Gegeben ist die Funktion \(f:x \longrightarrow \frac {x}{\ln x}\) mit Definitionsmenge \(\mathbb{R}^{+}\diagdown\left\{1\right\}\). Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von \(f\).
Aufgabe 2
Dauer:12 Minuten5 Punkte
Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x)=e^{x}\cdot (2x+x^{2})\).
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\).
Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion mit \(F(x)=x^{2}\cdot e^{x} \) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion \(G\) von \(f\) an, für die \(G(1)=2e\) gilt.
Aufgabe 3
Dauer:12 Minuten5 Punkte
Gegeben sind die in \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \(g_{a,c}:x \longrightarrow \sin(ax)+c\) mit \(a,c \in \mathbb{R}_0^+\).
Geben Sie für jede der beiden folgenden Eigenschaften einen möglichen Wert für \(a\) und einen möglichen Wert für \(c\) an, dass die zugehörige Funktion \(g_{a,c}\) diese Eigenschaften besitzt.
α) Die Funktion \(g_{a,c}\) hat die Wertemenge \([0;2]\).
β) Die Funktion \(g_{a,c}\) hat im Intervall \([0;\pi]\) genau 3 Nullstellen.
Ermitteln Sie in Abhängigkeit von \(a\), welche Werte die Ableitung von \(g_{a,c}\) annehmen kann.
Aufgabe 4
Dauer:12 Minuten5 Punkte
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).
Beschreiben Sie für \(a \leq x \leq b\) den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\).
Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich.
