Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Abi 2014 Analysis Teil A, AG 1


Aufgabe 1

Schritt 1: Lage des Extrempunkts \(E\)

Laut Quotientenregel ist:
\(\begin{align*}\\ f'(x)&=\left(\frac{x}{\ln\;x}\right)'=\frac{x'\cdot\;\ln\;x\;-\;x\;\cdot\;(\ln\;x)'}{(\ln\;x)^2}\\ &=\frac{1\cdot\;\ln\;x-x\cdot\frac{1}{x}}{(\ln\;x)^2}=\frac{\ln\;x-1}{(\ln\;x)^2} \end{align*}\)

Null setzen liefert:
\(\begin{align*}&f'(x)\stackrel{!}{=}0\\ \Longleftrightarrow&\ln\;x-1=0\\ \Longleftrightarrow& \ln\;x=1\\ \Longleftrightarrow& x=e\end{align*}\)

\(\begin{align*}f(e)=\frac{e}{\ln\;e}=\frac{e}{1}=e\Longrightarrow E(e|e)\end{align*}\)

Schritt 2: Art des Extrempunkts \(E\)

Abi 2014 Analysis Teil A, AG 1 - Abbildung 1

\(\Longrightarrow E(e|e)\) ist ein Tiefpunkt.

  • Punkte:  5

Aufgabe 2

a)

Schritt 1: Nullstellen bestimmen

Null setzen liefert:
\(f(x)=e^x\cdot(2x+x^2)=0\\ \Longleftrightarrow e^x=0\text{ oder }2x+x^2=0\)

Ausklammern liefert:
\(\Longleftrightarrow x(2+x)=0\) (da \(e^x\ne0\))

\(\Longrightarrow\) Nullstellen bei \(x_1=0\) und \(x_2=-2.\)

b)

Schritt 1: Stammfunktion prüfen

Wir müssen zeigen, dass \(F'(x) = f(x)\) ist.

\(F(x) = x^2\cdot e^x\)

Laut Produktregel ist:
\(\begin{align*}\\ \Longrightarrow F'(x)&=(x^2)'\cdot e^x+x^2\cdot(e^x)'\\ &=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x\\ &=e^x(2x+x^2)=f(x) \end{align*}\)

Schritt 2: Stammfunktion \(G\) bestimmen

Wir bestimmen \(G(x)\):
Die zwei Stammfunktionen \(F\) und \(G\) von \(f\) unterscheiden sich höchstens um eine Konstante \(C\), setze also als Erstes
\(G(x)=F(x)+C\) und bestimme dann \(C\) mittels der Bedingung \(G(1)=2e.\)

Einsetzen liefert \(G(1) = F(1)+C=2e\)
\(\begin{align*} &\Longrightarrow C=2e-F(1)=2e-e=e\\ &\Longrightarrow G(x)=F(x)+e\text{, also}\\ &G(x)= x^2 \cdot e^x+e \end{align*}\)

  • Punkte:  5

Aufgabe 3

a)

Schritt 1: Allgemeine Sinusfunktion anpassen

\(\alpha\)) Wähle eine um 1 nach oben verschobene Sinuskurve  \(g_{a,c}=\sin(x)+1\)
\(\Longrightarrow a=1,\;c=1.\)

\(\beta\)) Die Periodenlänge der Funktion  \(g_{a,0}=\sin(ax)\) ist zugleich der Abstand zwischen der ersten und dritten nicht negativen Nullstelle. Die Periodenlänge ist \(\frac{2\pi}{a}=\pi\Longrightarrow a=2.\)
Somit ist \(g_{a,c}=\sin(2x)\) mit \(a=2\) und \(c=0\) eine Lösung.

b)

Schritt 1: Wertemenge bestimmen

Laut Kettenregel ist:
\(\begin{align*} (g_{a,c}(x))'&=(\sin(ax)+c)'\\ &=\cos(ax)\cdot(ax)'+0\\ &=\cos(ax)\cdot a\\ &=a\cdot\cos(ax) \end{align*}\)

Da \(\cos(ax)\) das Intervall [–1;1] als Wertemenge hat, nimmt die Ableitung von \(g_{a,c}\) genau die Werte aus dem Intervall \([a;a]\) an.

  • Punkte:  5

Aufgabe 4

a)

Schritt 1: Verhalten der Stammfunktion zwischen \(a\) und \(b\) beschreiben

Die gesuchte Stammfunktion von \(f\) bezeichnen wir mit \(F\).

Die Steigung des Graphen von \(F\) ist durch den Graphen von \(f\) gegeben.
Im Intervall \([a;b]\) hat \(f\) eine Nullstelle \(x_0\) mit Vorzeichenwechsel.

Links von der Nullstelle \(x_0\) steigt der Graph von \(F\) streng monoton, da dort \(f\) positiv ist. Rechts von der Nullstelle \(x_0\) fällt der Graph von \(F\) streng monoton, da dort \(f\)negativ ist.
An der Stelle \(x_0\) hat der Graph von \(F\) demnach einen Hochpunkt \(H\).

b)

Schritt 1: Verhalten der Stammfunktion rechts von \(b\) beschreiben

An der Stelle \(x_1\) hat der Graph von \(f\) einen Tiefpunkt. Damit hat hier \(f'\) und damit auch \(F''\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Also hat der Graph von \(F\) an der Stelle \(x_1\) einen Wendepunkt \(W\)
Rechts von der Stelle \(x_2\) ist \(f(x)\) und damit die Steigung des Graphen von \(F\) (soweit man sehen kann) konstant. In diesem Bereich sieht also der Graph von \(F\) aus wie eine Gerade. Hier eine Skizze dazu:

Abi 2014 Analysis Teil A, AG 1 - Abbildung 2

Aus den obigen Daten ergibt sich folgendes Bild von \(F\):

Abi 2014 Analysis Teil A, AG 1 - Abbildung 3

Bemerkung

Eine Stammfunktion von \(f\) ist nur bis auf Verschiebung um eine Konstante eindeutig bestimmt. Dies bedeutet, dass der blaue Graph beliebig nach oben oder unten verschoben werden kann und dabei immer noch eine korrekte Lösung darstellt.

  • Punkte:  5
Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.
Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Musterlösungen findest du hier