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Abi 2014 Analysis, erweitertes Anforderungsniveau (1)


Aufgabe 1

a)

1.

Schritt 1: \(f'\left(t\right)\) und \(f''\left(t\right)\) berechnen

Gesucht ist das Maximum von \(f\) auf dem Intervall \(\left[0; 20\right]\). Eine hinreichende Bedingung für eine lokale Maximalstelle bei \(t=x\) ist \(f'\left(x\right)=0\) und \(f''\left(x\right) < 0\).

\(f\left(t\right)=\left(1020-40t\right) \cdot e^{0,1t};\quad t \in \mathbb{R}\\ \Longrightarrow f'\left(t\right)=-40 \cdot e^{0,1t} + \left(1020-40t\right) \cdot e^{0,1t} \cdot 0,1\\ \qquad \qquad \;=\left(62-4t\right) \cdot e^{0,1t}\\ \Longrightarrow f''\left(t\right)=-4 \cdot e^{0,1t} + \left(62-4t\right) \cdot e^{0,1t} \cdot 0,1\\\\ \qquad \qquad \;\;= \left(2,2-0,4t\right) \cdot e^{0,1t}\)

Schritt 2: \(f'\left(t\right) =0\) setzen und Gleichung lösen

\(\left(62-4t\right) \cdot e^{0,1t} =0 \Leftrightarrow 62 -4t = 0 \Leftrightarrow t =15,5\), da \(e^{0,1t}>0\) für alle \(t \in \mathbb{R}\).

Schritt 3: Nullstelle der 1. Ableitung auf Maximalität prüfen

\(f''\left(t\right) = \left(2,2-0,4t\right) \cdot e^{0,1t}\)

\(\Longrightarrow f''\left(15,5\right)=-4 \cdot e^{1,55t} <0 \Rightarrow\) Maximum bei \(t=15,5\).

Schritt 4: Funktionswert von \(f\) berechnen

\(f\left(t\right) = \left(1020-40t\right) \cdot e^{0,1t}\\ \Rightarrow f \left(15,5\right) \approx 1884,59\)

Schritt 5: Randwerte überprüfen

\(f\left(0\right)= 1020 < 1884,59\\ f\left(20\right) \approx 1626 <1884,59\)

Die maximale Förderrate beträgt etwa 1,88 Millionen Tonnen pro Jahr und wird Mitte des Jahres 2005 erreicht.

b)

1.

Schritt 1: Stammfunktion von \(f\) bestimmen

\(f\left(t\right)=\left(1020-40t\right) \cdot e^{0,1t}\)

Partielle Integration mit \(u\left(t\right)=\left(1020-40t\right)\) und \(v'\left(t\right)= e^{0,1t}\):

Eine Stammfunktion von \(v'\) ist \(v'\left(t\right)=\frac{1}{0,1}e^{0,1t}=10e^{0,1t}\) nach der Regel der linearen Substitution und die Regel der partiellen Integration lautet:

\(\int u \cdot v' = u \cdot v- \int u' \cdot v\), also:

\(\int \left(1020-40t\right) \cdot e^{0,1t} dt = \left(1020-40t\right) \cdot 10e^{0,1}- \int \left(-40\right) \cdot 10e^{0,1t}dt\\ = \left(10.200-400t\right) \cdot e^{0,1t}+400 \cdot \int v'\left(t\right)dt\\ = \left(10.200-400t\right) \cdot e^{0,1t}+400 \cdot v'\left(t\right)+c\\ = \left(10.200-400t\right) \cdot e^{0,1t}+400 0e^{0,1t}+c\\ = \left(14.200-400t\right)\cdot e^{0,1t}+c\)

Jede Stammfunktion von \(f\) ist somit von der Form \(F\left(t\right)= \left(14.200-400t\right)\cdot e^{0,1t}+c\).

Schritt 2: Integrationskonstante bestimmen

\(F\left(0\right)=0 \Rightarrow 14.200 \cdot e^0+c =0 \Leftrightarrow c=-14.200\\ \Rightarrow M\left(t\right)= \left(14.200-400t\right) \cdot e^{0,1t}-14.200\)

2.

Schritt 1: Fördermenge bilden

Die Fördermenge seit 1990 ist durch die Funktion \(M\) gegeben.

\( M\left(20\right)= \left(14.200-400 \cdot 20\right) \cdot e^2-14.200\\ \qquad \;\;\;\approx 31.612,148\)

Von Anfang 1990 bis Ende 2009 wurden insgesamt ca. 31,6 Millionen Tonnen Öl gefördert.

3.

Schritt 1: Fördermenge im Jahr 2007 berechnen

\(M\left(18\right)-M\left(17\right)\approx 28.147,53 - 26.307,21\\ \qquad\qquad\qquad\;\;\; =1840,32 = 1.840.320\;t\)

Im Jahr 2007 wurden gut 1,8 Millionen Tonnen Öl gefördert.

Schritt 2: Tonnen in Barrel umrechnen

\(1.840.320.000\;kg:137\;kg/Barrel \approx 13.432.992\; Barrel\)

Schritt 3: Einnahmen berechnen

\(13.432.992\; Barrel \cdot 56\;€/Barrel= 752.247.552 \;€\)

Der Ölverkauf im Jahr 2007 brachte gut 752 Millionen Euro ein.

c)

1.

Schritt 1: Begründung

Es gilt \(g\left(t\right) >40 \cdot e^2\) für alle \(t \in \mathbb{R}\), d. h., die Förderrate wäre langfristig oberhalb von etwa 296.000 t pro Jahr, was angesichts des begrenzten Ölvorrats unrealistisch ist.

2.

Schritt 1: Stammfunktion von \(g\) bestimmen

\(g\left(t\right) =180 \cdot e^{4-0,1t} +40 \cdot e^2\)

Lineare Substitution liefert \(\int 180 \cdot e^{4-0,1t} dt =\frac{1}{-0,1}180e^{4-0,1t}=-1800e^{4-0,1t}\), also ist \(G\left(t\right)=-1800e^{4-0,1t}+40e^2 \cdot t\) eine Stammfunktion von \(g\).

Schritt 2: Term für die Fördermenge eines Jahres aufstellen

\(\int_{T}^{T+1} g\left(t\right)dt=\left[-1800e^{4-0,1t}+40e^2 \cdot t\right]^{T+1}_{T}\\ =\left(-1800e^{3,9-0,1T}+40e^2T+40e^2\right)-1800e^{4-0,1T}+40e^2T\\ =-1800e^{3,9}\cdot e^{-0,1T}+1800e^{4} \cdot e^{-0,1T}+40e^2\\ =1800\left(e^{4}-e^{3,9}\right) \cdot e^{-0,1T}+40e^2\\ =1800\left(1-e^{-0,1}\right) \cdot e^{4-0,1T}+40e^2\)

Schritt 3: Ungleichung lösen

\(1800\left(e^4-e^{3,9}\right) \cdot e^{-0,1T}+40e^2\geq 600 \qquad\qquad\;\;\;\ \mid -40e^2;\;: 1800\\ \left(e^4-e^{3,9}\right) \cdot e^{-0,1T} \geq \frac{600-40e^2}{1800}=\frac{1}{3}-\frac{e^{2}}{45} \qquad\qquad \;\;\mid :\left(e^4-e^{3,9}\right)\\ e^{-0,1T}\geq \frac{1}{3:\left(e^4-e^{3,9}\right)}-\frac{e^2}{45:\left(e^4-e^{3,9}\right)}\qquad\qquad\qquad\quad\;\; \mid logarithmieren\\ -0,1T \geq ln \left(\frac{1}{3:\left(e^4-e^{3,9}\right)}-\frac{e^2}{45:\left(e^4-e^{3,9}\right)}\right) \qquad\qquad\;\;\;\;\;\; \mid \cdot \left(-10\right)\\ T \leq -10ln\left(\frac{1}{3:\left(e^4-e^{3,9}\right)}-\frac{e^2}{45:\left(e^4-e^{3,9}\right)}\right)\\ mit \; -10ln \left(\frac{1}{3:\left(e^4-e^{3,9}\right)}-\frac{e^2}{45:\left(e^4-e^{3,9}\right)}\right) \approx 34,25\)

\(\Rightarrow T=34\) ist der größtmögliche Wert in \(\mathbb{N}\), für den die Fördermenge zwischen \(t=T\) und \(t=T+1\) oberhalb von 600.000 Tonnen liegt.

Das Jahr 2024 wird daher das letzte Kalenderjahr sein, für das sich die Ölförderung lohnt.

d)

1.

Schritt 1: Begründung

Die Funktionen \(f\) und \(g\) sind beide an der Stelle \(t=20\) differenzierbar und haben dort laut Tabelle denselben Ableitungswert. Somit existieren für \(h\) an der Stelle \(t=20\) rechts- und linksseitige Grenzwerte für den Differenzenquotienten und diese stimmen überein. Also existiert dort der Differenzialquotient, d. h., \(h\) ist bei \(t=20\) differenzierbar.

Die Funktionen \(f'\) und \(g'\) sind beide an der Stelle \(t=20\) differenzierbar, haben aber dort laut Tabelle unterschiedliche Ableitungswerte. Somit existieren für \(h'\) rechts- und linksseitige Grenzwerte für den Differenzenquotienten, aber diese stimmen nicht überein. Also existiert dort kein Differenzialquotient, d. h., \(h'\) ist bei \(t=20\) nicht differenzierbar. Somit ist also \(h\) an dieser Stelle nicht zweimal differenzierbar.

2.

Schritt 1: Begründung

Anhand der Funktionsterme \(f''\left(t\right)=\left(2,2-0,4t\right) \cdot e^{0,1t}\) und \(g''\left(t\right)=1,8 \cdot e^{4-0,1t}\) ist zu erkennen, dass \(h''\) in einer linksseitigen Umgebung von \(t=20\) negativ und in einer rechtsseitigen Umgebung von \(t=20\) positiv ist. Somit ist \(h'\) unmittelbar links von \(t=20\) monoton fallend und unmittelbar rechts davon monoton steigend. Somit liegt bei \(t=20\) ein relatives Minimum von \(h'\) vor.

Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.
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