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Abi 2014 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B1


Zugelassene Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung.

Aufgabe B 1.1

Gegeben sind die Punkte A(5|−5|0), B(5|5|0), C(−5|5|0) und D(−5|−5|0). Das Quadrat ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S(0|0|12).

  1. Die Seitenfläche BCS liegt in der Ebene E. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E. Berechnen Sie den Winkel, der von der Seitenfläche BCS und der Grundfläche der Pyramide eingeschlossen wird. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BCS.                      
  2. Betrachtet werden nun Quader, die jeweils vier Eckpunkte auf den Pyramidenkanten und vier Eckpunkte in der Grundfläche der Pyramide haben. Einer dieser Quader hat den Eckpunkt Q(2,5|2,5|0). Berechnen Sie sein Volumen. Bei einem anderen dieser Quader handelt es sich um einen Würfel. Welche Koordinaten hat dessen Eckpunkt auf der Kante BS?

Aufgabe B 1.1a)

Die Seitenfläche BCS liegt in der Ebene E. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E. Berechnen Sie den Winkel, der von der Seitenfläche BCS und der Grundfläche der Pyramide eingeschlossen wird. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BCS. 

Schritt 1: Skizze anfertigen

Die Lage der Pyramide im Koordinatensystem ist wie folgt:

Abi 2014 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B1 - Abbildung 1

Schritt 2: Koordinatengleichung der Ebene angeben

Wählt man als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes S und als Spannvektoren die Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{SB}\) und \(\overrightarrow{SC}\), so ergibt sich die Parametergleichung:

\(E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\ 12\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}5\\5\\ -12\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-5\\5\\ -12\end{array}\right);\quad r\:\epsilon\;\mathbb{R},\ s\;\epsilon\;\mathbb{R}\)

Die letzten zwei Koordinaten eines allgemeinen Ebenenpunktes auf E lauten also: 

\(x_2=5r+5s=5(r+s)\) und

\(x_3=12-12r-12s=12-12(r+s)\)

Somit ist \(12x_2+5x_3=60(r+s)+60-60(r+s)=60\), d. h., eine Koordinatengleichung von E ist gegeben durch \(E:12x_2+5x_3=60.\)

Schritt 3: Schnittwinkel bestimmen

Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist der Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren. Normalenvektor der Grundfläche: \(F:\overrightarrow {n_F}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\ 1\end{array}\right).\)

Normalenvektor der Seitenfläche BCS (aus den Koeffizienten der Koordinatengleichung zusammengesetzt): \(\overrightarrow {n}=\left(\begin{array}{c}0\\12\\ 5\end{array}\right).\) Der Schnittwinkel \(\alpha\) erfüllt also

\(\cos (\alpha)=\frac{\overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{n_F}}{\vert\overrightarrow{n}\vert \cdot \vert\overrightarrow{n_F}\vert }=\frac{\left(\begin{array}{c}0\\12\\5\end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c}0\\0\\ 1\end{array}\right)}{\sqrt{12^2+5^2}}=\frac{5}{13}\) \(\Rightarrow\alpha\approx67,4°\), da \(\alpha\) spitz ist, siehe Skizze.

Schritt 4: Flächeninhalt berechnen

Der Flächeninhalt des Dreiecks BSC ist \(A_{BSC}=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{BC}\cdot h,\) wobei h die zur Grundseite BC gehörige Höhe des Dreiecks ist. Aufgrund der in der Skizze erkennbaren Symmetrie ist h der Abstand des Mittelpunktes M der Strecke BC zur Spitze S der Pyramide. Im rechtwinkligen Dreieck OMS sind die Kathetenlängen 12 (das ist Höhe der Spitze der Pyramide über der Grundfläche) und 5 (das ist der Abstand der Seite BC vom Ursprung) bekannt. Nach dem Satz von Pythagoras gilt:

\(12^2+5^2=h^2\Rightarrow h=\sqrt{144+25}=13\)

Die Länge \(\overrightarrow{BC}\) ist der Abstand zwischen B und C, also:

\(\vert\overrightarrow{BC}\vert=\vert\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\vert=\left\vert\left(\begin{array}{c}-10\\0\\ 0\end{array}\right)\right\vert=10\)

Die gesuchte Fläche ist also:

\(A_{BCS}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{BC}\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 13=65\ [FE]\)

Aufgabe B 1.1b)

Betrachtet werden nun Quader, die jeweils vier Eckpunkte auf den Pyramidenkanten und vier Eckpunkte in der Grundfläche der Pyramide haben. Einer dieser Quader hat den Eckpunkt Q(2,5|2,5|0). Berechnen Sie sein Volumen. Bei einem anderen dieser Quader handelt es sich um einen Würfel. Welche Koordinaten hat dessen Eckpunkt auf der Kante BS?

Schritt 1: Quadervolumen bestimmen

Anhand der Skizze erkennt man, dass die x3-Achse eine Drehsymmetrieachse der Pyramide ist: Der Körper bleibt bei Rotation um 90° um diese Achse unverändert. Dasselbe gilt daher für die Deckfläche des Quaders, die ein waagerechter Schnitt der Pyramide ist (denn die Grundfläche ist waagerecht). Somit ist die Deckfläche des Quaders ein Quadrat. Das Gleiche gilt auch für die Grundfläche.

Ein Eckpunkt der Grundfläche des Quaders ist gegeben; die anderen ergeben sich daraus durch wiederholte Spiegelung an den x1x3- und x2x3-Koordinatenebenen (also durch Vorzeichenwechsel der x1- und x2-Koordinaten).

Die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche des Quaders ist aufgrund der Symmetrie der doppelte Abstand des Eckpunktes Q zur x1x3-Ebene, also der doppelte Betrag der x2-Koordinate von Q (2,5|2,5|0). Die Seitenlänge ist somit 5 LE.

Um die Höhe des Quaders zu ermitteln, wird der zweite Strahlensatz auf das oben betrachtete rechtwinklige Dreieck OMS angewendet.

Abi 2014 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B1 - Abbildung 2

Unten ist der Querschnitt der rechten Hälfte der Grundfläche der Pyramide und etwa in der Mitte die rechte Hälfte der Deckfläche des Quaders im selben Querschnitt (die Länge entspricht der x2-Koordinate von Q). Nach dem 2. Strahlensatz ist \(\frac{12\ -\ h}{2,5}=\frac{12}{5},\) also \(12-h=\frac{2,5}{5}\cdot 12 = 6\) und somit \(h = 6\ [LE]\). Das Volumen des Quaders ist das Produkt aus Länge, Breite und Höhe (wobei Länge und Breite jeweils 5 LE betragen), also:

\(V = 5(LE)^2\cdot6\;LE=25\cdot 6\; VE=150\;VE\)

Schritt 2: Koordinaten der Würfelecke auf BS ermitteln

Die Kantenlänge des Würfels entspricht seiner Höhe und diese ist doppelt so lang wie die rechte Hälfte seiner Deckfläche im Querschnitt.

Abi 2014 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B1 - Abbildung 3

Nach dem 2. Strahlensatz gilt \(\frac{12\ -\ 2a}{a}=\frac{12}{5},\) also:

\(60-10a=12a\Leftrightarrow60=22a\Leftrightarrow a=\frac{30}{11}\)

Dies ist nun die x2-Koordinate des gesuchten Eckpunktes P des Würfels. Wegen der Drehsymmetrie um die x3-Achse ist auch die x1-Koordinate von P gleich a. Die x3-Koordinate hingegen ist die Höhe, die gleich der Seitenlänge ist, also \(2a=\frac{60}{11}\) beträgt. Der gesuchte Punkt ist somit \(P(\frac{30}{11}\mid\frac{30}{11}\mid\frac{60}{11})\).

  • Punkte:  8

Aufgabe B 1.2

In einem Gefäß G1 sind 6 schwarze und 4 weiße Kugeln. In einem Gefäß G2 sind 3 schwarze und 7 weiße Kugeln.

  1. Aus dem Gefäß G1 wird 20-mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 12-mal eine schwarze Kugel gezogen wird. Aus dem Gefäß G2 wird 8-mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 schwarze Kugeln gezogen werden, und zwar bei direkt aufeinanderfolgenden Zügen.                                               
  2. Nun werden aus G1 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und in das Gefäß G2 gelegt. Anschließend wird eine Kugel aus G2 gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel schwarz?

Aufgabe B 1.2a)

Aus dem Gefäß G1 wird 20-mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 12-mal eine schwarze Kugel gezogen wird. Aus dem Gefäß G2 wird 8-mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 schwarze Kugeln gezogen werden, und zwar bei direkt aufeinanderfolgenden Zügen.  

Schritt 1: Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmen

Beim Ziehen mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge ist die Zufallsvariable X, die zählt, wie oft eine schwarze Kugel gezogen wird, binomialverteilt. Da bei jedem Zug aus G1 6 von insgesamt 10 Kugeln schwarz sind, beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit dann p = 0,6. Bei 20 Ziehungen ist der andere Parameter n = 20. Bei der Ziehung aus G2 ist p = 0,3 und n = 8.

Schritt 2: Wahrscheinlichkeiten berechnen

Gesucht ist zunächst die Wahrscheinlichkeit \(P(X\geq12)=1-P(X\leq11)\), wobei \(P(X\leq11)\) im STAT-Modus des GTR berechnet werden kann: Im DIST-Menü gibt die BINM-Option die Möglichkeit, mit dem Befehl Bcd die Daten einzugeben. Folgende Vorgaben liefern das Ergebnis 0,40440127:

Data:       Variable

x:            11

Numtrial:  20

p:            0.6

SaveRes:None

Somit ist \(P(X\geq12)\). Mit einer Wahrscheinlichkeit von knapp 60 % werden genau 12 schwarze Kugeln gezogen. Jede Möglichkeit dafür, dass bei 8 Ziehungen aus G2 genau 2 schwarze Kugeln gezogen werden, hat die Wahrscheinlichkeit \(0,3^2\cdot 0,7^6.\) Es gibt 7 solche Möglichkeiten, bei denen die 2 schwarzen Kugeln direkt hintereinander gezogen werden (entsprechend den 7 Möglichkeiten, die Position der ersten schwarzen Kugel festzulegen). Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 8-maligem Ziehen aus G2 genau 2-mal schwarz gezogen wird und dabei die beiden schwarzen Kugeln direkt nacheinander gezogen werden, beträgt somit \(7 \cdot 0,3^2\cdot 0,7^6\approx0,074.\)

Aufgabe B 1.2b)

Nun werden aus G1 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und in das Gefäß G2 gelegt. Anschließend wird eine Kugel aus G2 gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel schwarz?

Schritt 1: Wahrscheinlichkeiten bei der 1. Ziehung

Beim 2-maligen Ziehen aus G1 gibt es drei Möglichkeiten für die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln.

  1. keine: Es werden hintereinander 2 weiße Kugeln gezogen.
  2. eine: Es wird entweder weiß, dann schwarz oder schwarz, dann weiß gezogen.
  3. zwei: Es werden hintereinander 2 schwarze Kugeln gezogen.

Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten berechnen sich wie folgt:

  1. Zuerst wird eine der 4 weißen von insgesamt 10 Kugeln gezogen, dann eine der 3 weißen von insgesamt 9 Kugeln: \(\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}=\frac{2}{15}\).
  2. Entweder es wird zuerst eine der 4 weißen von insgesamt 10 Kugeln gezogen, anschließen eine der 6 schwarzen von insgesamt 9, oder zuerst eine der 6 schwarzen (von 10) und dann eine der 4 weißen (von 9): \(\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{9}+\frac{6}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{8}{15}\).
  3. Zuerst wird eine der 6 schwarzen von insgesamt 10 Kugeln gezogen, dann eine der 5 schwarzen von insgesamt 9: \(\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{1}{3}\).

Schritt 2: Wahrscheinlichkeiten bei der 2. Ziehung

Es gibt drei Möglichkeiten, dass bei der 2. Ziehung eine schwarze Kugel gezogen wird, je nachdem wie viele schwarze Kugeln aus G1 nach der 1. Ziehung zu G2 hinzugefügt wurden.

Die Wahrscheinlichkeit, bei der 2. Ziehung eine schwarze Kugel zu ziehen, ist abhängig vom Ausgang der 1. Ziehung.

  1. Wurde keine schwarze Kugel aus G1 gezogen, so sind 3 schwarze und 9 weiße Kugeln in G2, d. h., es wird mit Wahrscheinlichkeit \(P(s\mid 0\;schwarze)=\frac{3}{9\ +\ 3}=\frac{1}{4}\) eine schwarze Kugel gezogen.
  2. Wurde eine schwarze Kugel aus G1 gezogen, so sind 4 schwarze und 8 weiße Kugeln in G2, also ist \(P(s\mid 1\;schwarze)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}.\)
  3. Wurden 2 schwarze Kugeln aus G1 gezogen, so sind 5 schwarze und 7 weiße Kugeln in G2, also ist \(P(s\mid 2\;schwarze)=\frac{5}{12}.\) 

Schritt 3: Baumdiagramm zeichnen

Die oben berechneten Wahrscheinlichkeiten ergeben folgendes Baumdiagramm:

Abi 2014 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B1 - Abbildung 4

Schritt 4: Pfadregeln anwenden

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass einer der drei roten Pfade eintritt. Nach den Pfadregeln beträgt sie \(\frac{2}{15}\cdot\frac{1}{4}+\frac{8}{15}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{12}=\frac{7}{20}=0,35.\) Die bei der Ziehung aus G2 gezogene Kugel ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 35 % schwarz.

  • Punkte:  7
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