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Abi 2014 Analysis Wahlteil, Aufgabe A1


Zugelassene Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung.

Aufgabe A 1.1

Gegeben ist die Funktion f mit \(f(x) = 10x\cdot e^{-0,5x}\). Ihr Graph ist K.

  1. K besitzt einen Extrempunkt und einen Wendepunkt. Geben Sie deren Koordinaten an. Geben Sie eine Gleichung der Asymptote von K an. Skizzieren Sie K.                                                                            
  2. Für jedes u > 0 sind O(0|0), P(u|0) und Q(u|f(u)) die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie einen Wert für u so, dass dieses Dreieck den Flächeninhalt 8 hat. Für welchen Wert von u ist das Dreieck OPQ gleichschenklig?   
  3. Auf der x-Achse gibt es Intervalle der Länge 3, auf denen die Funktion f den Mittelwert 2,2 besitzt. Bestimmen Sie die Grenzen eines solchen Intervalls.

Aufgabe 1a)

K besitzt einen Extrempunkt und einen Wendepunkt. Geben Sie deren Koordinaten an. Geben Sie eine Gleichung der Asymptote von K an. Skizzieren Sie K.  

Schritt 1: Funktionsterm in den GTR eingeben

Eingabe im GRAPH-Modus des GTR: 10×X×e^(−0.5×X) und in der nächsten Zeile d/dx(Y1).

Schritt 2: Gesuchte Punkte und Asymptote mit dem GTR bestimmen

Der Menüpunkt DRAW liefert eine Skizze von f und f', an der man erkennt, dass der Extrempunkt von f ein Maximum ist und Gf von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung übergeht, d. h., der Wendepunkt ist ein Minimum der Ableitung. Ebenso sieht man, dass sich Gf für \(x\rightarrow\infty\) der x-Achse nähert, d. h., die waagerechte Asymptote hat die Gleichung y = 0. Im G-Solv-Menü liefert der Menüpunkt MAX eine Näherung für den Hochpunkt von Gf, nämlich (auf eine Nachkommastelle gerundet) HP (2,0|7,4). Analog erhält man eine Näherung für das Minimum von f' (also den Wendepunkt von f): WP (4,0|5,4).

Bemerkung

Der Hochpunkt hat die Koordinaten \((2\mid\frac{20}{e})\) und der Wendepunkt \((4\mid\frac{40}{e^2})\).

Schritt 3: Graphen skizzieren

Übertragung der Grafikanzeige des GTR.

Abi 2014 Analysis Wahlteil, Aufgabe A1 - Abbildung 1

Aufgabe 1b)

Für jedes u > 0 sind O(0|0), P(u|0) und Q(u|f(u)) die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie einen Wert für u so, dass dieses Dreieck den Flächeninhalt 8 hat. Für welchen Wert von u ist das Dreieck OPQ gleichschenklig?   

Schritt 1: Skizze anfertigen

Ergänzung der Skizze aus Teilaufgabe a.

Abi 2014 Analysis Wahlteil, Aufgabe A1 - Abbildung 2

Schritt 2: Flächeninhalt in Abhängigkeit von u bestimmen

Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten OP und PQ, wobei OP die Länge u und PQ die Länge f(u) hat.

Der Flächeninhalt entspricht dem halben Produkt der beiden Kathetenlängen.

\(A(u)=\frac{1}{2}\cdot u\cdot f(u)=\frac{1}{2}\cdot u\cdot 10u\cdot e^{-0,5u}=5u^2e^{-0,5u}\)

Schritt 3: Parameter bestimmen

Gesucht ist ein \(u\;\epsilon\;\mathbb{R}\) mit A(u) = 8. Diese Gleichung wird im EQUA-Modus des GTR näherungsweise gelöst: Nach Eingabe der Gleichung und Auswahl von SOLV wird (auf zwei Nachkommastellen gerundet) 2,18 ausgegeben. Für \(u\approx2,18\) hat also das Dreieck OPQ den Flächeninhalt 8 FE. Das Dreieck OPQ ist genau dann gleichschenklig, wenn die Katheten OP und PQ gleich lang sind, also wenn u = f(u) gilt. Eine Näherungslösung dieser Gleichung erhält man durch Eingabe von X=10×X×e^(-0.5×X) im EQUA-Modus. Der SOLV-Befehl liefert (auf zwei Nachkommastellen gerundet) 4,61. Für \(u\approx4,61\) ist das Dreieck OPQ gleichschenklig.

Aufgabe 1c)

Auf der x-Achse gibt es Intervalle der Länge 3, auf denen die Funktion f den Mittelwert 2,2 besitzt. Bestimmen Sie die Grenzen eines solchen Intervalls.

Schritt 1: Gleichung aufstellen

Der Mittelwert m der Funktion f auf dem Intervall [a, b] ist \(m=\frac{1}{b\ -\ a}\int_{a}^{b} f(t)dt\). Gesucht ist ein solches Intervall mit b = a + 3 und m = 2,2. Bezeichnen wir die Untergrenze a mit x, so ergibt sich die Gleichung \(2,2=\frac{1}{3}\int_{x}^{x+3} f(t)dt\), die sich mit dem GTR näherungsweise lösen lässt, indem man im GRAPH-Modus neben der Funktion Y1=10×X×e^(-0.5×X) noch Y2=fnInt(Y1,X,X,X+3)÷3-2.2 definiert und dann mit der ROOT-Funktion die Nullstelle von Y2 bestimmen lässt. Die Ausgabe ist (auf eine Nachkommastelle gerundet) 5,5. Somit ist [5,5;8,5] näherungsweise ein Intervall, auf dem der Mittelwert von f 2,2 beträgt.

  • Punkte:  11

Aufgabe A 1.2

Gegeben ist für jedes t > 0 eine Funktion f durch \(f_t(x)=\frac{1}{3}x^3-t^2x\). Bestimmen Sie t so, dass die beiden Extrempunkte des Graphen von ft den Abstand 13 voneinander haben. 

Schritt 1: Extrempunkt in Abhängigkeit von t bestimmen

Die 1. Ableitung von ft nach x ist \(f'_t(x)=x^2-t^2=(x-t)(x+t)\). Die Extremstellen von ft sind Nullstellen von f't, also x = t und x = −t. Die Extrempunkte sind also \((t\mid f_t(t))\) und \((-t\mid f_t(-t))\), also \((t\mid -\frac{2}{3}t^3)\) und \((-t\mid \frac{2}{3}t^3)\).

Schritt 2: Abstandsgleichung aufstellen

Der Abstand der beiden Extrempunkte \(E_1(t\mid -\frac{2}{3}t^3)\) und \(E_2(-t\mid \frac{2}{3}t^3)\) ist die Länge des Verbindungsvektors \(\overrightarrow{E_1E_2}=(\frac{2}{3}t^3-(-\frac{2}{3}t^3))=\left(\begin{array}{c}-2t\\ \frac{4}{3}t^3\end{array}\right)\). Diese Länge ist nach dem Satz von Pythagoras \(d=\sqrt{(2t)^2+(-\frac{4}{3}t^3)^2}\). Die Bedingung, dass diese Länge 13 betragen soll, führt auf die Gleichung \(13=\sqrt{(2t)^2+(-\frac{4}{3}t^3)^2}.\)

Schritt 3: Gleichung lösen

Eingabe von 13=√((2X)^2+(-(4÷3)X^3)^2) im EQUA-Modus liefert als Näherungslösung (auf eine Nachkommastelle gerundet) 2,1. Für \(t\approx2,1\) haben die beiden Extrempunkte von ft den Abstand 13 voneinander.

  • Punkte:  4
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