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Abi 2014 Analysis A3 WTR LK


Aufgabe 3

a)

1.

Schritt 1: Begründung

Es gilt für alle \(x \ \epsilon \ \mathbb{R}\):

\(f\left(-x\right) = 8\left(x\right) \cdot e^{-0,25\left(-x\right)^2} = -8x \cdot e^{-0,25^2} = -f\left(x\right)\)

Somit ist \(G_f\) punktsymmetrisch zum Ursprung.

2. 

Schritt 1: Ableitungen berechnen

Eine hinreichende Bedingung für ein relatives Maximum bzw. Minimum an der Stelle x lautet \(f'\left(x\right) = 0\) und \(f''\left(x\right) < 0\) bzw. \(f''\left(x\right) > 0\). Dabei ist nach der Produktregel:

\(f\left(x\right) \ \ = 8x \cdot e^{-0,25x^2} \\ f'\left(x\right) = 8 \cdot e^{-0,25x^2} + 8x \cdot e^{-0,25x^2} \cdot \left(-0,5x\right) \\ \qquad \ = \left( 8 - 4x^2\right)e^{-0,25x^2} \)

Somit ist:

\(f''\left(x\right) = -8x \cdot e^{-0,25x^2} + \left(8-4x^2\right) \cdot e^{-0,25x^2} \cdot \left(-0,5x\right) \\ \qquad \ \ = \left(-12x +2x^3\right) \cdot e^{-0,25x^2} \\ \qquad \ \ = 2x\left(x^2 -6\right) \cdot e^{-0,25x^2}\)

Schritt 2: Nullstellen von \(f\) und \(f'\) berechnen

\(f\left(x\right) = 0 \Longleftrightarrow 8x \cdot e^{-0,25x^2} = 0 \Longleftrightarrow x = 0\), da \(e^{-0,25x^2} > 0\) für alle \(x \ \epsilon \ \mathbb{R}\).

\(f'\left(x\right)= 0 \Longleftrightarrow \left(8-4x^2\right)e^{-0,25x^2} = 0 \Longleftrightarrow 8 - 4x^2 = 0 \Longleftrightarrow x = \pm \sqrt{2}\)

Schritt 3: Mittels 2. Ableitung überprüfen

\(f''\left(\sqrt{2}\right) = 2\sqrt{2} \cdot \left(-4\right) \cdot e^{-0,5} < 0 \Longrightarrow\) Hochpunkt von \(G_f\) bei \(x=\sqrt{2}\)

Aus der Symmetrie folgt, dass die Funktion bei \(x=-\sqrt{2}\) einen Tiefpunkt hat.

3.

Schritt 1: Bedingungen für Wendepunkte

Notwendige Bedingung dafür, dass \(x\) eine Wendestelle ist: \(f''\left(x\right) = 0\).

Krümmung: \(f''\left(x\right) < 0 \Longrightarrow f\) ist bei \(x\) rechtsgekrümmt.

                  \(f''\left(x\right) > 0 \Longrightarrow f\) ist bei \(x\) linksgekrümmt.

Schritt 2: 2. Ableitung = 0 setzen und Gleichung lösen

\(f''\left(x\right) = 2x\left(x^2-6\right) \cdot e^{-0,25x} = 0 \Longleftrightarrow 2x = 0\) oder \(x^2 - 6 = 0\), da  \(e^{-0,25x^2} > 0\) für alle \(x \ \epsilon \ \mathbb{R}\).

Es folgt \(f''\left(x\right) = 0 \Longleftrightarrow x = 0\) oder \(x = \pm \sqrt{6}\).

Schritt 3: Krümmungsverhalten von \(f\) bestimmen

 \(x\)  \(x < -\sqrt{6}\)  \(-\sqrt{6} < x < 0\)  \(0 < x < \sqrt{6}\)  \(x > \sqrt{6}\)
 \(f''\left(x\right)\)  -  +  -  +
 Krümmung  rechts  links  rechts  links

Die Funktion \(f\) hat also genau drei Wendestellen, nämlich bei \(x = - \sqrt{6}, \ x = 0 \) und \(x = \sqrt{6}\).

  • Punkte:  17

b)

Die Schnittpunkte von \(G_f\) und \(g_m\) ergeben sich durch Gleichsetzen der Funktionsterme. Neben \(\left(0\mid0\right)\) existiert im I. Quadranten genau dann ein weiterer Schnittpunkt, wenn es einen Schnittpunkt mit positiver \(x\)-Koordinate gibt.

1.

Schritt 1: Funktionsterme gleichsetzen

\(f\left(x\right) = g_m\left(x\right) \qquad \qquad \qquad Funktionsterme \ einsetzen \\ 8x \cdot e^{-0,25x^2} = mx \qquad \qquad \ \ x \ ausklammern \\ x \cdot \left(8e^{-0,25x^2}-m\right) = 0 \qquad \mid :x \ \left(erlaubt, \ da \ x > o\right) \\ 8e^{-0,25x^2} - m =0 \qquad \qquad \ \ \mid +\ m; \ :\ 8 \\ e^{-0,25x^2} = \frac{m}{8} \qquad \qquad \qquad \ \ \ logarithmieren \\ -0,25x^2 = ln \left(\frac{m}{8}\right) \qquad \quad \ \ \ \mid \cdot \left(-4\right) \\ x^2 = -4ln\left(\frac{m}{8}\right)\)

Diese Gleichung hat genau dann eine positive Lösung, wenn die rechte Seite positiv ist. Dazu muss \(ln\left(\frac{m}{8}\right) <0\), also \(\frac{m}{8} <1\) sein. Diese Bedingung ist gleichbedeutend mit \(m<8\). Für solche \(m\) gibt es also einen zweiten Schnittpunkt von \(G_f\) und \(g_m\) neben dem Ursprung, sonst nicht.

2.

Schritt 1: Gleichung für \(x>0\) lösen

Die Gleichung \(x^2=-4ln\left(\frac{m}{8}\right)\) hat für \(m \ \epsilon ]0;8[\) die positive Lösung \(x=\sqrt{-4ln\left(\frac{m}{8}\right)} = 2 \sqrt{ln\left(\frac{8}{m}\right)}\) wegen \(-ln \ x = ln \left(\frac{1}{x}\right)\).

Schritt 2: Funktionswert an der Schnittstelle berechnen

\(g_m \left(2 \sqrt{ln \left(\frac{8}{m}\right)}\right) = 2m \cdot \sqrt{ln \left(\frac{8}{m}\right)} \\ \Longrightarrow P \left(2 \sqrt{ln \left(\frac{8}{m}\right)} \mid 2m \cdot \sqrt{ln \left(\frac{8}{m}\right)}\right) \)

  • Punkte:  9

c)

1.

Schritt 1: Stammfunktion zeigen

Es ist nach der Kettenregel \(F' \left(x\right) = -16 \cdot e^{-0,25x^2} \cdot \left(-0,5x\right) = 8x \cdot e^{-0,25x^2} = f\left(x\right)\).

Also ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

2.

Schritt 1: Begründung, dass \(h\) und \(f\) eine Fläche einschließen

Die Gerade \(h\) stimmt mit der Geraden \(g_4\) aus Teilaufgabe b) (1.) überein und erfüllt die Bedingung \(m=4 <8\). Deswegen haben \(h\) und \(G_f\) im I. Quadranten genau zwei Schnittpunkte \(0\) und \(P\). Da die Funktionen \(h\) und \(f\) auch beide stetig sind, schließen ihre Graphen zwischen den beiden Nullstellen eine Fläche ein.

Schritt 2: Fläche berechnen

Nach Teilaufgabe b) (1.) liegen die beiden Schnittstellen von \(G_f\) und \(h = g_4\) bei \(x=0\) und \(x=2\sqrt{ln2}\). Somit ist die eingeschlossene Fläche gegeben durch:

\(A_{f,h} = \left \vert \int_{0}^{2\sqrt{ln2}} \left(f\left(x\right) - h\left(x\right)\right) dx \right \vert = \left \vert \int_{0}^{2\sqrt{ln2}} f\left(x\right)dx - \int_{0}^{2\sqrt{ln2}} h \left(x\right)dx \right \vert\)

Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, folgt aus dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung:

\( \int_{0}^{2\sqrt{ln2}} f\left(x\right)dx = \left[F\left(x\right)\right]_0^{2\sqrt{ln2}} = \left[-16 \cdot e^{-0,25x^2}\right]_0^{2\sqrt{ln2}} \\ \qquad \qquad \qquad =-8-\left(-16\right) = 8\)

Ferner ist:

\( \int_{0}^{2\sqrt{ln2}} h\left(x\right)dx = \int_{0}^{2\sqrt{ln2}} 4xdx = \left[2x^2\right]_0^{2\sqrt{ln2}} = 8 \ ln \ 2\)

Somit folgt:

\(A_{f,h} = \left \vert \int_{0}^{2\sqrt{ln2}} f\left(x\right)dx - \int_{0}^{2\sqrt{ln2}} h\left(x\right)dx \right \vert = 8-8 \ ln \ 2 \approx 2,34 \ [FE]\)

  • Punkte:  12

d)

1.

Schritt 1: Skizze

Unter Benutzung der Abbildung aus der Aufgabenstellung und der Ergebnisse von Teilaufgabe b) (1.) ergibt sich folgende Skizze:

Abi 2014 Analysis A3 WTR LK - Abbildung 1

Schritt 2: Flächeninhalt berechnen

Es wird \(0 < m < 8\) vorausgesetzt, sonst ist \(P\) nicht definiert. Das Dreieck \(OPQ\) ist bei \(Q\) rechtwinklig. Also gilt \(A_{OPQ} = \frac{1}{2} \cdot \overline{OQ} \cdot \overline{QP}\) mit \(\overline{OQ} = 2 \sqrt{ln \left(\frac{8}{m}\right)}\) und \(\overline {QP} = 2m \sqrt{ln \left(\frac{8}{m}\right)}\). Das heißt:

\(A_{OPQ} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{ln\left(\frac{8}{m}\right)} \cdot 2m \cdot \sqrt{ln \left(\frac{8}{m}\right)} = 2m \cdot ln \left(\frac{8}{m}\right) = A \left(m\right)\)

2.

Schritt 1: 1. und 2. Ableitung von \(A\) nach \(m\) bestimmen

Eine hinreichende Bedingung dafür, dass \(A\) bei \(m\) ein Maximum hat, lautet \(A'\left(m\right) = 0 \) und \(A''\left(m\right) <0\). Dabei ist:

\(A\left(m\right) = 2m \cdot ln \left(\frac{8}{m}\right) \\ \Longrightarrow A'\left(m\right) = 2ln \left(\frac{8}{m}\right) + 2m \cdot \frac{m}{8} \cdot \left(-\frac{8}{m^2}\right) \\ \qquad \qquad \quad = 2ln \left(\frac{8}{m}\right) -2 \\ \Longrightarrow A'' \left(m\right) = 2 \cdot \frac{m}{8} \cdot \left(-\frac{8}{m^2}\right) \\ \qquad \qquad \quad \ = -\frac{2}{m}\)

Schritt 2: 1. Ableitung = 0 setzen und Gleichung lösen

\(2ln \left(\frac{8}{m}\right) - 2 = 0 \Longleftrightarrow ln \left(\frac{8}{m}\right) = 1 \Longleftrightarrow \frac{8}{m} = e \Longleftrightarrow m = \frac{8}{e} \approx 2,94\)

Schritt 3: Maximalität mittels 2. Ableitung überprüfen

\(A''\left(\frac{8}{m}\right) = -\frac{e}{4} <0\)

Für \(m= \frac{8}{e}\) wird daher der Flächeninhalt \(A\left(m\right)\) maximal.

  • Punkte:  12
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