der Jungvögel im 1. Lebensjahr (Altersgruppe 1)

\(x_2:\)       Anzahl der Vögel ab dem 2. Lebensjahr (Altersgruppe 2)

Man geht davon aus, dass 50 % der Jungvögel das 2. Lebensjahr erreichen, d. h., die Überlebensrate ist zunächst um 10 % geringer als bei den zuerst betrachteten Seevögeln. Ab dem 2. Lebensjahr beträgt die Überlebensrate 0,6 (wie auch bei den vorher betrachteten Seevögeln im 2. Lebensjahr). Die 1. Brut findet im 2. Lebensjahr statt (also ein Jahr früher als bei der anderen Vogelart), der Bruterfolg liegt bei 0,8 Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr, also deutlich höher als bei der anderen Vogelart.

Stochastik

Aufgabe 5

a)

1.

Schritt 1: Modellierung mit der Bernoulli-Kette

Wir modellieren die Situation mit einer Bernoulli-Kette \(X\) der Länge \(n=200\) mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p=0,25\). Ein Treffer entspricht einem weiblichen Zuschauer. Den kumulativen Verteilungstabellen entnimmt man \(F\left(200;\;0,25;\;48\right)\approx0,4083\) und \(F\left(200;\;0,25;\;47\right)\approx0,3458\).

Also ist:

 \(P\left(X=48\right)=F\left(200;\;0,25;\;48\right)-F\left(200;\;0,25;\;47\right)\\ \qquad\qquad\;\;\ \approx0,4083-0,3458=0,0625\)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 6,25 % sind von den 200 Zuschauern 48 weiblich.

2.

Schritt 1: Modellierung mit der Bernoulli-Kette

Es ist:

 \(P\left(35\leq X\leq 60\right)=F\left(200;\;0,25;\;60\right)-F\left(200;\;0,25;\;34\right)\\ \qquad\qquad\qquad\quad\ \approx0,9546-0,0044=0,9502\)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 95 % sind von den 200 Zuschauern zwischen 35 und 60 weiblich.

3.

Schritt 1. Intervalle bestimmen

Der Erwartungswert beträgt \(\mu=n\cdot p=200\cdot 0,25=50\). Gesucht ist also \(P\left(\mid X-50\mid \geq 10\right)=P\left(X\geq 60\right)+P\left(X\leq 40\right)\).

Schritt 2: Wahrscheinlichkeit berechnen

Es ist \(P\left(X \geq60\right)=1-P\left(X\leq 59\right)\approx 1-0,9375 =0,0625\) und \(P\left(X \leq 40\right)\approx 0,0578\),

also \(P\left(\mid X-50\mid \geq 10\right)=0,0625+0,0578=0,1203\).

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also gut 12 %.

b)

Schritt 1: Summe interpretieren

Der Term

\(\sum_{k=0}^{300}\left(\begin{array}{c}1000\\ k\end{array}\right) \cdot 0,25^k \cdot 0,75^{1000-k}\)

gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass unter 1000 zufällig ausgewählten Zuschauern höchstens 300 weiblich sind.

Schritt 2: Gegenwahrscheinlichkeit interpretieren

Der Term

\(1-\sum_{k=0}^{300}\left(\begin{array}{c}1000\\ k\end{array}\right) \cdot 0,25^k \cdot 0,75^{1000-k}\)

gibt die Wahrscheinlichkeit für das entsprechende Gegenereignis an, beschreibt also die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 300 Zuschauer unter 1000 zufällig ausgewählten weiblich sind.

Damit lautet das gesuchte Ereignis \(E\) im vorliegenden Sachzusammenhang:

E: „Unter 1000 zufällig ausgewählten Zuschauern eines Fußballspiels sind mehr als 300 weiblich.“

c)

1.

Schritt 1: Erwartungswert und Standardabweichung berechnen

Der Erwartungswert für die Anzahl \(X\) der weiblichen Zuschauer beträgt \(\mu=n\cdot p=20.000 \cdot 0,25=5000\). Gesucht ist das kleinste \(k \in \mathbb{N}_o\) mit:

\(P\left(5000-k \leq X \leq 5000+k\right)\geq 0,9\)

Die Standardabweichung von \(X\) ist:

\(\delta=\sqrt{20000 \cdot 0,25 \cdot 0,75}\approx 61,24>3\)

Die Laplace-Bedingung für die Anwendung der \(\delta\)-Regeln ist also erfüllt.

Schritt 2: Intervallgrenzen berechnen

Nach den \(\delta\)-Regeln gilt \(P\left(\mu-1,64\delta \leq X \leq \mu + 1,64\delta\right)\approx 0,9\). Also ist das gesuchte \(k\) näherungsweise gegeben durch:

\(1,64 \cdot \delta \approx1,64 \cdot 61,24\approx 100,43\)

Aufrundung der Obergrenze von \(\mu +1,64\delta \approx 5100,43\) zu \(5101\) und Abrundung der Untergrenze von \(\mu - 1,64\delta \approx 4899,57\) zu \(4899\) liefert das Intervall \(\left[4899;5101\right]\).

2.

Schritt 1: Voraussetzung für Bernoulli-Formel überprüfen

Die Anwendung der Bernoulli-Formel mit Parametern \(n=50\) und \(p=0,25\) für \(k=12\) Treffer setzt voraus, dass die Anzahl der weiblichen Zuschauer in der Schlange binomialverteilt ist. Insbesondere sollte dann gewährleistet sein, dass ein Zuschauer in der Schlange unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit 0,25 weiblich ist.

Diese Unabhängigkeitsbedingung ist für einen kleinen Stichprobenumfang eher unrealistisch, weil sich oft die Mitglieder von Fanclubs mit stark abweichender Geschlechterverteilung zusammen anstellen. Da aber derartige Gruppen selten mehr als 10 Zuschauer umfassen, kann man erwarten, dass sich dieser Effekt beim vorliegenden Stichprobenumfang von 50 Personen nahezu nivelliert.

Somit ist die angegebene Berechnungsformel für Zwecke der groben Schätzung brauchbar.

d)

1.

Schritt 1: Relative Häufigkeit im Baumdiagramm berechnen

Die in der Aufgabe gegebenen Daten sind in den blau eingefärbten Knoten eingetragen.

 

 - Abbildung 1

 

Die fehlenden Daten der übrigen Knoten werden folgendermaßen berechnet:

(1) \(=1-0,1584=0,8416\)

(2) \(=1-0,3178=0,6822\)

(3) \(=0,1584 \cdot 0,6822 \approx 0,1081\)

(4) \(= H2 = 0,1584 \cdot 0,3178 \approx 0,0503\)

(5) \(+\left(4\right) = 0,3309 \Rightarrow \left(5\right) = 0,3309-0,0503=0,2806\)

(6) \(=1+ \left(3\right)-\left(4\right)-\left(5\right)=1-0,1081 -0,0503-0,2806=0,5610\)

(7) \(\cdot \;\left(1\right)=\left(5\right) \Rightarrow \left(7\right)=\frac{0,2806}{0,8416} \approx 0,3334\)

(8) \(=1-0,3334=0,6666\)

2.

Schritt 1: Relative Häufigkeiten im Sachzusammenhang beschreiben

Beschreibung der relativen Häufigkeiten H1 und H2 in Worten:

H1: Anteil der Mädchen an den weiblichen Mitgliedern im DFB.

H2: Anteil der Mädchen an allen Mitgliedern im DFB.

3.

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit für die Auswahl eines Juniors und eines Mädchens berechnen

Wegen der großen Zahl an Mitgliedern beider Kategorien kann man näherungsweise mit dem Modell „Ziehen mit Zurücklegen“ arbeiten und erhält die gewünschte Wahrscheinlichkeit als Summe der Wahrscheinlichkeiten für die Kombinationen „Junior–Mädchen“ und „Mädchen–Junior“. Dabei ist laut den Berechnungen am Baumdiagramm \(P\left(Junior\right)=0,2806\) und \(P\left(Mädchen\right)=0,0503\).

Somit ergibt sich:

\(P\left(Junior-Mädchen\right)+P\left(Mädchen-Junior\right)=P\left(Junior\right) \cdot P\left(Mädchen\right) + P\left(Mädchen\right) \cdot P\left(Junior\right)\\ \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\; \;\approx0,2806 \cdot 0,0503 + 0,0503 \cdot 0,2806\\ \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\; \;\approx 0,0282\)

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 2,8 %.

e)

1.

Schritt 1: Wahl der Nullhypothesen begründen

Mögliche Nullhypothesen sind

entweder a) \(p\leq0,25\) („Höchstens 25 % der Zuschauer sind weiblich.“)

oder b) \(p>0,25\) („Mehr als 25 % der Zuschauer sind weiblich.“).

Das Signifikanzniveau begrenzt die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art (die Nullhypothese irrtümlich zu verwerfen). Die Folgen eines Fehlers 1. Art sind entweder:

a) Es wird davon ausgegangen, dass mehr als 25 % der Zuschauer weiblich sind, obwohl in Wirklichkeit der Anteil höchstens 25 % beträgt, d. h., der Verkaufsleiter bleibt auf größeren Mengen verderblicher Ware sitzen.

oder:

b) Es wird davon ausgegangen, dass höchstens 25 % der Zuschauer weiblich sind, obwohl ihr Anteil in Wirklichkeit auf über 25 % gestiegen ist, d. h., der Verkaufsleiter hat nicht genügend Vorräte und versäumt eine Umsatzsteigerung.

Fall a) ist genau der Fehler, den der Verkaufsleiter unbedingt vermeiden will. Die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers kann er durch die Wahl der Nullhypothese \(p\leq0,25\) auf 5 % begrenzen.

Deswegen wird als Nullhypothese H0: \(p\leq0,25\) gewählt. Die Alternativhypothese lautet dann H1: \(p>0,25\).

Schritt 2: Annahme- und Ablehnungsbereich für H0 festlegen

Sei \(X\) die Anzahl der weiblichen Zuschauer auf den Fotos. \(X\) ist binomialverteilt zu den Parametern \(p\) und \(n=1000\).

H0 soll angenommen werden, wenn höchstens \(k_o\) weibliche Zuschauer auf den Fotos zu sehen sind.

Gesucht ist das kleinste \(k_o \in \mathbb{N}_o\) mit \(0\leq k_o\leq 1000\), sodass für jedes \(p \leq 0,25\) \(P\left(X>k_o\right) \leq 0,05\), also \(P\left(X \leq k_o\right) \geq 0,95\) gewährleistet ist.

Die Ungleichung \(P\left(X \leq k_o\right) \geq 0,95\) ist genau dann für jedes \(p \leq 0,25\) erfüllt, wenn sie für \(p=0,25\) gilt, denn \(P\left(X \leq k_o\right)\) wird umso kleiner, je größer \(p\) wird.

Tabelle 5 (kumulierte Binomialverteilung für \(n=1000\), Spalte für \(p=0,25\)) entnimmt man \(P\left(X \leq 272\right)\approx 0,9488\) und \(P\left(X \leq 273\right)\approx 0,9559\). Somit ist \(k_o =273\).

 

 - Abbildung 1

 

Die Entscheidungsregel lautet also wie folgt:

Die Nullhypothese \(p \leq 0,25\) soll angenommen werden, wenn höchstens 273 weibliche Zuschauer auf den 1000 Fotos zu sehen sind. Falls mehr als 273 weibliche Zuschauer gezählt werden, soll davon ausgegangen werden, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer auf über 25 % gestiegen ist.

2.

Schritt 1: Definition des Fehlers 2. Art auf den Sachverhalt übertragen

Ein Fehler 2. Art wird begangen, wenn die Nullhypothese irrtümlich angenommen wird. Im vorliegenden Fall besteht der Fehler 2. Art darin, dass man aufgrund der Stichprobe (mit höchstens 273 weiblichen Zuschauern) den Anteil der weiblichen Zuschauer auf höchstens 25 % schätzt, obwohl er tatsächlich über diesen Wert gestiegen ist. In diesem Fall würde also die Ware des Verkäufers nicht ausreichen.

Schritt 2: Fehlerwahrscheinlichkeit berechnen

Gemäß der Modellierung als Bernoulli-Kette \(X\) der Länge \(n=1000\) mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p=0,3\) errechnet sich die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art zu \(P\left(X \leq 273\right)=F\left(1000;0,3;273\right)\approx0,0329\approx 3,3\) %.

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