Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Abi 2014 Analysis, erweitertes Anforderungsniveau


Aufgabe 2

a)

1.

Schritt 1: Gesamtzuflussrate berechnen

Die Gesamtzuflussrate ist gegeben durch die Funktion \(h_a\), wobei

\(h_a\left(0\right) = 740\) und \(h_a\left(6a\right) = 108a^3 - 252a^3 + 144a^3 + 740 = 740\) ist.

Somit beträgt die Gesamtzuflussrate zu Beginn und am Ende der Beobachtungszeit jeweils \(740\ \frac{m^3}{h}\).

2.

Schritt 1: Zuflussrate aus Bach 2 berechnen

Die Zuflussrate aus Bach 2 ist das, was von der Gesamtzuflussrate übrig bleibt, wenn man den Beitrag von Bach 1 (also \(f_a\)) abzieht.

\(g_a\left(t\right) = h_a\left(t\right) - f_a\left(t\right) \\ \qquad = \frac{1}{2}t^3 - 7at^2 + 24a^2t+740 - \left(\frac{1}{4}t^3 - 3at^2 + 9a^2t + 340\right) \\ \qquad = \frac{1}{4}t^3 - 4at^2 + 15a^2t + 400\)

3.

Schritt 1: Differenzfunktion aufstellen

Der Unterschied der Zuflussraten aus Bach 1 und Bach 2 zum Zeitpunkt \(t\) ist:

\(g_a\left(t\right) - f_a\left(t\right) = \frac{1}{4}t^3 - 4at^2 + 15a^2t + 400 - \left(\frac{1}{4}t^3 - 3at^2 + 9a^2t + 340\right) \\ \qquad \qquad \ \ \ \ \ \ = -at^2 + 6a^2t + 60\)

Schritt 2: Nullstellen berechnen

Die Nullstellen liegen laut quadratischer Lösungsformel bei:

\(t = \frac{-6a^2\ \pm\ \sqrt{36a^4\ +\ 240a}}{-2a} = 3a \mp \sqrt{9a^2 + \frac{60}{a}}\)

Schritt 3: Intervall bestimmen, wo Differenz ist

Wegen \(a > 0\) ist der Graph der Differenzfunktion eine nach unten geöffnete Parabel, d. h., die Funktion ist nur zwischen den Nullstellen positiv, also im Intervall \(] 3a - \sqrt{9a^2 + \frac{60}{a}} \ ; 3a + \sqrt{9a^2 + \frac{60}{a}} [\). Wegen \(\frac{60}{a} > 0\) ist \(9a^2 + \frac{60}{a} > 9a^2\), also \(\sqrt{9a^2 + \frac{60}{a}} > \sqrt{9a^2} = 3a\). Daher ist die linke Intervallgrenze kleiner als \(0\) und die rechte Intervallgrenze größer als \(6a\). Während des gesamten Beobachtungszeitraums \([0;6a]\) ist also \(g_a\left(t\right) - f_a\left(t\right) > 0\) und somit \(g_a\left(t\right) > f_a\left(t\right)\). Die Zuflussrate aus Bach 2 ist daher in diesem Zeitfenster stets größer als die Zuflussrate aus Bach 1.

4.

Schritt 1: 1. und 2. Ableitung bestimmen

Eine hinreichende Bedingung für ein Maximum von \(h_a\) an der Stelle \(t\) ist \(h'_a\left(t\right) = 0\) und \(h''_a\left(t\right) < 0\).

\(h_a\left(t\right) = \frac{1}{2}t^3 - 7at^2 + 24a^2t + 740 \\ \Longrightarrow h'_a\left(t\right) = \frac{3}{2}t^2 - 14at + 24a^2 \\ \Longrightarrow h''_a\left(t\right) = 3t - 14a\)

Schritt 2: 1. Ableitung = 0 setzen und Gleichung lösen

\(\frac{3}{2}t^2 - 14at + 24a^2 = 0 \Longleftrightarrow t = \frac{14a\ \pm\ \sqrt{196a^2\ -\ 144a^2}}{3} = \frac{\left(14\ \pm\ \sqrt{52}\right)a}{3}\)

Schritt 3: Hinreichende Bedingung überprüfen

Es gilt

\(h''_a \left(\frac{\left(14\ -\ \sqrt{52}\right)a}{3}\right) = -\sqrt{52}a < 0 \) und

\(h''_a \left(\frac{\left(14\ +\ \sqrt{52}\right)a}{3}\right) = \sqrt{52}a > 0 \).

DIe Gesamtzuflussrate nimmt somit ihr Maximum zum Zeitpunkt \(t_m= \frac{\left(14\ \pm\ \sqrt{52}\right)a}{3} \approx 2,26a\) an.

  • Punkte:  21

b)

1.

Schritt 1 : 2. Ableitung = 0 setzen und Gleichung lösen

Eine hinreichende Bedingung für eine Wendestelle von \(h_a\) an der Stelle \(t\) ist \(h''_a\left(t\right) =0\) und \(h'''_a\left(t\right) \neq 0\).

\(h''_a\left(t\right) = 3t-14a \\ \Longrightarrow h'''_a\left(t\right) = 3 \neq 0 \\ \\ 3t - 14a = 0 \Longleftrightarrow t= \frac{14}{3}a\)

Somit liegt bei \(t_w=\frac{14}{3}a\) eine Wendestelle von \(h_a\) vor.

2.

Die stärkste Änderung der Gesamtzuflussrate entspricht dem Maximum des Betrags von \(h'_a\). Dieses kann entweder an der Wendestelle von \(h_a\) oder am Rand des Beobachtungsbereichs angenommen werden.

Schritt 1: Wert der 1. Ableitung am Wendepunkt bestimmen

\(h'_a\left(t\right) = \frac{3}{2}t^2 - 14at + 24a^2 \\ \Longrightarrow h'_a \left(t_w\right) = \frac{98}{3} a^2 - \frac{196}{3}a^2 +24a^2 = - \frac{26}{3}a^2 \Longrightarrow \mid h'_a\left(t_w\right)\mid = \frac{26}{3}a^2\)

Schritt 2: Steigung an den Rändern berechnen

\(h'_a\left(0\right) = 24a^2 \\ h'_a\left(6a\right) = 54a^2 - 84a^2 + 24a^2 = - 6a^2 \Longrightarrow \mid h'_a\left(6a\right) \mid = 6a^2\)

Der Betrag von \(h'_a\) ist somit bei \(t=0\) am größten. Die stärkste Änderung der Zuflussrate erfolgt also zu Beginn der Beobachtungszeit.

3.

Bedeutung der Wendestelle

Die Funktion \(h'_a\) nimmt bei \(t_w\) ihr Minimum an und ihr Wert ist dort negativ. Die Wendestelle \(t_w\) ist daher der Zeitpunkt, zu dem die Gesamtzuflussrate (gegeben durch \(h_a\)) am schnellsten abnimmt.

  • Punkte:  15

c)

1.

Schritt 1: Entscheidung treffen

\(h_4\left(t\right) = \frac{1}{2}t^3 - 28t^2 + 384t + 740\) hat als Stammfunktion \(H_4\left(t\right) = \frac{1}{8}t^4 -\frac{28}{3}t^3 + 192t^2 + 740t\).

Daher ist nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung:

\(\int_{0}^{24} h_4\left(t\right)dt = \left[\frac{1}{8}t^4 -\frac{28}{3}t^3 + 192t^2 + 740\right]_{0}^{24} = 40.800 > 20.000 \)

Das Staubecken wird daher überlaufen.

2.

Schritt 1: Bedeutung der Lösung im Sachzusammenhang

10,65 Stunden (das sind 10 Stunden und 39 Minuten) nach Beginn der Beobachtungszeit werden 20.000  Wasser in das Becken geflossen sein. Zum Zeitpunkt \(b\) beginnt das Staubecken überzulaufen.

3.

Schritt 1: Kapazität des Beckens zum Zeitpunkt \(t=10\) berechnen

\(20.000 - \int_0^{10} h_4 \left(t\right)dt = 20.000 - \mid \frac{1}{8}t^4 - \frac{28}{3}t^3 + 192t^2 + 740t \mid_0^{10} \approx 1483,3\)

Schritt 2: Zufluss bis zum Zeitpunkt \(t=14\) berechnen

Vom Zeitpunkt \(t=10\) an fließen \(\left(\frac{1}{2}t^3 - 28t^2 + 384t + 740\right) \frac{m^3}{h}\) zu und \(2000 \frac{m^3}{h}\) ab. Das heißt, die neue Funktion \(z_4\) für die Zuflussrate lautet: \(z_4\left(t\right) = \frac{1}{2}t^3 - 28t^2 + 384t - 1260\). Im Zeitraum \(10 \leq t \leq 14\) fließt also folgende Wassermenge in das Staubecken:

\(\int_{10}^{14} z_4 \left(t\right) = \left[\frac{1}{8}t^4 - \frac{28}{3}t^3 + 192t^2 - 1260t \right]_{10}^{14} \approx 666,7 \left[m^3\right]\)

Schritt 3: Konsequenz

Im Zeitraum \(10 \leq t \leq 14\) fließen bei geöffnetem Notablauf etwa 666,7 m³ zu, während das Becken zum Zeitpunkt \(t=10\) noch Platz für 1483,3 m³ hat. Für die Zeit \(t>14\) läuft mehr Wasser ab als zu. Das Staubecken wird somit im Beobachtungszeitraum nicht überlaufen.

  • Punkte:  14
Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.
Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Musterlösungen findest du hier