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Abi 2014 EA 2


Analysis

Aufgabe 1

a)

1.

Schritt 1: \(f'\left(t\right)\) und \(f''\left(t\right)\) berechnen

Gesucht ist das Maximum von \(f\) auf dem Intervall \(\left[0; 20\right]\). Eine hinreichende Bedingung für eine lokale Maximalstelle bei \(t=x\) ist \(f'\left(x\right)=0\) und \(f''\left(x\right) < 0\).

\(f\left(t\right)=\left(1020-40t\right) \cdot e^{0,1t};\quad t \in \mathbb{R}\\ \Longrightarrow f'\left(t\right)=-40 \cdot e^{0,1t} + \left(1020-40t\right) \cdot e^{0,1t} \cdot 0,1\\ \qquad \qquad \;=\left(62-4t\right) \cdot e^{0,1t}\\ \Longrightarrow f''\left(t\right)=-4 \cdot e^{0,1t} + \left(62-4t\right) \cdot e^{0,1t} \cdot 0,1\\\\ \qquad \qquad \;\;= \left(2,2-0,4t\right) \cdot e^{0,1t}\)

Schritt 2: \(f'\left(t\right) =0\) setzen und Gleichung lösen

\(\left(62-4t\right) \cdot e^{0,1t} =0 \Leftrightarrow 62 -4t = 0 \Leftrightarrow t =15,5\), da \(e^{0,1t}>0\) für alle \(t \in \mathbb{R}\).

Schritt 3: Nullstelle der 1. Ableitung auf Maximalität prüfen

\(f''\left(t\right) = \left(2,2-0,4t\right) \cdot e^{0,1t}\)

\(\Longrightarrow f''\left(15,5\right)=-4 \cdot e^{1,55t} <0 \Rightarrow\) Maximum bei \(t=15,5\).

Schritt 4: Funktionswert von \(f\) berechnen

\(f\left(t\right) = \left(1020-40t\right) \cdot e^{0,1t}\\ \Rightarrow f \left(15,5\right) \approx 1884,59\)

Schritt 5: Randwerte überprüfen

\(f\left(0\right)= 1020 < 1884,59\\ f\left(20\right) \approx 1626 <1884,59\)

Die maximale Förderrate beträgt etwa 1,88 Millionen Tonnen pro Jahr und wird Mitte des Jahres 2005 erreicht.

b)

1.

Schritt 1: Stammfunktion von \(f\) bestimmen

\(f\left(t\right)=\left(1020-40t\right) \cdot e^{0,1t}\)

Partielle Integration mit \(u\left(t\right)=\left(1020-40t\right)\) und \(v'\left(t\right)= e^{0,1t}\):

Eine Stammfunktion von \(v'\) ist \(v'\left(t\right)=\frac{1}{0,1}e^{0,1t}=10e^{0,1t}\) nach der Regel der linearen Substitution und die Regel der partiellen Integration lautet:

\(\int u \cdot v' = u \cdot v- \int u' \cdot v\), also:

\(\int \left(1020-40t\right) \cdot e^{0,1t} dt = \left(1020-40t\right) \cdot 10e^{0,1}- \int \left(-40\right) \cdot 10e^{0,1t}dt\\ = \left(10.200-400t\right) \cdot e^{0,1t}+400 \cdot \int v'\left(t\right)dt\\ = \left(10.200-400t\right) \cdot e^{0,1t}+400 \cdot v'\left(t\right)+c\\ = \left(10.200-400t\right) \cdot e^{0,1t}+400 0e^{0,1t}+c\\ = \left(14.200-400t\right)\cdot e^{0,1t}+c\)

Jede Stammfunktion von \(f\) ist somit von der Form \(F\left(t\right)= \left(14.200-400t\right)\cdot e^{0,1t}+c\).

Schritt 2: Integrationskonstante bestimmen

\(F\left(0\right)=0 \Rightarrow 14.200 \cdot e^0+c =0 \Leftrightarrow c=-14.200\\ \Rightarrow M\left(t\right)= \left(14.200-400t\right) \cdot e^{0,1t}-14.200\)

2.

Schritt 1: Fördermenge bilden

Die Fördermenge seit 1990 ist durch die Funktion \(M\) gegeben.

\( M\left(20\right)= \left(14.200-400 \cdot 20\right) \cdot e^2-14.200\\ \qquad \;\;\;\approx 31.612,148\)

Von Anfang 1990 bis Ende 2009 wurden insgesamt ca. 31,6 Millionen Tonnen Öl gefördert.

3.

Schritt 1: Fördermenge im Jahr 2007 berechnen

\(M\left(18\right)-M\left(17\right)\approx 28.147,53 - 26.307,21\\ \qquad\qquad\qquad\;\;\; =1840,32 = 1.840.320\;t\)

Im Jahr 2007 wurden gut 1,8 Millionen Tonnen Öl gefördert.

Schritt 2: Tonnen in Barrel umrechnen

\(1.840.320.000\;kg:137\;kg/Barrel \approx 13.432.992\; Barrel\)

Schritt 3: Einnahmen berechnen

\(13.432.992\; Barrel \cdot 56\;€/Barrel= 752.247.552 \;€\)

Der Ölverkauf im Jahr 2007 brachte gut 752 Millionen Euro ein.

c)

1.

Schritt 1: Begründung

Es gilt \(g\left(t\right) >40 \cdot e^2\) für alle \(t \in \mathbb{R}\), d. h., die Förderrate wäre langfristig oberhalb von etwa 296.000 t pro Jahr, was angesichts des begrenzten Ölvorrats unrealistisch ist.

2.

Schritt 1: Stammfunktion von \(g\) bestimmen

\(g\left(t\right) =180 \cdot e^{4-0,1t} +40 \cdot e^2\)

Lineare Substitution liefert \(\int 180 \cdot e^{4-0,1t} dt =\frac{1}{-0,1}180e^{4-0,1t}=-1800e^{4-0,1t}\), also ist \(G\left(t\right)=-1800e^{4-0,1t}+40e^2 \cdot t\) eine Stammfunktion von \(g\).

Schritt 2: Term für die Fördermenge eines Jahres aufstellen

\(\int_{T}^{T+1} g\left(t\right)dt=\left[-1800e^{4-0,1t}+40e^2 \cdot t\right]^{T+1}_{T}\\ =\left(-1800e^{3,9-0,1T}+40e^2T+40e^2\right)-1800e^{4-0,1T}+40e^2T\\ =-1800e^{3,9}\cdot e^{-0,1T}+1800e^{4} \cdot e^{-0,1T}+40e^2\\ =1800\left(e^{4}-e^{3,9}\right) \cdot e^{-0,1T}+40e^2\\ =1800\left(1-e^{-0,1}\right) \cdot e^{4-0,1T}+40e^2\)

Schritt 3: Ungleichung lösen

\(1800\left(e^4-e^{3,9}\right) \cdot e^{-0,1T}+40e^2\geq 600 \qquad\qquad\;\;\;\ \mid -40e^2;\;: 1800\\ \left(e^4-e^{3,9}\right) \cdot e^{-0,1T} \geq \frac{600-40e^2}{1800}=\frac{1}{3}-\frac{e^{2}}{45} \qquad\qquad \;\;\mid :\left(e^4-e^{3,9}\right)\\ e^{-0,1T}\geq \frac{1}{3:\left(e^4-e^{3,9}\right)}-\frac{e^2}{45:\left(e^4-e^{3,9}\right)}\qquad\qquad\qquad\quad\;\; \mid logarithmieren\\ -0,1T \geq ln \left(\frac{1}{3:\left(e^4-e^{3,9}\right)}-\frac{e^2}{45:\left(e^4-e^{3,9}\right)}\right) \qquad\qquad\;\;\;\;\;\; \mid \cdot \left(-10\right)\\ T \leq -10ln\left(\frac{1}{3:\left(e^4-e^{3,9}\right)}-\frac{e^2}{45:\left(e^4-e^{3,9}\right)}\right)\\ mit \; -10ln \left(\frac{1}{3:\left(e^4-e^{3,9}\right)}-\frac{e^2}{45:\left(e^4-e^{3,9}\right)}\right) \approx 34,25\)

\(\Rightarrow T=34\) ist der größtmögliche Wert in \(\mathbb{N}\), für den die Fördermenge zwischen \(t=T\) und \(t=T+1\) oberhalb von 600.000 Tonnen liegt.

Das Jahr 2024 wird daher das letzte Kalenderjahr sein, für das sich die Ölförderung lohnt.

d)

1.

Schritt 1: Begründung

Die Funktionen \(f\) und \(g\) sind beide an der Stelle \(t=20\) differenzierbar und haben dort laut Tabelle denselben Ableitungswert. Somit existieren für \(h\) an der Stelle \(t=20\) rechts- und linksseitige Grenzwerte für den Differenzenquotienten und diese stimmen überein. Also existiert dort der Differenzialquotient, d. h., \(h\) ist bei \(t=20\) differenzierbar.

Die Funktionen \(f'\) und \(g'\) sind beide an der Stelle \(t=20\) differenzierbar, haben aber dort laut Tabelle unterschiedliche Ableitungswerte. Somit existieren für \(h'\) rechts- und linksseitige Grenzwerte für den Differenzenquotienten, aber diese stimmen nicht überein. Also existiert dort kein Differenzialquotient, d. h., \(h'\) ist bei \(t=20\) nicht differenzierbar. Somit ist also \(h\) an dieser Stelle nicht zweimal differenzierbar.

2.

Schritt 1: Begründung

Anhand der Funktionsterme \(f''\left(t\right)=\left(2,2-0,4t\right) \cdot e^{0,1t}\) und \(g''\left(t\right)=1,8 \cdot e^{4-0,1t}\) ist zu erkennen, dass \(h''\) in einer linksseitigen Umgebung von \(t=20\) negativ und in einer rechtsseitigen Umgebung von \(t=20\) positiv ist. Somit ist \(h'\) unmittelbar links von \(t=20\) monoton fallend und unmittelbar rechts davon monoton steigend. Somit liegt bei \(t=20\) ein relatives Minimum von \(h'\) vor.

Aufgabe 2

a)

1.

Schritt 1: Gesamtzuflussrate berechnen

Die Gesamtzuflussrate ist gegeben durch die Funktion \(h_a\), wobei

\(h_a\left(0\right) = 740\) und \(h_a\left(6a\right) = 108a^3 - 252a^3 + 144a^3 + 740 = 740\) ist.

Somit beträgt die Gesamtzuflussrate zu Beginn und am Ende der Beobachtungszeit jeweils \(740\ \frac{m^3}{h}\).

2.

Schritt 1: Zuflussrate aus Bach 2 berechnen

Die Zuflussrate aus Bach 2 ist das, was von der Gesamtzuflussrate übrig bleibt, wenn man den Beitrag von Bach 1 (also \(f_a\)) abzieht.

\(g_a\left(t\right) = h_a\left(t\right) - f_a\left(t\right) \\ \qquad = \frac{1}{2}t^3 - 7at^2 + 24a^2t+740 - \left(\frac{1}{4}t^3 - 3at^2 + 9a^2t + 340\right) \\ \qquad = \frac{1}{4}t^3 - 4at^2 + 15a^2t + 400\)

3.

Schritt 1: Differenzfunktion aufstellen

Der Unterschied der Zuflussraten aus Bach 1 und Bach 2 zum Zeitpunkt \(t\) ist:

\(g_a\left(t\right) - f_a\left(t\right) = \frac{1}{4}t^3 - 4at^2 + 15a^2t + 400 - \left(\frac{1}{4}t^3 - 3at^2 + 9a^2t + 340\right) \\ \qquad \qquad \ \ \ \ \ \ = -at^2 + 6a^2t + 60\)

Schritt 2: Nullstellen berechnen

Die Nullstellen liegen laut quadratischer Lösungsformel bei:

\(t = \frac{-6a^2\ \pm\ \sqrt{36a^4\ +\ 240a}}{-2a} = 3a \mp \sqrt{9a^2 + \frac{60}{a}}\)

Schritt 3: Intervall bestimmen, wo Differenz ist

Wegen \(a > 0\) ist der Graph der Differenzfunktion eine nach unten geöffnete Parabel, d. h., die Funktion ist nur zwischen den Nullstellen positiv, also im Intervall \(] 3a - \sqrt{9a^2 + \frac{60}{a}} \ ; 3a + \sqrt{9a^2 + \frac{60}{a}} [\). Wegen \(\frac{60}{a} > 0\) ist \(9a^2 + \frac{60}{a} > 9a^2\), also \(\sqrt{9a^2 + \frac{60}{a}} > \sqrt{9a^2} = 3a\). Daher ist die linke Intervallgrenze kleiner als \(0\) und die rechte Intervallgrenze größer als \(6a\). Während des gesamten Beobachtungszeitraums \([0;6a]\) ist also \(g_a\left(t\right) - f_a\left(t\right) > 0\) und somit \(g_a\left(t\right) > f_a\left(t\right)\). Die Zuflussrate aus Bach 2 ist daher in diesem Zeitfenster stets größer als die Zuflussrate aus Bach 1.

4.

Schritt 1: 1. und 2. Ableitung bestimmen

Eine hinreichende Bedingung für ein Maximum von \(h_a\) an der Stelle \(t\) ist \(h'_a\left(t\right) = 0\) und \(h''_a\left(t\right) < 0\).

\(h_a\left(t\right) = \frac{1}{2}t^3 - 7at^2 + 24a^2t + 740 \\ \Longrightarrow h'_a\left(t\right) = \frac{3}{2}t^2 - 14at + 24a^2 \\ \Longrightarrow h''_a\left(t\right) = 3t - 14a\)

Schritt 2: 1. Ableitung = 0 setzen und Gleichung lösen

\(\frac{3}{2}t^2 - 14at + 24a^2 = 0 \Longleftrightarrow t = \frac{14a\ \pm\ \sqrt{196a^2\ -\ 144a^2}}{3} = \frac{\left(14\ \pm\ \sqrt{52}\right)a}{3}\)

Schritt 3: Hinreichende Bedingung überprüfen

Es gilt

\(h''_a \left(\frac{\left(14\ -\ \sqrt{52}\right)a}{3}\right) = -\sqrt{52}a < 0 \) und

\(h''_a \left(\frac{\left(14\ +\ \sqrt{52}\right)a}{3}\right) = \sqrt{52}a > 0 \).

DIe Gesamtzuflussrate nimmt somit ihr Maximum zum Zeitpunkt \(t_m= \frac{\left(14\ \pm\ \sqrt{52}\right)a}{3} \approx 2,26a\) an.

b)

1.

Schritt 1 : 2. Ableitung = 0 setzen und Gleichung lösen

Eine hinreichende Bedingung für eine Wendestelle von \(h_a\) an der Stelle \(t\) ist \(h''_a\left(t\right) =0\) und \(h'''_a\left(t\right) \neq 0\).

\(h''_a\left(t\right) = 3t-14a \\ \Longrightarrow h'''_a\left(t\right) = 3 \neq 0 \\ \\ 3t - 14a = 0 \Longleftrightarrow t= \frac{14}{3}a\)

Somit liegt bei \(t_w=\frac{14}{3}a\) eine Wendestelle von \(h_a\) vor.

2.

Die stärkste Änderung der Gesamtzuflussrate entspricht dem Maximum des Betrags von \(h'_a\). Dieses kann entweder an der Wendestelle von \(h_a\) oder am Rand des Beobachtungsbereichs angenommen werden.

Schritt 1: Wert der 1. Ableitung am Wendepunkt bestimmen

\(h'_a\left(t\right) = \frac{3}{2}t^2 - 14at + 24a^2 \\ \Longrightarrow h'_a \left(t_w\right) = \frac{98}{3} a^2 - \frac{196}{3}a^2 +24a^2 = - \frac{26}{3}a^2 \Longrightarrow \mid h'_a\left(t_w\right)\mid = \frac{26}{3}a^2\)

Schritt 2: Steigung an den Rändern berechnen

\(h'_a\left(0\right) = 24a^2 \\ h'_a\left(6a\right) = 54a^2 - 84a^2 + 24a^2 = - 6a^2 \Longrightarrow \mid h'_a\left(6a\right) \mid = 6a^2\)

Der Betrag von \(h'_a\) ist somit bei \(t=0\) am größten. Die stärkste Änderung der Zuflussrate erfolgt also zu Beginn der Beobachtungszeit.

3.

Bedeutung der Wendestelle

Die Funktion \(h'_a\) nimmt bei \(t_w\) ihr Minimum an und ihr Wert ist dort negativ. Die Wendestelle \(t_w\) ist daher der Zeitpunkt, zu dem die Gesamtzuflussrate (gegeben durch \(h_a\)) am schnellsten abnimmt.

c)

1.

Schritt 1: Entscheidung treffen

\(h_4\left(t\right) = \frac{1}{2}t^3 - 28t^2 + 384t + 740\) hat als Stammfunktion \(H_4\left(t\right) = \frac{1}{8}t^4 -\frac{28}{3}t^3 + 192t^2 + 740t\).

Daher ist nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung:

\(\int_{0}^{24} h_4\left(t\right)dt = \left[\frac{1}{8}t^4 -\frac{28}{3}t^3 + 192t^2 + 740\right]_{0}^{24} = 40.800 > 20.000 \)

Das Staubecken wird daher überlaufen.

2.

Schritt 1: Bedeutung der Lösung im Sachzusammenhang

10,65 Stunden (das sind 10 Stunden und 39 Minuten) nach Beginn der Beobachtungszeit werden 20.000  Wasser in das Becken geflossen sein. Zum Zeitpunkt \(b\) beginnt das Staubecken überzulaufen.

3.

Schritt 1: Kapazität des Beckens zum Zeitpunkt \(t=10\) berechnen

\(20.000 - \int_0^{10} h_4 \left(t\right)dt = 20.000 - \mid \frac{1}{8}t^4 - \frac{28}{3}t^3 + 192t^2 + 740t \mid_0^{10} \approx 1483,3\)

Schritt 2: Zufluss bis zum Zeitpunkt \(t=14\) berechnen

Vom Zeitpunkt \(t=10\) an fließen \(\left(\frac{1}{2}t^3 - 28t^2 + 384t + 740\right) \frac{m^3}{h}\) zu und \(2000 \frac{m^3}{h}\) ab. Das heißt, die neue Funktion \(z_4\) für die Zuflussrate lautet: \(z_4\left(t\right) = \frac{1}{2}t^3 - 28t^2 + 384t - 1260\). Im Zeitraum \(10 \leq t \leq 14\) fließt also folgende Wassermenge in das Staubecken:

\(\int_{10}^{14} z_4 \left(t\right) = \left[\frac{1}{8}t^4 - \frac{28}{3}t^3 + 192t^2 - 1260t \right]_{10}^{14} \approx 666,7 \left[m^3\right]\)

Schritt 3: Konsequenz

Im Zeitraum \(10 \leq t \leq 14\) fließen bei geöffnetem Notablauf etwa 666,7 m³ zu, während das Becken zum Zeitpunkt \(t=10\) noch Platz für 1483,3 m³ hat. Für die Zeit \(t>14\) läuft mehr Wasser ab als zu. Das Staubecken wird somit im Beobachtungszeitraum nicht überlaufen.

Aufgabe 3

a)

1.

Schritt 1: Begründung

Es gilt für alle \(x \ \epsilon \ \mathbb{R}\):

\(f\left(-x\right) = 8\left(x\right) \cdot e^{-0,25\left(-x\right)^2} = -8x \cdot e^{-0,25^2} = -f\left(x\right)\)

Somit ist \(G_f\) punktsymmetrisch zum Ursprung.

2. 

Schritt 1: Ableitungen berechnen

Eine hinreichende Bedingung für ein relatives Maximum bzw. Minimum an der Stelle x lautet \(f'\left(x\right) = 0\) und \(f''\left(x\right) < 0\) bzw. \(f''\left(x\right) > 0\). Dabei ist nach der Produktregel:

\(f\left(x\right) \ \ = 8x \cdot e^{-0,25x^2} \\ f'\left(x\right) = 8 \cdot e^{-0,25x^2} + 8x \cdot e^{-0,25x^2} \cdot \left(-0,5x\right) \\ \qquad \ = \left( 8 - 4x^2\right)e^{-0,25x^2} \)

Somit ist:

\(f''\left(x\right) = -8x \cdot e^{-0,25x^2} + \left(8-4x^2\right) \cdot e^{-0,25x^2} \cdot \left(-0,5x\right) \\ \qquad \ \ = \left(-12x +2x^3\right) \cdot e^{-0,25x^2} \\ \qquad \ \ = 2x\left(x^2 -6\right) \cdot e^{-0,25x^2}\)

Schritt 2: Nullstellen von \(f\) und \(f'\) berechnen

\(f\left(x\right) = 0 \Longleftrightarrow 8x \cdot e^{-0,25x^2} = 0 \Longleftrightarrow x = 0\), da \(e^{-0,25x^2} > 0\) für alle \(x \ \epsilon \ \mathbb{R}\).

\(f'\left(x\right)= 0 \Longleftrightarrow \left(8-4x^2\right)e^{-0,25x^2} = 0 \Longleftrightarrow 8 - 4x^2 = 0 \Longleftrightarrow x = \pm \sqrt{2}\)

Schritt 3: Mittels 2. Ableitung überprüfen

\(f''\left(\sqrt{2}\right) = 2\sqrt{2} \cdot \left(-4\right) \cdot e^{-0,5} < 0 \Longrightarrow\) Hochpunkt von \(G_f\) bei \(x=\sqrt{2}\)

Aus der Symmetrie folgt, dass die Funktion bei \(x=-\sqrt{2}\) einen Tiefpunkt hat.

3.

Schritt 1: Bedingungen für Wendepunkte

Notwendige Bedingung dafür, dass \(x\) eine Wendestelle ist: \(f''\left(x\right) = 0\).

Krümmung: \(f''\left(x\right) < 0 \Longrightarrow f\) ist bei \(x\) rechtsgekrümmt.

                  \(f''\left(x\right) > 0 \Longrightarrow f\) ist bei \(x\) linksgekrümmt.

Schritt 2: 2. Ableitung = 0 setzen und Gleichung lösen

\(f''\left(x\right) = 2x\left(x^2-6\right) \cdot e^{-0,25x} = 0 \Longleftrightarrow 2x = 0\) oder \(x^2 - 6 = 0\), da  \(e^{-0,25x^2} > 0\) für alle \(x \ \epsilon \ \mathbb{R}\).

Es folgt \(f''\left(x\right) = 0 \Longleftrightarrow x = 0\) oder \(x = \pm \sqrt{6}\).

Schritt 3: Krümmungsverhalten von \(f\) bestimmen

 \(x\)  \(x < -\sqrt{6}\)  \(-\sqrt{6} < x < 0\)  \(0 < x < \sqrt{6}\)  \(x > \sqrt{6}\)
 \(f''\left(x\right)\)  -  +  -  +
 Krümmung  rechts  links  rechts  links

Die Funktion \(f\) hat also genau drei Wendestellen, nämlich bei \(x = - \sqrt{6}, \ x = 0 \) und \(x = \sqrt{6}\).

b)

Die Schnittpunkte von \(G_f\) und \(g_m\) ergeben sich durch Gleichsetzen der Funktionsterme. Neben \(\left(0\mid0\right)\) existiert im I. Quadranten genau dann ein weiterer Schnittpunkt, wenn es einen Schnittpunkt mit positiver \(x\)-Koordinate gibt.

1.

Schritt 1: Funktionsterme gleichsetzen

\(f\left(x\right) = g_m\left(x\right) \qquad \qquad \qquad Funktionsterme \ einsetzen \\ 8x \cdot e^{-0,25x^2} = mx \qquad \qquad \ \ x \ ausklammern \\ x \cdot \left(8e^{-0,25x^2}-m\right) = 0 \qquad \mid :x \ \left(erlaubt, \ da \ x > o\right) \\ 8e^{-0,25x^2} - m =0 \qquad \qquad \ \ \mid +\ m; \ :\ 8 \\ e^{-0,25x^2} = \frac{m}{8} \qquad \qquad \qquad \ \ \ logarithmieren \\ -0,25x^2 = ln \left(\frac{m}{8}\right) \qquad \quad \ \ \ \mid \cdot \left(-4\right) \\ x^2 = -4ln\left(\frac{m}{8}\right)\)

Diese Gleichung hat genau dann eine positive Lösung, wenn die rechte Seite positiv ist. Dazu muss \(ln\left(\frac{m}{8}\right) <0\), also \(\frac{m}{8} <1\) sein. Diese Bedingung ist gleichbedeutend mit \(m<8\). Für solche \(m\) gibt es also einen zweiten Schnittpunkt von \(G_f\) und \(g_m\) neben dem Ursprung, sonst nicht.

2.

Schritt 1: Gleichung für \(x>0\) lösen

Die Gleichung \(x^2=-4ln\left(\frac{m}{8}\right)\) hat für \(m \ \epsilon ]0;8[\) die positive Lösung \(x=\sqrt{-4ln\left(\frac{m}{8}\right)} = 2 \sqrt{ln\left(\frac{8}{m}\right)}\) wegen \(-ln \ x = ln \left(\frac{1}{x}\right)\).

Schritt 2: Funktionswert an der Schnittstelle berechnen

\(g_m \left(2 \sqrt{ln \left(\frac{8}{m}\right)}\right) = 2m \cdot \sqrt{ln \left(\frac{8}{m}\right)} \\ \Longrightarrow P \left(2 \sqrt{ln \left(\frac{8}{m}\right)} \mid 2m \cdot \sqrt{ln \left(\frac{8}{m}\right)}\right) \)

c)

1.

Schritt 1: Stammfunktion zeigen

Es ist nach der Kettenregel \(F' \left(x\right) = -16 \cdot e^{-0,25x^2} \cdot \left(-0,5x\right) = 8x \cdot e^{-0,25x^2} = f\left(x\right)\).

Also ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

2.

Schritt 1: Begründung, dass \(h\) und \(f\) eine Fläche einschließen

Die Gerade \(h\) stimmt mit der Geraden \(g_4\) aus Teilaufgabe b) (1.) überein und erfüllt die Bedingung \(m=4 <8\). Deswegen haben \(h\) und \(G_f\) im I. Quadranten genau zwei Schnittpunkte \(0\) und \(P\). Da die Funktionen \(h\) und \(f\) auch beide stetig sind, schließen ihre Graphen zwischen den beiden Nullstellen eine Fläche ein.

Schritt 2: Fläche berechnen

Nach Teilaufgabe b) (1.) liegen die beiden Schnittstellen von \(G_f\) und \(h = g_4\) bei \(x=0\) und \(x=2\sqrt{ln2}\). Somit ist die eingeschlossene Fläche gegeben durch:

\(A_{f,h} = \left \vert \int_{0}^{2\sqrt{ln2}} \left(f\left(x\right) - h\left(x\right)\right) dx \right \vert = \left \vert \int_{0}^{2\sqrt{ln2}} f\left(x\right)dx - \int_{0}^{2\sqrt{ln2}} h \left(x\right)dx \right \vert\)

Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, folgt aus dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung:

\( \int_{0}^{2\sqrt{ln2}} f\left(x\right)dx = \left[F\left(x\right)\right]_0^{2\sqrt{ln2}} = \left[-16 \cdot e^{-0,25x^2}\right]_0^{2\sqrt{ln2}} \\ \qquad \qquad \qquad =-8-\left(-16\right) = 8\)

Ferner ist:

\( \int_{0}^{2\sqrt{ln2}} h\left(x\right)dx = \int_{0}^{2\sqrt{ln2}} 4xdx = \left[2x^2\right]_0^{2\sqrt{ln2}} = 8 \ ln \ 2\)

Somit folgt:

\(A_{f,h} = \left \vert \int_{0}^{2\sqrt{ln2}} f\left(x\right)dx - \int_{0}^{2\sqrt{ln2}} h\left(x\right)dx \right \vert = 8-8 \ ln \ 2 \approx 2,34 \ [FE]\)

d)

1.

Schritt 1: Skizze

Unter Benutzung der Abbildung aus der Aufgabenstellung und der Ergebnisse von Teilaufgabe b) (1.) ergibt sich folgende Skizze:

 

 - Abbildung 1

 

Schritt 2: Flächeninhalt berechnen

Es wird \(0 < m < 8\) vorausgesetzt, sonst ist \(P\) nicht definiert. Das Dreieck \(OPQ\) ist bei \(Q\) rechtwinklig. Also gilt \(A_{OPQ} = \frac{1}{2} \cdot \overline{OQ} \cdot \overline{QP}\) mit \(\overline{OQ} = 2 \sqrt{ln \left(\frac{8}{m}\right)}\) und \(\overline {QP} = 2m \sqrt{ln \left(\frac{8}{m}\right)}\). Das heißt:

\(A_{OPQ} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{ln\left(\frac{8}{m}\right)} \cdot 2m \cdot \sqrt{ln \left(\frac{8}{m}\right)} = 2m \cdot ln \left(\frac{8}{m}\right) = A \left(m\right)\)

2.

Schritt 1: 1. und 2. Ableitung von \(A\) nach \(m\) bestimmen

Eine hinreichende Bedingung dafür, dass \(A\) bei \(m\) ein Maximum hat, lautet \(A'\left(m\right) = 0 \) und \(A''\left(m\right) <0\). Dabei ist:

\(A\left(m\right) = 2m \cdot ln \left(\frac{8}{m}\right) \\ \Longrightarrow A'\left(m\right) = 2ln \left(\frac{8}{m}\right) + 2m \cdot \frac{m}{8} \cdot \left(-\frac{8}{m^2}\right) \\ \qquad \qquad \quad = 2ln \left(\frac{8}{m}\right) -2 \\ \Longrightarrow A'' \left(m\right) = 2 \cdot \frac{m}{8} \cdot \left(-\frac{8}{m^2}\right) \\ \qquad \qquad \quad \ = -\frac{2}{m}\)

Schritt 2: 1. Ableitung = 0 setzen und Gleichung lösen

\(2ln \left(\frac{8}{m}\right) - 2 = 0 \Longleftrightarrow ln \left(\frac{8}{m}\right) = 1 \Longleftrightarrow \frac{8}{m} = e \Longleftrightarrow m = \frac{8}{e} \approx 2,94\)

Schritt 3: Maximalität mittels 2. Ableitung überprüfen

\(A''\left(\frac{8}{m}\right) = -\frac{e}{4} <0\)

Für \(m= \frac{8}{e}\) wird daher der Flächeninhalt \(A\left(m\right)\) maximal.

Lineare Algebra / Analytische Geometrie

Aufgabe 4

a)

Schritt 1: Allgemeinen Punkt \(P_A\) der Geraden \(OD\) bestimmen

Da \(0\) der Ursprung ist, wird kein Stützvektor gebraucht und der Ortsvektor von \(D\) kann als Richtungsvektor einer Parametergleichung von \(OD\) dienen.

\(OD: \overrightarrow{x} = \lambda \cdot \overrightarrow{OD} = \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 0\end{array}\right)\)

Ein allgemeiner Punkt auf dieser Geraden hat also die Koordinaten \(P_{\lambda} \left(\lambda \mid \lambda \mid 0\right)\).

Schritt 2: Vektor \(\overrightarrow{BP}_{\lambda}\) bestimmen

Der Verbinungsvektor von \(B\) zum allgemeinen Punkt der Geraden \(OD\) ist:

\(\overrightarrow{BP}_{\lambda} = \overrightarrow{OP}_{\lambda} - \overrightarrow{OB} = \left(\begin{array}{c} \lambda\\ \lambda \\ 0\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 1 \\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\lambda - \sqrt{2}\\ \lambda -1 \\ 0\end{array}\right)\)

Schritt 3: Skalarprodukt von Verbindungsvektor und Richtungsvektor gleich Null setzen

Die Verbindungsstrecke \(\overrightarrow{BP}_{\lambda}\) hat genau dann die minimale Länge, wenn \(\overrightarrow{BP}_{\lambda}\) auf dem Richtungsvektor \(\left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 0\end{array}\right)\) der Geraden \(OD\) senkrecht steht. Die Bedingung dafür lautet:

\(\overrightarrow{BP}_{\lambda}\ \circ\ \left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 0\end{array}\right) = 0 \\ \Longleftrightarrow \left(\begin{array}{c}\lambda -\sqrt{2}\\ \lambda - 1 \\ 0\end{array}\right)\ \circ\ \left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 0\end{array}\right) =0 \\ \Longleftrightarrow \left(\lambda -\sqrt{2}\right) \cdot 1 + \left(\lambda -1\right) \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0 \\ \Longleftrightarrow 2\lambda - \sqrt{2} -1 =0 \\ \Longleftrightarrow \lambda = \ \frac{\sqrt{2}\ +\ 1}{2}\)

Schritt 4: Kürzesten Verbindungsvektor berechnen

Einsetzen des Parameters \(\lambda = \frac{\sqrt{2}\ +\ 1}{2} = 0,5 \left(\sqrt{2} +1\right)\) in den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{BP}_{\lambda}\) liefert den kürzesten Verbindungsvektor, nämlich von \(B\) zum Lotfußpunkt \(L\).

\(\overrightarrow{BP_{0,5\left(\sqrt{2}+1\right)}} = \left(\begin{array}{c} {0,5\left(\sqrt{2}+1\right) - \sqrt{2}} \\ {0,5\left(\sqrt{2}+1\right) - 1} \\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {0,5\left(1-\sqrt{2}\right)} \\ {0,5\left(\sqrt{2}-1\right)} \\ 0\end{array}\right)\)

Schritt 5: Länge des kürzesten Verbindungsvektors berechnen

Der gesuchte Abstand ist:

\(d\left(B,OD\right) = \mid \overrightarrow{BP_L}\mid = \sqrt{\left(0,5\left(1-\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left(0,5\left(\sqrt{2}-1\right)\right)^2 +0^2} \\ \qquad \qquad = \sqrt{1,5 -\sqrt{2}} \approx 0,293 \ [LE]\)

b)

1.

Schritt 1: Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren bestimmen

Als Aufpunkt bietet sich der Punkt \(A\) an. \(E\) steht senkrecht auf der Drehachse \(\overline{OD}\), also werden für die Parametergleichung zwei Richtungsvektoren (Spannvektoren) gebraucht, die senkrecht auf \(\overline{OD}\) stehen.

 

 - Abbildung 1

 

Aus Abbildung 2 erkennt man den Punkt \(A'\left(0 \mid \sqrt{2} \mid 0\right)\), der in \(E\) liegt. Da \(\overline{AA'}\) Punkt und Spiegelpunkt bzgl. der Drehachse verbindet, steht dieser Vektor senkrecht auf der Drehachse, liefert also einen Richtungsvektor (Spannvektor) \(\overline{AA'}=\left(\begin{array}{c} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2} \\ 0\end{array}\right)\) von \(E\).
Der Einfachheit halber bevorzugen wir den Richtungsvektor \(\frac{1}{\sqrt{2}}\overline{AA'} = \left(\begin{array}{c}-1\\ 1 \\ 0\end{array}\right)\) als ersten Richtungsvektor. Ein zweiter ist \(\left(\begin{array}{c}0\\ 0 \\ 1\end{array}\right)\), der senkrecht nach oben zeigt und somit senkrecht auf der ganzen \(x_1x_2\)-Ebene steht, in der \(\overline{OD}\) liegt.

Schritt 2: Parametergleichung der Ebene \(E\) aufstellen

Es ergibt sich aus diesen Daten die Parametergleichung \(E: \overrightarrow{x} = \left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 0 \\ 0\end{array}\right) + \lambda \left(\begin{array}{c}-1\\ 1 \\ 0\end{array}\right) + \mu \left(\begin{array}{c}0\\ 0 \\ 1\end{array}\right) \ .\)

Schritt 3: Normalenform der Ebene \(E\) herleiten

Da \(A\left(\sqrt{2} \mid 0 \mid 0 \right)\) ein Punkt auf \(E\) und \(\overrightarrow {n} = \overrightarrow {OD} = \left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 0\end{array}\right)\) ein Normalenvektor von \(E\) ist, erhält man als Normalenform \(E: \left(\overrightarrow{x} - \overrightarrow{OA}\right)\ \circ\ \overrightarrow{n} = 0\), also \(E: \left(\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\ x_3\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 0 \\ 0\end{array}\right)\right)\ \circ\ \left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 0\end{array}\right) = 0\) bzw. ausmultipliziert und vereinfacht \(x_1 + x_2 - \sqrt{2} =0\).

2.

Schritt 1: Koordinaten des Schnittpunktes \(S\) bestimmen

Setzt man den allgemeinen Punkt \(P_{\lambda} \left(\lambda \mid \lambda \mid 0\right)\) der Geraden \(OD\) aus Teilaufgabe a) in die Koordinatengleichung von \(E\) ein, so erhält man \(\lambda + \lambda - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow \lambda = \frac{1}{2}\sqrt{2}\). Einsetzen dieses Parameters in den allgemeinen Geradenpunkt \(P_{\lambda} \left(\lambda \mid \lambda \mid 0\right)\) liefert den Schnittpunkt \(S\left(\frac{1}{2}\sqrt{2} \left \vert \frac{1}{2}\sqrt{2} \right \vert 0\right)\).

c)

1.

Schritt 1: Rechnerischer Nachweis

Einsetzen des allgemeinen Geradenpunkts \(P_{\lambda} \left( \lambda \mid \lambda \mid 0 \right)\) in die Gleichung der Ebene \(E_k\) liefert \(\lambda - \lambda + k \cdot 0 = 0\).

Diese Gleichung gilt für alle \(k \ \epsilon \ \mathbb{R}\) und alle \(\lambda \ \epsilon \ \mathbb{R}\), also liegt die Gerade \(OD\) in allen Ebenen der Schar \(E_k\).

2.

Schritt 1: Begründung

Die Ebenen \(E\) und \(E_k\) stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihre jeweiligen Normalenvektoren senkrecht aufeinanderstehen. Ein Normalenvektor für \(E\) wurde bereits bestimmt, nämlich \(\overrightarrow{n} = \left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 0\end{array}\right)\). Ein Normalenvektor für \(E_k\) setzt sich aus den Koeffizienten der Koordinatengleichung zusammen: \(\overrightarrow{n_k} = \left(\begin{array}{c}1\\ -1 \\ k\end{array}\right) \ .\)

Es gilt \(\left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 0\end{array}\right)\ \circ\ \left(\begin{array}{c}1\\ -1 \\ k\end{array}\right) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot \left(-1\right) +0 \cdot k = 0\) für alle \(k \ \epsilon \ \mathbb{R}\), also stehen die Normalenvektoren unabhängig von \(k\) senkrecht aufeinander, d. h., die Ebene \(E\) verläuft senkrecht auf alle Ebenen \(E_k\).

3.

Schritt 1: Berechnung des Parameters

 

 - Abbildung 1

 

In Abbildung 3 erkennt man, dass die Ebene \(E^*\) parallel zur \(x_3\)-Achse ist. Also bildet der zugehörige Normalenvektor \(\overrightarrow{n_k} = \left(\begin{array}{c}1\\ -1 \\ k\end{array}\right)\) mit der \(x_3\)-Achse einen rechten Winkel. Ein Richtungsvektor der \(x_3\)-Achse ist \(\left(\begin{array}{c}0\\ 0 \\ 1\end{array}\right)\), also lautet die Orthogonalitätsbedingung:

\(\left(\begin{array}{c}1\\ -1 \\ k\end{array}\right)\ \circ\ \left(\begin{array}{c}0\\ 0 \\ 1\end{array}\right) =0 \Leftrightarrow 1 \cdot 0 + \left(-1\right) \cdot 0 + k \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow k = 0\)

Der passende Parameter ist also \(k=0\). Für diesen gilt \(E^* = E_k\).

4.

Schritt 1: Vektorgleichung für \(\overrightarrow{OA^*}\) aufstellen

Unter Benutzung des Punktes \(S\) aus Teilaufgabe b) (2.) erhält man unter Berücksichtigung von Abbildung 3 (siehe oben) die Gleichung \(\overrightarrow{OA^*} = \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{SA^*}\), wobei \( \overrightarrow{SA^*}\) senkrecht nach oben zeigt, d. h., es gibt ein \(\lambda \ \epsilon \ \mathbb{R}\) mit \( \overrightarrow{SA^*} = \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0 \\ 1\end{array}\right)\). Außerdem gilt: \(\mid \overrightarrow{SA^*}\mid =\mid \overrightarrow{SA}\mid\).

Schritt 2: Die Länge des Vektors \(\overrightarrow{SA}\) berechnen

\(\overrightarrow{SA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OS} = \left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 0 \\ 0\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\ 0,5\sqrt{2} \\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\ -0,5\sqrt{2} \\ 0\end{array}\right) \\ \Rightarrow \mid \overrightarrow{SA}\mid = \sqrt{\left(0,5 \sqrt{2}\right)^2 + \left(-0,5 \sqrt{2}\right)^2 +0^2} = 1 \\ \Rightarrow \mid \overrightarrow{SA}\mid = 1\)

Schritt 3: Koordinaten des Punktes \(A^*\) berechnen

\(\overrightarrow{OA^*} = \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{SA^*} = \left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\ 0,5\sqrt{2} \\ 0\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}0\\ 0 \\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\ 0,5\sqrt{2} \\ 1\end{array}\right) \\ \Rightarrow A^* \left(0,5 \sqrt{2}\mid 0,5 \sqrt{2}\mid 1\right)\)

d)

1.

Schritt 1: Vorüberlegung

Der Punkt \(A''\left(a''_1 \mid a''_2 \mid a''_3\right)\) erfüllt die folgenden drei Bedingungen:

  1. Er liegt in der Ebene \(E\) aus Teilaufgabe b).
  2. Er liegt in der Ebene \(x_2 = 1\).
  3. Er hat vom Punkt \(S\) denselben Abstand wie \(A\), nämlich 1.

Schritt 2: Bedingungen als Gleichungen schreiben und lösen

Bedingung 1 liefert mit der Ebenengleichung \(x_1 + x_2 - \sqrt{2} = 0\) die Beziehung \(a''_1 + a''_2 - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow a''_1 = \sqrt{2} - a''_2\).

Bedingung 2 liefert \(a''_2 = 1\) und somit \(a''_1 = \sqrt{2} - a''_2 = \sqrt{2} -1\).

Bedingung 3 liefert \(\color {green} { \mid \overrightarrow{SA''} \mid = 1 }\), wobei:

\(\overrightarrow{SA''} = \overrightarrow{OA''} - \overrightarrow{OS} = \left(\begin{array}{c}\sqrt{2}-1\\ 1 \\ a''_3\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\ 0,5\sqrt{2} \\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0,5 \sqrt{2} -1\\ 1- 0,5\sqrt{2} \\ a''_3\end{array}\right)\)

Durch Quadrieren beider Seiten der grünen Gleichung und Einsetzen der Koordinaten von \(\overrightarrow{SA''}\) erhält man:

 \(\left \vert \left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2} -1\\ 1-0,5\sqrt{2} \\ a''_3\end{array}\right) \right \vert^2 = \left(0,5\sqrt{2} -1\right)^2 + \left(1 -0,5\sqrt{2}\right)^2 + \left(a''_3\right) = 1 \\ \Rightarrow 0,5 - \sqrt{2} + 1 + 1 - \sqrt{2} + 0,5 + \left(a''_3\right) = 1 \\ \Rightarrow 2 - 2\sqrt{2} + \left(a''_3\right)^2 = 0 \\ \Rightarrow \left(a''_3\right)^2 = 2\sqrt{2} -2\)

In Abbildung 3 (siehe oben) ist zu erkennen, dass \(A''\) im ersten Oktanden liegt, also ist \(a''_3 > 0\). Aus der letzten Gleichung folgt somit \(a''_3 = \sqrt{2\sqrt{2}-2}\).

Damit ist \(\overrightarrow{OA''} = \left(\begin{array}{c}\sqrt{2} -1\\ 1 \\ a''_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\sqrt{2} -1\\ 1 \\ \sqrt{2\sqrt{2}-2}\end{array}\right)\), d. h. \(A'' \left(\sqrt{2} - 1 \mid 1 \mid \sqrt{2\sqrt{2}-2}\right)\).

2.

Schritt 1: Nachweis des rechten Winkels

Die Punkte \(C\) und \(A''\) liegen in der Ebene \(x_2 =1\), somit auch die Verbindungsstrecke \(CA''\). Die Punkte \(O\) und \(C\) liegen auf der \(x_2\)-Achse, die auf der Ebene \(x_2=0\) senkrecht steht. Deswegen ist der Winkel \(OCA''\) ein rechter Winkel.

Schritt 2: Nachweis, dass das Dreieck gleichschenklig ist

Die beiden Schenkel des rechten Winkel sind die Strecken \(\overline{CO}\) und \(\overline{CA''}\). Ihre Längen sind:

\(\mid \overrightarrow{CA''} \mid = \left \vert \left(\begin{array}{c}\sqrt{2} -1\\ 1 \\ \sqrt{2\sqrt{2}-2}\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}0\\ 1 \\ 0\end{array}\right) \right \vert \\ \qquad \quad = \left \vert \left(\begin{array}{c}\sqrt{2} -1\\ 0 \\ \sqrt{2\sqrt{2}-2}\end{array}\right) \right \vert \\ \qquad \quad = \sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right) ^2 + 0^2 + 2\sqrt{2} - 2} \\ \qquad \quad = 1 \ [LE]\)

\(\mid \overrightarrow{CO} \mid = \left \vert -\left(\begin{array}{c}0\\ 1 \\ 0\end{array}\right) \right \vert = 1\)

Somit sind \(\overline{CO}\) und \(\overline{CA''}\) gleich lang, d. h., das Dreieck \(OCA''\) ist gleichschenklig.

Aufgabe 5

a)

1.

Schritt 1: Verteilung nach einem Jahr

Die Verteilung nach einem Jahr ergibt sich durch Multiplikation der Übergangsmatrix mit der Startverteilung.

\(\left(\begin{array}{c}0\\ 0,6 \\ 0\end{array} \ \begin{array}{c}0\\ 0 \\ 0,6\end{array} \ \begin{array}{c}0,5\\ 0 \\ 0,8\end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c}2000\\ 4000 \\ 15.000\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0,5 \cdot 15.000\\ 0,6 \cdot 2000 \\ 0,6 \cdot 4000 + 0,8 \cdot 15.000\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}7500\\ 1200 \\ 14.400\end{array}\right)\)

Nach einem Jahr sind also laut Modell 7500 Vögel in Altersgruppe 1, 1200 in Altersgruppe 2 und 14.400 in Altersgruppe 3.

Schritt 2: Verteilung nach zwei Jahren

Die Verteilung nach zwei Jahren ergibt sich durch Multiplikation der Übergangsmatrix mit dem Verteilungsvektor nach einem Jahr.

\(\left(\begin{array}{c}0\\ 0,6 \\ 0\end{array} \ \begin{array}{c}0\\ 0 \\ 0,6\end{array} \ \begin{array}{c}0,5\\ 0 \\ 0,8\end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c}7500\\ 1200 \\ 14.400\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0,5 \cdot 14.400\\ 0,6 \cdot 7500 \\ 0,6 \cdot 1200 + 0,8 \cdot 14.400\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}7200\\ 4500 \\ 12.240\end{array}\right)\)

Nach zwei Jahren gibt es 7200 Jungvögel, 4500 Vögel im 2. Lebensjahr und 12.240 Altvögel.

2.

Schritt 1: Verteilung der Vögel bestimmen

Gesucht ist der Vektor \(\overrightarrow{x}\) mit:

\(\left(\begin{array}{c}0\\ 0,6 \\ 0\end{array} \ \begin{array}{c}0\\ 0 \\ 0,6\end{array} \ \begin{array}{c}0,5\\ 0 \\ 0,8\end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\ x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}2000\\ 4000 \\ 15.000\end{array}\right)\)

Diese Gleichung führt auf das folgende lineare Gleichungssystem:

\(I: \qquad \qquad \qquad \ \ \ \ 0,5x_3 = 2000 \\ II: \ \ 0,6x_1 \qquad \qquad \quad \ \ \ \ = 4000 \\ III: \qquad \ 0,6x_2 + 0,8x_3 = 15.000\)

Aus \(I\) folgt \(x_3=2000 : 0,5 = 4000\) und aus \(II\) folgt \(x_1 = 4000:0,6 \approx 6667\).

Setzt man den Wert für \(x_3\) in \(III\) ein, so erhält man:

\(x_2 = \left(15.000 - 0,8 \cdot 4000\right) : 0,6 = 11.800 : 0,6 \approx 19.667\)

Im Vorjahr gab es also laut Modell etwa 6667 Jungvögel, etwa 19.667 Vögel in der Altersgruppe 2 und 4000 Altvögel.

3.

Schritt 1: Wert Null aus dem Sachzusammenhang erklären

Die 1. Zeile der Matrix steht für den Übergang in die Altersgruppe 1. Die 1. Spalte beschreibt den Übergang von der Altersgruppe 1. Somit bedeutet die Null in der 1. Zeile und 1. Spalte, dass der Bestand an Jungvögeln am Anfang eines Jahres keinen Einfluss auf den Bestand an Jungvögeln im Folgejahr hat, d. h., keine Jungvögel bleiben nach einem Jahr in der Altersgruppe 1 und keine Jungvögel brüten neue Jungvögel aus. Das liegt daran, dass alle überlebenden Jungvögel nach einem Jahr in die Altersgruppe 2 übergehen und die Vögel erst im 3. Lebensjahr brüten können. Außerdem wird im Modell davon ausgegangen, dass keine Seevögel von außerhalb der Beobachtungszone einfliegen.

Die 2. Null in der 1. Zeile bedeutet, dass der Bestand an Vögeln der Altersgruppe 2 keinen Einfluss auf die Altersgruppe 1 im Folgejahr hat. Das liegt daran, dass die Vögel im 2. Lebensjahr weder jünger werden noch brüten können, um neue Jungvögel für das Folgejahr hervorzubringen.

Die Null in der 2. Zeile und 2. Spalte der Matrix bedeutet, dass der Bestand an Vögeln der Altersgruppe 2 keinen Einfluss auf die Altersgruppe 2 im Folgejahr hat. Das folgt direkt aus der Definition der Altersgruppen, nach der alle überlebenden Vögel der Altersgruppe 2 in die Altersgruppe 3 übergehen.

Die Null in der 2. Zeile und 3. Spalte gibt an, dass der Bestand an Vögeln der Altersgruppe 3 keinen Einfluss auf die Altersgruppe 2 im Folgejahr hat. Der Grund dafür ist, dass die Altvögel nur durch ihre Überlebensrate den zukünftigen Bestand der Altvögel oder durch Brüten den Bestand der Jungvögel im Folgejahr beeinflussen können, nicht aber den Bestand der Altersgruppe 2.

In der 3. Zeile und 1. Spalte zeigt die Null an, dass die Jungvögel keinen Einfluss auf den Bestand der Altvögel nach einem Jahr nehmen. Das liegt an der Definition der Altersgruppen, nach der die Vögel im Verlauf eines Jahres immer nur eine Altersgruppe weiter rücken können.

b)

1.

Schritt 1: \(L^2\) berechnen

Die Übergangsmatrix für einen Zeitraum von zwei Jahren lautet:

\(L^2 = \left(\begin{array}{c}0\\ 0,6\\ 0\end{array} \ \begin{array}{c}0\\ 0\\ 0,6\end{array}\ \begin{array}{c}0,5\\ 0\\ 0,8\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0,6\\ 0\end{array} \ \begin{array}{c}0\\ 0\\ 0,6\end{array}\ \begin{array}{c}0,5\\ 0\\ 0,8\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0,36\end{array} \ \begin{array}{c}0,3\\ 0\\ 0,48\end{array}\ \begin{array}{c}0,4\\ 0,3\\ 0,64\end{array}\right)\)

Schritt 2: \(x''_1\) und \(x''_2\) berechnen und vergleichen

Ausgehend vom Anfangsbestand \(\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\x_3 \end{array}\right)\) ergibt sich der Bestand nach zwei Jahren:

\(\left(\begin{array}{c}x''_1\\ x''_2 \\x''_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0,36\end{array} \ \begin{array}{c}0,3\\ 0\\ 0,48\end{array}\ \begin{array}{c}0,4\\ 0,3\\ 0,64\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\x_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0,3x_2 + 0,4x_3\\ 0,3x_3 \\... \end{array}\right)\)

Somit ist \(x''_1 - x''_2 = 0,3x_2 + 0,4x_3 - 0,3x_3 = 0,3x_2 + 0,1x_3\). Wegen \(x_2 \geq 0\) und \(x_3 \geq 0\) ist \(0,3x_2 + 0,1x_3 \geq 0\), also \(x''_1 - x''_2 \geq 0\), d. h. \(x''_1 \geq x''_2\).

Schritt 3: Begründung

Ausgehend von der Anfangsverteilung aus a) folgt aus dem letzten Ergebnis (\(x''_1 \geq x''_2\)), dass die Anzahl der Jungvögel nach zwei Jahren größer oder gleich der Anzahl der Vögel in Altersgruppe 2 ist. Wiederholte Anwendung desselben Arguments zeigt, dass die Ungleichung auch nach jeder anderen geraden Zahl von Jahren gilt (also nach 4, 6, 8 Jahren etc.).

Nach Teilaufgabe a) (1.) ist die Verteilung nach einem Jahr gegeben durch den Vektor \(\left(\begin{array}{c}7500 \\ 1200 \\14.400 \end{array}\right)\), d. h., hier ist schon die Anzahl der Vögel der Altersgruppe 1 größer oder gleich der Anzahl der Vögel der Altersgruppe 2. Wegen der Ungleichung \(x''_1 \geq x''_2\), die für jede beliebige Startverteilung gezeigt wurde, folgt die gewünschte Ungleichung für die Verteilung zwei Jahre nach dem Zustand \(\left(\begin{array}{c}7500 \\ 1200 \\14.400 \end{array}\right)\), also drei Jahre nach Beobachtungsbeginn. Durch wiederholte Anwendung desselben Arguments erhält man die gewünschte Ungleichung für alle ungeraden Jahre nach Beobachtungsbeginn.

2.

Stationäre Verteilung untersuchen

Eine Verteilung \(\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\x_3 \end{array}\right)\) ist genau dann stationär, wenn gilt:

\(\left(\begin{array}{c}0\\ 0,6\\ 0\end{array} \ \begin{array}{c}0\\ 0\\ 0,6\end{array}\ \begin{array}{c}0,5\\ 0\\ 0,8\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\x_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\x_3 \end{array}\right)\)

Schritt 1: Gleichungssystem aufstellen

Obige Gleichung führt auf das folgende lineare Gleichungssystem:

\(I: \qquad \qquad \qquad \quad \ \ 0,5x_3 = x_1 \\ II: \ \ 0,6x_1 \qquad \qquad \qquad \ \ = x_2 \\ III: \qquad \ \ \ 0,6x_2 + 0,8x_3 = x_3\)

Oder vereinfacht:

\(I: \quad \ - x_1\qquad \qquad 0,5x_3 = 0 \\ II: \ \ 0,6x_1 \ - \ x_2 \qquad \quad \ \ \ = 0 \\ III: \qquad \ \ \ 0,6x_2 - 0,2x_3 = 0\)

Schritt 2: Gleichungssystem lösen

\(I\) liefert \(x_1 = 0,5x_3\), was in \(II\) eingesetzt zu \(0,6 \cdot 0,5x_3 = x_2\) führt, d. h. \(x_2 = 0,3x_3\). Dies wiederum in \(III\) eingesetzt liefert \(0,6 \cdot 0,3x_2 -0,2x_3 =0\), also \(-0,02x_3 = 0 \Longrightarrow x_3 =0\). Somit liefert \(I\) die Beziehung \(x_1=0\) und damit folgt aus \(II\) sofort \(x_2=0\).

Außer der trivialen Lösung \(\overrightarrow{x}=0\) gibt es daher keine stationäre Verteilung.

3.

Schritt 1: Näherungswert für den Prozentsatz \(p\) berechnen

Wenn sich die Population pro Jahr um einen festen Prozentsatz \(p\) verkleinert und in einem Zeitraum von 10 Jahren von 17.870 auf 15.422 verringert, dann gilt \(15.422 = 17.870 \cdot \left(1-p\right)^{10}\), also \(p=1 - \sqrt[10]{\frac{15.422}{17.870}} \approx 1 - 0,9854 = 0,0146 \approx 1,5\ \%\).

Nach einer gewissen Zeit verringert sich die Population um etwa 1,5 % pro Jahr.

4.

Verteilung nach neuer Modellierung

Eine Verteilung \(\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\x_3 \end{array}\right)\) ist gemäß der neuen Modellierung mit Bruterfolgsquote genau dann stationär, wenn gilt:

\(\left(\begin{array}{c}0\\ 0,6\\ 0\end{array} \ \begin{array}{c}0\\ 0\\ 0,6\end{array}\ \begin{array}{c}a\\ 0\\ 0,8\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\x_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\x_3 \end{array}\right)\)

Schritt 1: Gleichungssystem aufstellen

Obige Gleichung führt auf das folgende lineare Gleichungssystem:

\(I: \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ ax_3 = x_1 \\ II: \ \ 0,6x_1 \qquad \qquad \qquad \ \ = x_2 \\ III: \qquad \ \ \ 0,6x_2 + 0,8x_3 = x_3\)

Oder vereinfacht:

\(I: \quad \ - x_1\qquad \qquad \ \ \ \ ax_3 = 0 \\ II: \ \ 0,6x_1 \ - \ x_2 \qquad \quad \ \ \ = 0 \\ III: \qquad \ \ \ 0,6x_2 - 0,2x_3 = 0\)

Schritt 2: Gleichungssystem lösen

\(I\) liefert \(x_1=ax_3\), was in \(II\) eingesetzt zu \(0,6 \cdot ax_3 =x_2\) führt, d. h. \(x_2 = 0,6ax_3\). Dies wiederum in \(III\) eingesetzt liefert \(0,6 \cdot 0,6ax_3 - 0,2x_3 =0\), also \(\left(0,36a - 0,2\right)x_3 =0\). Wenn \(x_3=0\) ist, dann folgt analog zu Aufgabe b) (2.), dass auch \(x_1=0\) und \(x_2=0\) gilt. Wenn also eine andere als die triviale stationäre Verteilung existieren soll, dann muss \(x_3 \neq 0\) gewährleistet sein. Somit folgt aus \(\left(0,36a - 0,2\right)x_3 =0\) die Bedingung \(0,36a -0,2 = 0\), d. h.  \(a=0,2 : 0,36 = \frac{5}{9}\).

Unter der Bedingung \(a=\frac{5}{9}\) kann eine stationäre Verteilung als nicht triviale Lösung des obigen linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Wählt man \(x_3 \neq 0\) beliebig, so liefert \(III\) \(0,6x_2 - 0,2 \cdot x_3 =0\), also \(x_2 = \frac{1}{2}x_3\). Außerdem erhält man aus \(I\) \(-x_1 +\frac{5}{9} \cdot x_3 =0 \Longrightarrow x_1 = \frac{5}{9}x_3\). Damit ergibt sich die stationäre Verteilung \(\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\x_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\frac{5}{9}x_1\\ \frac{1}{3}x_2 \\x_3 \end{array}\right)\).

Schritt 3: Anteile der Altersgruppen berechnen

Der Anteil der Jungvögel an der Gesamtpopulation beträgt dann

\(\frac{x_1}{x_1 +x_2 +x_3} = \frac{\frac{5}{9}x_3}{\frac{5}{9}x_3 +\frac{1}{3}x_3 +x_3} = \frac{5}{5+3+9} = \frac{5}{17}\),

der Anteil der Vögel in der Altersgruppe 2

\(\frac{x_1}{x_1 +x_2 +x_3} = \frac{\frac{1}{3}x_3}{\frac{5}{9}x_3 +\frac{1}{3}x_3 +x_3} = \frac{3}{5+3+9} = \frac{3}{17}\)

und der Anteil der Altvögel 

\(\frac{x_1}{x_1 +x_2 +x_3} = \frac{x_3}{\frac{5}{9}x_3 +\frac{1}{3}x_3 +x_3} = \frac{9}{5+3+9} = \frac{9}{17}\).

c)

1.

Schritt 1: Matrix angeben

Es kommen die Übergangsraten 0,8 von Altersgruppe 3 nach 4 (durch die Überlebensquote auf Kosten des Übergangs von Altersgruppe 3 nach 3) und 0,5 von Altersgruppe 4 nach 1 (durch Bruterfolgsquote) hinzu und führen zur Übergangsmatrix:

\(L^2 = \left(\begin{array}{c}0\\ 0,6\\ 0 \\ 0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 0\\ 0,6 \\ 0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}0,5\\ 0\\ 0 \\ 0,8 \end{array}\ \ \begin{array}{c} 0,5\\ 0\\ 0 \\ 0,8 \end{array}\right)\)

d)

1.

Schritt 1: Übergangsmatrix angeben

Die Übergangsmatrix lautet \(M= \left(\begin{array}{c}0\\ 0,5\\ \end{array}\ \ \begin{array}{c}0,8\\ 0,6\\ \end{array}\right) \ .\)

2.

Schritt 1: Modellannahmen anhand des Übergangsgraphen beschreiben

Hier werden nur zwei Altersgruppen unterschieden:

\(x_1\):       Anzahl der Jungvögel im 1. Lebensjahr (Altersgruppe 1)

\(x_2\):       Anzahl der Vögel ab dem 2. Lebensjahr (Altersgruppe 2)

Man geht davon aus, dass 50 % der Jungvögel das 2. Lebensjahr erreichen, d. h., die Überlebensrate ist zunächst um 10 % geringer als bei den zuerst betrachteten Seevögeln. Ab dem 2. Lebensjahr beträgt die Überlebensrate 0,6 (wie auch bei den vorher betrachteten Seevögeln im 2. Lebensjahr). Die erste Brut findet im 2. Lebensjahr statt (also ein Jahr früher als bei der anderen Vogelart), der Bruterfolg liegt bei 0,8 Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr, also deutlich höher als bei der anderen Vogelart.

Stochastik

Aufgabe 6

a)

1.

Schritt 1: Modellierung mit einer Bernoulli-Kette

Wir modellieren die Situation mit einer Bernoulli-Kette \(X\) der Länge \(n=200\) mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p=0,25\). Ein Treffer entspricht einem weiblichen Zuschauer. Aus den kumulativen Verteilungstabellen entnimmt man \(F\left(200; 0,25; 48\right) \approx 0,4083\) und \(F\left(200; 0,25; 47\right) \approx 0,3458\). Also ist:

\(P\left(X=48\right) = F\left(200; 0,25; 48\right) - F\left(200; 0,25; 47\right) \\ \qquad \qquad \ \ \ \approx 0,4083 - 0,3458 = 0,0625\)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 6,25 % sind von den 200 Zuschauern 48 weiblich.

2.

Schritt 1: Modellierung mit einer Bernoulli-Kette

Es ist:

\(P\left(35 \leq X \leq 60\right) = F\left(200; 0,25; 60\right) -F\left(200; 0,25; 34\right) \\ \qquad \qquad \qquad \ \ \ \ \approx 0,9546 - 0,0044 = 0,9502\)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 95 % sind von den 200 Zuschauern zwischen 35 und 60 weiblich.

3.

Schritt 1: Intervalle bestimmen

Der Erwartungswert beträgt \(\mu = n \cdot p = 200 \cdot 0,25 = 50\). Gesucht ist also \(P\left(\mid X -50\mid \geq 10\right) = P\left(X \geq 60\right) + P\left(X \leq 40\right) .\).

Schritt 2: Wahrscheinlichkeit berechnen

Es ist \(P\left(X \geq 60\right) = 1 - P\left(X \leq 59\right) \approx 1-0,9375 = 0,0625\) und \(P\left(X \leq 40\right) \approx 0,0578\), also \(P\left(\mid X -50\mid \geq 10\right) \approx 0,0625 + 0,0578 = 0,1203 \ .\) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also gut 12 %.

b)

1.

Schritt 1: Erwartungswert und Standardabweichung berechnen

Der Erwartungswert für die Anzahl \(X\) der weiblichen Zuschauer beträgt \(\mu = n \cdot p = 20.000 \cdot 0,25 = 5000\). Gesucht ist das kleinste \(k \in \mathbb{N}_0\) mit \(P\left(5000 - k \leq X \leq 5000 + k\right) \geq 0,9\).

Die Standardabweichung von \(X\) ist:

\(\sigma = \sqrt{20.000 \cdot 0,25 \cdot 0,75} \approx 61,24 > 3\)

Die Laplace-Bedingung für die Anwendung der \(\sigma\)-Regeln ist also erfüllt.

Schritt 2: Intervallgrenzen berechnen

Nach den \(\sigma\)-Regeln gilt \(P\left(\mu - 1,64\sigma \leq X \leq \mu + 1,64\sigma\right) \approx 0,9\). Also ist das gesuchte \(k\) näherungsweise gegeben durch \(1,64 \cdot \sigma \approx 1,64 \cdot 61,24 \approx 100,43\).

Aufrundung der Obergrenze von \(\mu + 1,64\sigma \approx 5100,43\) zu \(5101\) und Abrundung der Untergrenze von \(\mu - 1,64\sigma \approx 4899,57\) zu \(4899\) liefert das Intervall \([4899; 5101]\).

2.

Schritt 1: Voraussetzung für Berechnung der Wahrscheinlichkeit nennen

Die Anwendung der Bernoulli-Formel mit Parametern \(n=50\) und \(p=0,25\) für \(k=12\) Treffer setzt voraus, dass die Anzahl der weiblichen Zuschauer in der Schlange binomialverteilt ist. Insbesondere sollte dann gewährleistet sein, dass ein Zuschauer in der Schlange unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit 0,25 weiblich ist.

Diese Unabhängigkeitsbedingung ist für einen kleinen Stichprobenumfang eher unrealistisch, weil sich oft die Mitglieder von Fanclubs mit stark abweichender Geschlechterverteilung zusammen anstellen. Da aber derartige Gruppen selten mehr als 10 Zuschauer umfassen, kann man erwarten, dass sich dieser Effekt beim vorliegenden Stichprobenumfang von 50 Personen nahezu nivelliert.

Somit ist die angegebene Berechnungsformel für Zwecke der groben Schätzung brauchbar.

c)

1.

Schritt 1: Anteil der Mädchen berechnen

Der Anteil der Mädchen im DFB beträgt \(0,1548 \cdot 0,3178 \approx 0,0503 \approx 5\ \%\).

2.

Schritt 1: Anteil der „Senioren“

Der Anteil der „Senioren“ ist der Anteil der „Männer“ ohne den Anteil der „Junioren“.

\(\color{green} {P\left(Senior\right) = P \left(männlich\right) - P\left(Junior\right)}\)

Dabei ist:

\(P\left(männlich\right) = 1- P\left(weiblich\right) = 1 - 15,84\ \% = \color \maroon {84,16\ \%}\)

Die „Junioren“ sind die Jugendlichen ohne die „Mädchen“, nach Teilaufgabe c) (1.) also etwa:

\(33,09\ \% - 5,03\ \% = \color \maroon {28,06\ \%}\)

Einsetzen der braunen Anteile in die grüne Formel liefert den Anteil der „Senioren“, nämlich etwa:

\(84,16\ \% - 28,06\ \% = 56,1\ \%\)

Schritt 2: Anzahl der Mitglieder des DFB berechnen

Die 1.077.215 weiblichen Mitglieder bilden etwa 15,85 % des DFB, also ist die Gesamtzahl der Mitglieder \(\frac{1.077.215}{0,1584} \approx 6.800.600\).

Schritt 3: Anzahl der „Senioren“ berechnen

Der Anteil der Senioren beträgt etwa 56,1 %, das entspricht etwa \(6.800.600 \cdot 0,561 \approx 3.815.137\) Personen.

3.

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit bestimmen

Wegen der großen Zahl an Mitgliedern beider Kategorien kann man näherungsweise mit dem Modell „Ziehen mit Zurücklegen“ arbeiten und erhält die gewünschte Wahrscheinlichkeit als Summe der Wahrscheinlichkeiten für die Kombinationen „Junior/Senior“ und „Senior/Junior“:

\(P\left(Junior-Senior\right) + P\left(Senior-Junior\right) = P \left(Junior\right) \cdot P\left(Senior\right) + P\left(Senior\right) \cdot P \left(Junior\right) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \ \approx 0,2806 \cdot 0,561 + 0,561 \cdot 0,2806 \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \ \ \approx 0,3148\)

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 31,5 %.

d)

1.

Schritt 1: Wahl der Nullhypothese begründen

Mögliche Nullhypothesen sind

entweder

a) \(p \leq 0,25\) („Höchstens 25 % der Zuschauer sind weiblich.“)

oder

b) \(p > 0,25\) („Mehr als 25 % der Zuschauer sind weiblich.“).

Das Signifikanzniveau begrenzt die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art (die Nullhypothese irrtümlich zu verwerfen). Die Folgen eines Fehlers 1. Art sind entweder

a)  Es wird davon ausgegangen, dass mehr als 25 % der Zuschauer weiblich sind, obwohl in Wirklichkeit der Anteil höchstens 25 % beträgt, d. h., der Verkaufsleiter bleibt auf größeren Mengen verderblicher Ware sitzen.

oder

b)  Es wird davon ausgegangen, dass höchstens 25 % der Zuschauer weiblich sind, obwohl ihr Anteil in Wirklichkeit auf über 25 % gestiegen ist, d. h., der Verkaufsleiter hat nicht genügend Vorräte und versäumt eine Umsatzsteigerung.

Fall a) ist genau der Fehler, den der Verkaufsleiter unbedingt vermeiden will. Die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers kann er durch die Wahl der Nullhypothese \(p\leq0,25\) auf 5 % begrenzen.

Deswegen wird als Nullhypothese \(H_0: p\leq 0,25\) gewählt. Die Alternativhypothese lautet dann \(H_1: p>0,25\).

Schritt 2: Annahme- und Ablehnungsbereich für \(H_0\) festlegen

Sei \(X\) die Anzahl der weiblichen Zuschauer auf den Fotos. \(X\) ist binomialverteilt zu den Parametern \(p\) und \(n = 1000\).

\(H_0\) soll angenommen werden, wenn höchstens \(k_0\) weibliche Zuschauer auf den Fotos zu sehen sind.

Gesucht ist das kleinste \(k_0 \in \mathbb{N}\) mit \(0 \leq k_0 \leq 1000\), sodass für jedes \(p \leq 0,25 \ \ \ P\left(X > k_0\right) \leq 0,05\), also \(P\left(X \leq k_0\right) \geq 0,95\) gewährleistet ist. Die Ungleichung \(P\left(X\leq k_0\right) \geq 0,95\) ist genau dann für jedes \(p\leq 0,25\) erfüllt, wenn sie für \(p=0,25\) gilt, denn \(P\left(X \leq k_0\right)\) wird umso kleiner, je größer \(p\) wird.

Aus Tabelle 5 (kumulierte Binomialverteilung für \(n=1000\), Spalte für \(p=0,25\)) entnimmt man \(P\left(X\leq 272\right) \approx 0,9488\) und \(P\left(X\leq 273\right) \approx 0,9559\). Somit ist \(k_0 =273\).

 

 - Abbildung 1

 

Die Entscheidungsregel lautet also wie folgt:

Die Nullhypothese \(p\leq 0,25\) soll angenommen werden, wenn höchstens 273 weibliche Zuschauer auf den 1000 Fotos zu sehen sind. Falls mehr als 273 weibliche Zuschauer gezählt werden, soll davon ausgegangen werden, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer auf über 25 % gestiegen ist.

2.

Schritt 1: Definition des Fehlers 2. Art auf den Sachverhalt übertragen

Ein Fehler 2. Art wird begangen, wenn die Nullhypothese irrtümlich angenommen wird. Im vorliegenden Fall besteht der Fehler 2. Art darin, dass man aufgrund der Stichprobe (mit höchstens 273 weiblichen Zuschauern) den Anteil der weiblichen Zuschauer auf höchstens 25 % schätzt, obwohl er tatsächlich über diesen Wert gestiegen ist. In diesem Fall würde also die Ware des Verkäufers nicht ausreichen.

Schritt 2: Fehlerwahrscheinlichkeit berechnen

Gemäß der Modellierung als Bernoulli-Kette \(X\) der Länge \(n=1000\) mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p=0,3\) errechnet sich die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art zu:

\(P\left(X\leq 273\right) = F\left(1000; 0,3; 273\right) \approx 0,0329 \approx 3,3\ \%\)

3.

Verfahren zur Ermittlung der maximalen Wahrscheinlichkeit

Die Regel führt zu einer falschen Entscheidung, wenn die Helfer die Vermutung des Verkaufsleiters für richtig halten, das heißt, wenn mindestens 5 der 8 Helfer mehr als 33 Fotos weiblicher Zuschauer finden. 

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Helfer mehr als 33 weibliche Zuschauer zählt

Zunächst berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass ein Helfer mehr als 33 Fotos mit weiblichen Zuschauern findet, wobei die Anzahl \(X\) der weiblichen Zuschauer auf den 125 Fotos eines Helfers als binomialverteilt angenommen wird, und zwar mit den Parametern \(n=125\) und \(p=0,25\). Es wird nämlich \(p\leq0,25\) vorausgesetzt und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Helfer mehr als 33 weibliche Zuschauer zählt, ist dann am größten, wenn \(p\) den Maximalwert 0,25 hat.

In diesem Fall ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass ein Helfer mindestens 34 weibliche Zuschauer zählt, zu:

\(P\left(X\geq 34\right) = 1 - F\left(125; 0,25; 33\right)\)

Diese Wahrscheinlichkeit, die mit geeigneten technischen Hilfsmitteln, umfangreichen Nachschlagewerken oder aufwendiger Summation der Einzelwahrscheinlichkeiten

\(P\left(X\geq 34\right) = \sum_{k=34}^{125} \ P\left(X =k\right) = \sum_{k=34}^{125} \left(\begin{array}{c}125\\ k\end{array}\right) \cdot 0,25^k \cdot 0,75^{125-k}\)

bestimmt werden kann, werde im Folgenden mit \(w\) bezeichnet.

Schritt 2: Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass mindestens 5 Helfer jeweils 34 oder mehr weibliche Zuschauer zählen

Wenn die 8 Teilzählungen unabhängig voneinander stattfinden, so ist die Anzahl \(Y\) der Helfer, die mehr als 33 weibliche Zuschauer zählen, binomialverteilt zu den Parametern \(n=8\) und \(p=w\).

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 5 der 8 Helfer jeweils mehr als 33 weibliche Zuschauer zählen, ist dann gegeben durch:

\(P\left(Y\geq 5\right) = 1- P\left(Y\leq 4\right) = 1 - F\left(8; w; 4\right)\)

Auch diese Wahrscheinlichkeit lässt sich entweder mit technischen Hilfsmitteln oder Nachschlagewerken oder direkt durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten bestimmen.

\(P\left(Y\geq 5\right) = \sum_{k=5}^8 \ P\left(Y=k\right) = \sum_{k=5}^8 \left(\begin {array} {c} 8\\ k \end {array} \right) \cdot w^k \cdot \left(1-w\right)^{8-k}\)

Die maximale Wahrscheinlichkeit, mit der die Regel der Helfer zur falschen Entscheidung führt, ist dann dieser Wert \(P\left(Y\geq5\right)\).

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