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Abi 2014 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B2


Aufgabe B 2.1

An einer rechteckigen Platte mit den Eckpunkten A(10|6|0), B(0|6|0), C(0|0|3) und D(10|0|3) ist im Punkt F(5|6|0) ein 2 m langer Stab befestigt, der in positive x3-Richtung zeigt.

Eine punktförmige Lichtquelle befindet sich zunächst im Punkt L(8|10|2) (Koordinatenangaben in m).

  1. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Platte liegt. Stellen Sie die Platte, den Stab und die Lichtquelle in einem Koordinatensystem dar. Berechnen Sie den Winkel zwischen dem Stab und der Platte. (Teilergebnis: \(E : x_2+2x_3=6\))                                                       
  2. Der Stab wirft einen Schatten auf die Platte. Bestimmen Sie den Schattenpunkt des oberen Endes des Stabes. Begründen Sie, dass der Schatten vollständig auf der Platte liegt.       
  3. Die Lichtquelle bewegt sich von L aus auf einer zur x1x2-Ebene parallelen Kreisbahn, deren Mittelpunkt das obere Ende des Stabes ist. Dabei kollidiert die Lichtquelle mit der Platte. Berechnen Sie die Koordinaten der beiden möglichen Kollisionspunkte.

 Aufgabe B2.1a)

Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Platte liegt. Stellen Sie die Platte, den Stab und die Lichtquelle in einem Koordinatensystem dar. Berechnen Sie den Winkel zwischen dem Stab und der Platte. (Teilergebnis: \(E : x_2+2x_3=6\)

Schritt 1: Koordinatengleichung angeben

Als Stützvektor einer Parametergleichung für E dient der Ortsvektor des Punktes A. Als Spannvektoren werden die Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AD}\) herangezogen. Somit ergibt sich:

\(E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}10\\6\\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}-10\\0\\ 0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right);\quad r \in \mathbb{R},\ s \in \mathbb{R}\)

Die letzten zwei Koordinaten liefern die Gleichungen \(x_2=6-6s\) und \(x_3=3s\). Somit lässt sich der Parameter s eliminieren:

\(x_22x_3=6-6s+2\cdot 3s=6\)

Das liefert die Koordinatengleichung \(E : x_2+2x_3 = 6\).

Schritt 2: Zeichnung erstellen

Abi 2014 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B2 - Abbildung 1

Schritt 3: Winkel bestimmen

Der Schnittwinkel \(\alpha \) zwischen Ebene und Geradenstück berechnet sich mithilfe des Richtungsvektors \(\left(\begin{array}{c}0\\0\\ 1\end{array}\right)\) des Stabes und eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}\) der Ebene mit der Formel \(\sin(\alpha)=\frac{\left(\begin{array}{c}0\\0\\ 1\end{array}\right)\circ\overrightarrow{n}}{\left\vert\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\right\vert\cdot \vert\overrightarrow{n}\vert}.\) Ein Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) lässt sich aus der Koordinatengleichung für E ablesen: \(\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\1\\ 2\end{array}\right).\) Einsetzen in obige Formel liefert \(\sin(\alpha)=\frac{\left(\begin{array}{c}0\\0\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}0\\1\\ 2\end{array}\right)}{\left\vert\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\right\vert\;\cdot \; \left\vert\left(\begin{array}{c}0 \\1\\2 \end{array}\right)\right\vert}=\frac{2}{1\cdot \sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.\) Da der spitze Winkel gesucht ist, folgt \(\alpha\approx 63,4°.\)

Aufgabe B 2.1b)

Der Stab wirft einen Schatten auf die Platte. Bestimmen Sie den Schattenpunkt des oberen Endes des Stabes. Begründen Sie, dass der Schatten vollständig auf der Platte liegt. 

Schritt 1: Schattenpunkte berechnen

Der Lichtstrahl verläuft entlang der Geraden l mit Stützpunkt L und dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{LT}\), wobei \(\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OF}+\left(\begin{array}{c}0\\0\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\6\\ 2\end{array}\right)\) der Ortsvektor des oberen Endes des Stabes ist. Wegen \(\overrightarrow{LT}=\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OL}=\left(\begin{array}{c}5\\6\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}8\\10\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\-4\\ 0\end{array}\right)\) ist

\(l:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}8\\10\\ 2\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-3\\-4\\ 0\end{array}\right);\quad t \in \mathbb{R}\)

eine Parametergleichung von \(l.\)

Der Schnittpunkt des Lichtstrahls mit der Platte entspricht dem gesuchten Schattenpunkt. Einsetzen des allgemeinen Geradenpunkts \(P_t(8-3t\mid10-4t\mid2)\) in die Koordinatengleichung für E liefert \(10-4t+2\cdot2=6\), also \(8=4t\Leftrightarrow t= 2.\)

Einsetzen dieses Parameters im allgemeinen Geradenpunkt von \(l\) liefert die Koordinaten des Schattenpunktes \(S(2\mid2\mid2)\).

Schritt 2: Begründung angeben

Jeder Punkt Q des Stabschattens liegt auf der geraden Strecke zwischen F und S, d. h. \(\overrightarrow{OQ} + r \cdot \overrightarrow{FS}\) für ein \(r\in[0;1]\). Dabei ist

\(\overrightarrow{FS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OF}=\left(\begin{array}{c}2\\2\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\\6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\-4\\ 2\end{array}\right),\) d. h.

\(\overrightarrow{OQ}=\left(\begin{array}{c}5\\6\\ 0\end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{c}-3\\-4\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5-3r\\6-4r\\ 2r\end{array}\right)\) mit \(0\leq r\leq1\).

Ein solcher Punkt liegt genau dann auf der Platte, wenn seine x1-Koordinate zwischen denen von A und B und seine x2-Koordinate zwischen denen von B und C liegt, d. h., wenn \(0\leq 5-3r\leq10\) und \(0\leq6-4r\leq6\) gilt. Diese Bedingungen sind für alle \(r\in[0;1]\) erfüllt, also liegt der ganze Schatten des Stabes auf der Platte ABCD.

Aufgabe B 2.1c)

Die Lichtquelle bewegt sich von L aus auf einer zur x1x2-Ebene parallelen Kreisbahn, deren Mittelpunkt das obere Ende des Stabes ist. Dabei kollidiert die Lichtquelle mit der Platte. Berechnen Sie die Koordinaten der beiden möglichen Kollisionspunkte.

Schritt 3: Ebene der Kreisbahn angeben

Das obere Ende des Stabes hat die x3-Koordinate 2. Deshalb bewegt sich die Lichtquelle L auf einer Kreisbahn, die in der Hilfsebene \(H : x_3 = 2\) liegt.

Schritt 4: Schnittgerade bestimmen

Auf der Schnittgeraden g von E und H liegen die möglichen Kollisionspunkte. Die Parametergleichung

\(E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}10\\6\\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}-10\\0\\ 0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}0\\-6\\ 3\end{array}\right);\quad r\in\mathbb{R},\ s\in\mathbb{R}\)

liefert für die x3-Koordinate die Gleichung \(x_3=3s\). Ein Vergleich mit der Koordinatengleichung von H liefert \(es=2\Leftrightarrow s= \frac{2}{3}\). Diesen Wert setzen wir in die Parametergleichung von E ein und erhalten damit eine Parametergleichung der Schnittgeraden.

\(g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}10\\6\\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}-10\\0\\ 0\end{array}\right)+\frac{2}{3}\left(\begin{array}{c}0\\-6\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\2\\ 2\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}-10\\0\\ 0\end{array}\right);\quad r\in\mathbb{R}\)

Schritt 5: Mögliche Kollisionspunkte bestimmen

Der Radius der Kreisbahn ist der Abstand von L zu T, also:

\(\vert\overrightarrow{LT}\vert=\left\vert\left(\begin{array}{c}-3\\-4\\0\end{array}\right)\right\vert=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=5\)

Die möglichen Kollisionspunkte sind diejenigen Punkte auf g, deren Abstand zu T 5 LE beträgt. Der Abstand eines allgemeinen Geradenpunktes auf g zu T ist:

\(\begin{align}\left\vert\left(\begin{array}{c}10\\2\\2\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}-10\\0\\ 0\end{array}\right)-\overrightarrow{OT}\right\vert&=\left\vert\left(\begin{array}{c}10\\2\\ 2\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}-10\\0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\\6\\ 2\end{array}\right)\right\vert\\&=\left\vert\left(\begin{array}{c}5-10r\\-4\\ 0\end{array}\right)\right\vert\\&=\sqrt{(5-10r)^2+(-4)^2}\end{align}\)

Als Lösung für die Gleichung \(\sqrt{(5-10r)^2+(-4)^2}=5\) liefert der GTR \(r=0,2\) und \(r=0,8\). Einsetzen in die Geradengleichung für g liefert die möglichen Schnittpunkte \(S_1(8\mid2\mid2)\) und \(S_2(2\mid2\mid2)\).

  • Punkte:  9

Aufgabe B 2.2

Bei der Produktion von Bleistiften beträgt der Anteil fehlerhafter Stifte erfahrungsgemäß 5 %.

  1. Ein Qualitätsprüfer entnimmt der Produktion zufällig 800 Bleistifte. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Stifte in dieser Stichprobe. Berechnen Sie \(P(X\leq30)\). Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht der Wert von X um weniger als 10 vom Erwartungswert von X ab?           
  2. Der Betrieb erwirbt eine neue Maschine, von der behauptet wird, dass höchstens 2 % der von ihr produzierten Bleistifte fehlerhaft sind. Diese Hypothese H0 soll mithilfe eines Tests an 800 zufällig ausgewählten Stiften überprüft werden. Bei welchen Anzahlen fehlerhafter Stifte entscheidet man sich gegen die Hypothese, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 5 % betragen soll?

Aufgabe B 2.2a)

Ein Qualitätsprüfer entnimmt der Produktion zufällig 800 Bleistifte. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Stifte in dieser Stichprobe. Berechnen Sie \(P(X\leq30)\)Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht der Wert von X um weniger als 10 vom Erwartungswert von X ab?  

Schritt 1: Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmen

Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit Parametern \(n=800\) und \(p=0,05\).

Schritt 2: Wahrscheinlichkeiten berechnen

\((X\leq30)\) kann im STAT-Modus des GTR berechnet werden. Im DIST-Menü gibt die BINM-Option die Möglichkeit, mit dem Befehl Bcd die Daten einzugeben. Folgende Vorgaben liefern das Ergebnis 0,05705832:

Data:       Variable

x:            30

Numtrial: 800

p:            0.05

SaveRes:None

Mit einer Wahrscheinlichkeit von knapp 6 % sind höchstens 30 der entnommenen Bleistifte fehlerhaft.

Der Erwartungswert von X ist \(E(X)=n\cdot p=800\cdot 0,05=40\). Gesucht ist nun

\(P(\mid X-E(X)\mid<10)=P(31\leq X\leq49)=P(X\leq49)-P(X\leq30)\),

wobei laut GTR \(P(X\leq49)\approx0,935\) und \(P(X\leq30)\approx0,057\) ist. Somit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

\(P(\mid X - E(X)\mid<10\approx0,935-0,057=0,878\)

Aufgabe B 2.2b)

Schritt 1: Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmen

Die Zufallsvariable Y beschreibe die Anzahl fehlerhafter Bleistifte. Y ist binomialverteilt mit Parametern \(n=800\) und p (unbekannt).

Schritt 2: Testart bestimmen

Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test mit der Nullhypothese \(H_0:p\leq0,02\).

Schritt 3: Ablehnungsbereich ermitteln

Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Stichprobe viele fehlerhafte Bleistifte aufweist. Der Ablehnungsbereich hat daher die Form \(\left\{g; g+1;...;800\right\}\) für ein \(g\in\mathbb{N}_0.\) Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass H0 fälschlicherweise abgelehnt wird. Das ist also die Wahrscheinlichkeit, dass \(Y\geq g\) ausfällt, obwohl \(p\leq0,02\) ist. Am größten ist diese Wahrscheinlichkeit, wenn \(p=0,02\) ist. Selbst in diesem Grenzfall soll \(P(Y\geq g)\leq0,05\) gewährleistet sein. Gesucht ist das kleinste g, bei dem diese Ungleichung für \(p=0,02\) noch erfüllt ist. Die Ungleichung \(P(Y\geq g)\leq0,05\) ist äquivalent zu \(P(Y\leq g -1)\geq0,95\).

Gibt man im STAT-Modus des GTR die Liste

1 20
2 21
3 22
4 23
5 24
116 25

als List1 ein und bedient sich der Bcd-Funktion mittels der BINM-Option im DIST-Menü, so kann man die weiteren Daten

Data:          List

List:           List1

Numtrial:    800

p:              0.02

Save Res: None

eingeben und erhält aus Ausgabe die Liste

1 0,8074
2 0,9129
3 0,9436
4 0,9648
5 0,9788
6 0,9877

Der dritten und vierten Zeile entnimmt man \(P(Y\leq22)\approx0,9436\) und \(P(Y\leq23)\approx0,9648\). Das kleinste \(g\in\mathbb{N}_0\) mit \(P(Y\leq g-1)\geq0,95\) erfüllt somit \(g-1=23\), also \(g=24\). Bei mindestens 24 fehlerhaften Stiften verwirft man die Nullhypothese.

  • Punkte:  7
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