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Abi 2013 Stochastik I


Aufgabe 1

a)

Schritt 1: Situation modellieren

Es handelt sich näherungsweise um eine Bernoulli-Kette der Länge \(n=25\) mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p=0,37+0,06=0,43.\) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(k=10\) Erfolge eintreten.

Schritt 2: Bernoulli-Formel anwenden

\(P(X=10)=\pmatrix{25\\10}\cdot0,43^{10}\cdot0,57^{10}=0,1539\)

b)

Schritt 1: Situation modellieren

Es handelt sich näherungsweise um eine Bernoulli-Kette der Länge \(n=25\) mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p=0,35.\) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens \(k=13\) Erfolge eintreten. Sei also \(X\) eine zu den Parametern \(n=25\) und \(p=0,35\) binomialverteilte Zufallsvariable. Gesucht ist \(P(X\ge13).\)

Schritt 2: Kumulative Verteilungstabelle benutzen

Laut Verteilungstabelle ist \(P(X\le12)\approx0,93956.\) Also ist:

\(\begin{align*}P(X\ge13)&=1-P(X\le12)\\ &\approx1-0,93956\\ &=0,06044\\ &\approx6\;\%\end{align*}\)

c)

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit eines passenden Spenders ermitteln

Für einen Empfänger mit der Blutgruppe B und dem Rhesusfaktor Rh− kommen als Spender nur Personen mit der Blutgruppe 0 und dem Rhesusfaktor Rh− oder Personen mit der Blutgruppe B und dem Rhesusfaktor Rh− infrage.

Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Spender einen passenden Bluttyp aufweist, \(6\;\%+2\;\%=8\;\%.\)

Schritt 2: Mindestzahl der Spender ermitteln

Sei \(X_n\) eine zu den Parametern \(n\) und \(p=0,08\) binomialverteilte Zufallsvariable. Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl \(n\) mit der Eigenschaft, dass \(P(X_n\ge1)>0,95\) gilt.
Dabei ist \(P(X_n\ge1)=1-P(X_n=0)=1-(1-p)^n=1-0,92^n.\) Die zu lösende Gleichung lautet also:

\(\begin{alignat}{3}&1-0,92^n>0,95\qquad&|&-0,95+0,92^n\\ &0,05>0,92^n&\qquad&\text{logarithmieren}&\\ &\ln0,05>\ln(0,92^n)&\qquad&\text{Logarithmengesetze anwenden}\\ &\ln0,05>n\cdot\ln0,92 \qquad&|& \;:\ln0,9\\ &n>\frac{\ln0,05}{\ln0,92}\ \approx35,9\end{alignat}\)

Es müssen mindestens 36 Personen Blut spenden, damit mit mehr als 95%iger Sicherheit mindestens eine den passenden Bluttyp hat.

  • Punkte:  11

Aufgabe 2

a)

\(\overline{S\cup T}\) ist das Gegenereignis zu \(S\cup T,\) bei dem die Stoffwechselstörung vorliegt oder der Test positiv ausfällt (oder beides). Somit ist \(S\cup T\) das Ereignis, dass weder die Stoffwechselstörung vorliegt noch der Test positiv ausfällt, d. h., der Test liefert korrekterweise ein negatives Ergebnis.

b)

Schritt 1: Baumdiagramm

Die Angaben ergeben folgendes Baumdiagramm:

Abi 2013 Stochastik I - Abbildung 1

Mit der Pfadmultiplikationsregel ergeben sich die Einzelwahrscheinlichkeiten:
\(P(S\cap T)=0,00074\cdot0,995=0,0007363\\ P(S\cap \overline{T})=0,00074\cdot0,005=0,0000037\\ P(\overline{S}\cap T)=0,99926\cdot0,0078=0,007794228\\ P(\overline{S}\cap\overline{T})=0,99926\cdot0,9922=0,991465772\)

Schritt 2: Vierfeldertafel ausfüllen

Abi 2013 Stochastik I - Abbildung 2

Mit der Pfadadditionsregel ergibt sich somit \(P(T)=0,008530528\approx0,85\;\%.\)

Schritt 3: Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_T(S)\) berechnen

\(P_T(S)=\frac{P(S\;\cap\; T)}{P(T)}=\frac{0,0007363}{0,008530528}\approx0,086314\)

Schritt 4: Interpretation

Falls das Testergebnis positiv ist, leidet das Kind mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 8,6 % tatsächlich unter einer Stoffwechselstörung.

c)

Es ist \(P(S\cap \overline{T})=0,0000037=\frac{3,7}{1000000}\) (s. o.). Somit leiden im Mittel 3,7 pro Million getesteter Kinder an der Stoffwechselstörung, obwohl das Testergebnis negativ ist.

  • Punkte:  13

Aufgabe 3

a)

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit für dreimal Rot berechnen

Beim ersten Zug befinden sich 9 Kugeln in dem Behälter, darunter 3 rote. Die Wahrscheinlichkeit für Rot im ersten Zug ist daher \(\frac39.\)
Wurde beim ersten Zug Rot gezogen, so gibt es beim zweiten Zug noch 2 rote von insgesamt 8 Kugeln. Wird wieder eine rote Kugel gezogen, so bleiben noch 7 Kugeln, von denen eine rot ist.
Die Wahrscheinlichkeit für 3 rote Kugeln ist demnach \(P(rrr)=\frac39\cdot\frac28\cdot\frac17=\frac13\cdot\frac14\cdot\frac17=\frac{1}{84}.\)

Schritt 2: Gewinnwahrscheinlichkeit berechnen

Da anfangs von jeder Farbe gleich viele Kugeln im Behälter sind, gilt \(P(bbb)=P(ggg)=P(rrr).\) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist demnach:
\(P(Gewinn)=P(bbb)+P(ggg)+P(rrr)=3\cdot P(rrr)=3\cdot\frac{1}{84}=\frac{1}{28}\)

b)

Schritt 1: Wahrscheinlichkeitsfunktion bestimmen

Die Variable \(a\) stehe für den Auszahlungsbetrag (in €) und die Zufallsgröße \(X\) gebe an, wie viel die Kinderstation bei einem Spieldurchgang einnimmt (ebenfalls in €). \(X\) kann nur die Werte 2 (falls der Spieler nicht gewinnt) und \(2-a\) (falls der Spieler gewinnt) annehmen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) ergibt sich aus Teilaufgabe a).

Abi 2013 Stochastik I - Abbildung 3

Schritt 2: Gleichung für den Erwartungswert aufstellen

Es soll langfristig eine Einnahme von 1,25 € pro Spiel erzielt werden, d. h., der Erwartungswert von \(X\) soll 1,25 betragen. Dabei ist:

\(\begin{align*} E(X)&=2\cdot P(X=2)+(2-a)\cdot P(X=2-a)\\ &=2\cdot\frac{27}{28}+(2-a)\cdot\frac{1}{28}\\ &=\frac{54+2-a}{28}\\ &=\frac{56-a}{28} \end{align*}\)

Die Variable \(a\) muss also die Bedingung \(\frac{56\ -\ a}{28}=1,25=\frac54\) erfüllen.

Schritt 3: Gleichung lösen

\(\begin{align*}&\frac{56-a}{28}=\frac54\\ \Leftrightarrow&56-a=\frac{5\;\cdot\;28}{4}=5\cdot7=35\\ \Leftrightarrow &a=56-35=21\end{align*}\)

Wenn im Falle eines Gewinns 21 € ausbezahlt werden, dann kann man langfristig pro Spiel mit einer Einnahme von 1,25 € rechnen.

  • Punkte:  4
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