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Abi 2013 Stochastik Aufgabe 8, LK


a) (1)

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit für „keine Angabe“ ermitteln

Nach der Laplace-Formel ist:

\(\text{P}\text{(keine Angabe)}= \frac {\text{Anzahl der Personen, die keine Angabe machten}}{\text{Gesamtzahl der Befragten}}\)

Die Zahl der befragten Personen, die keine Angabe gemacht haben, ist die Summe der in der Zeile „keine Angabe“ aufgelisteten Ergebnisse, also \(12+14+8+4+24=62\). Insgesamt wurden 1005 Personen befragt. Somit ist:

\(\text P(\text{keine Angabe})=\frac{62}{1005}\approx6{,}17\,\%\)

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person aus den 1005 Umfrageteilnehmern keine Angabe gemacht hat, beträgt etwa \(6,2 \,\%\).

a) (2)

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit für 3 Personen, mindestens 50 Jahre alt zu sein und mit „Ja“ geantwortet zu haben

Für die erste Person:

\(\text P(\geq50;~J)=\) Wahrscheinlichkeit, mindestens 50 Jahre alt zu sein und mit „Ja“ gestimmt zu haben

\(\text P_1(\geq50;~J)=\frac{129+232}{1005}=\frac{361}{1005}\approx 0{,}3592=35{,}92\,\%\)

Für die zweite Person hat sich die Gesamtzahl der Personen sowie die Anzahl derer, die die Bedingungen erfüllen, um je eins verringert (da die erste Person nicht noch einmal befragt wird):

\(\text P_2(\geq50;~J)=\frac{360}{1004}\approx0{,}3586=35{,}86\,\%\)

Für die dritte Person haben sich beide Größen wiederum um eins verringert:

\(\text P_3(\geq50; ~J)=\frac{359}{1003}\approx0{,}3579=35{,}79\,\%\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass 3 zufällig ausgewählte Personen mindestens 50 Jahre alt sind und mit „Ja“ gestimmt haben, ist:

\(\text P_1(\geq50;~J)\cdot\text P_2(\geq50;~J)\cdot\text P_3(\geq50; ~J) =\frac{361}{1005}\cdot\frac{360}{1004}\frac{359}{1003}=0{,}0461\approx 4{,}6\,\%\)

Bemerkung

Da es nur um 3 von 1005 Personen geht, kann näherungsweise von „Ziehen mit Zurücklegen“ ausgegangen werden. Es ergibt sich damit die Wahrscheinlichkeit \( \left(\text P_1(\geq50;~J)\right)^3\approx0{,}0463\), was auf drei Nachkommastellen gerundet mit dem vorigen Ergebnis übereinstimmt.

a) (3)

Schritt 1: Anteil Nicht-Schüler mit Angabe „Ja“ ermitteln

Die Aufgabenstellung ist zweideutig, je nachdem ob der Nebensatz die Grundgesamtheit einschränkt oder sich nur auf den zu ermittelnden Anteil bezieht.

1. Interpretation:

„Bestimmen Sie unter den 14- bis 29-Jährigen, die mit ‚Ja‘ geantwortet haben, den Anteil der Nicht-Schüler.“

2. Interpretation:

„Bestimmen Sie unter allen 14- bis 29-Jährigen den Anteil der Nicht-Schüler, die mit ‚Ja‘ geantwortet haben.“

\(\frac{2}{3}\) der 57 Schüler haben mit „Ja“ gestimmt, das sind 38 Schüler. Insgesamt haben 166 Personen der Altersklasse „14 bis 29 Jahre“ mit „Ja“ gestimmt, darunter waren demnach \(166-38=128\) Nicht-Schüler.

1. Interpretation:

Die Grundgesamtheit ist hier die Menge aller 14- bis 29-Jährigen, die mit „Ja“ gestimmt haben, also laut Tabelle 166 Personen. Hier ist der zu berechnende Anteil:

\(\frac{128}{166}=77{,}1\,\%\)

2. Interpretation:

Hier ist die Grundgesamtheit die Menge aller befragten 14- bis 29-Jährigen, also laut Tabelle 211 Personen. In diesem Fall ist der zu berechnende Anteil:

\(\frac{128}{211}\approx60{,}7\,\%\)

b) (1)

Altersgruppe 14–29:

Gesamtzahl der Personen: 211

Schüler

Anzahl der Schüler: \(x\)

Anteil der Ja-Stimmen unter den Schülern: \( \frac{2}{3}\)

Anteil der Ja-Stimmen unter den Schülern mal Anzahl Schüler: \(\frac{2}{3}\cdot x\)

Nicht-Schüler

Anzahl der Nicht-Schüler: \(211-x\)

Anteil der Ja-Stimmen unter den Nicht-Schülern: \(r\)

Anteil Ja-Stimmen unter den Nicht-Schülern mal Anzahl Nicht-Schüler:

\(r\cdot(211-x)\)

Gleichung aufstellen

Gesamtzahl Ja-Stimmen: 166

= Anzahl Ja-Stimmen unter den Schülern plus Anzahl Ja-Stimmen unter den Nicht-Schülern

\(\Rightarrow \frac{2}{3}\cdot x+r\cdot(211-x)=166\)

b) (2)

Schritt 1: Anzahl der Schüler ermitteln

\(\begin{align} &\frac{2}{3}\cdot x+r(211-x)&=&166\\ \Leftrightarrow&\frac{2}{3}\cdot x+211\cdot r-r\cdot x&=&166\\ \Leftrightarrow& x\left(\frac{2}{3}-r\right)&=&166-211r\\ \Leftrightarrow& x&=&\frac{166-211r}{frac{2}{3}-r}\approx\frac{166-211 \cdot0{,}831}{\frac{2}{3}-0{,}831}\approx56{,}84\\ \end{align} \)

Lösung

Die Anzahl Schüler unter den 14- bis 29-Jährigen beträgt etwa 57, in Übereinstimmung mit der Aufgabenstellung a)(3).

c) (1)

Schritt 1: Bedingte Wahrscheinlichkeit für Herkunft Westdeutschland ermitteln

Bezeichnungen:

J = der Befragte stimmt mit „Ja“
\(\overline J\) = der Befragte stimmt nicht mit „Ja“
W = der Befragte stammt aus Westdeutschland
O = der Befragte stammt aus Ostdeutschland

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses W unter der Bedingung J, also:

\(\text P_J(W)=\frac{\text P(W\cap J)}{\text P(J)}\)

Dabei ist:

\(\begin{align} \text P(W\cap J)=&\frac{\text{Anzahl der Westdeutschen, die mit „Ja“ gestimmt haben}}{\text{Gesamtzahl der Teilnehmer}}\\ =&\frac{643}{1005} \end{align} \)

und:

\(\begin{align} \text P( J)=&\frac{\text{Anzahl der Befragten, die mit „Ja“ gestimmt haben}}{\text{Gesamtzahl der Teilnehmer}}\\ =&\frac{792}{1005}, \end{align}\)

also:

\(\text P_J(W)=\frac{\frac{643}{1005}}{\frac{792}{1005}}=\frac{643}{792} \approx81{,}2\,\%\)

c) (2)

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit für zwei Ja-Stimmen aus demselben Landesteil ermitteln

Aus den 792 Personen, die mit „Ja“ gestimmt haben, wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Bei der ersten Ziehung wird mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{643}{792}\) ein Westdeutscher und mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{149}{792}\) ein Ostdeutscher gewählt. Bei der zweiten Ziehung stehen nur noch 791 Personen zur Auswahl, davon entweder 643 oder 642 aus Westdeutschland, je nach Herkunft des ersten Befragten, bzw. 149 oder 148 aus Ostdeutschland.

Baumdiagramm:

Abi 2013 Stochastik Aufgabe 8, LK - Abbildung 1

Die rot gekennzeichneten Pfade „W-W“ und „O-O“ sind diejenigen, die zum Ereignis „Die zweite Person stammt aus demselben Teil Deutschlands wie die erste“ beitragen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ist nach der 2. Pfadregel:

\(\begin{align} \text P(\text{„W-W“})+\text P(\text{„O-O"})&=\text P(W)\cdot\text P_W(W) +\text P(O)\cdot \text P_O(O)\\ &=\frac{643}{792}\cdot\frac{642}{791}+\frac{149} {792}\cdot\frac{148}{791}\\ &\approx0{,}659+0{,}035=0{,}694 \end{align} \)

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass beide zufällig ausgewählten Personen aus derselben Region stammen, wenn beide mit „Ja“ gestimmt haben, beträgt etwa \(69,4 \text{ }\%\).

d) (1)

Schritt 1: Binomialverteilung begründen

Voraussetzungen für eine Binomialverteilung:

  • Die n befragten Personen antworten unabhängig voneinander.
  • Es werden jeweils nur 2 Antworten unterschieden: „Nein“ und „nicht Nein“ (d. h., die Antwortmöglichkeiten „Ja“ und „keine Angabe“ werden zusammengefasst).
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilnehmer mit „Nein“ antwortet, bleibt bei allen n Befragungen gleich.

Unter diesen drei Bedingungen würde es sich um n unabhängige Durchführungen desselben Bernoulli-Experiments handeln, damit wäre die Anzahl der Treffer binomialverteilt.

Im vorliegenden Fall wird die Antwort „Nein“ als Treffer angesehen. Die ersten zwei Bedingungen können ohne Weiteres als erfüllt angenommen werden.

Die dritte Bedingung ist streng genommen nicht erfüllt, da dieselbe Person nicht mehrfach befragt wird, d. h., das passende Modell wäre „Ziehen ohne Zurücklegen“ (mit Beachtung der Reihenfolge), während die Binomialverteilung von „Ziehen mit Zurücklegen“ ausgeht. Sofern aber n sehr viel kleiner ist als die Anzahl der befragten 50- bis 59-Jährigen, ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit p nur geringfügig: 
\(p=\frac{\#\text N}{\#\text G}\),

wobei \(\text{#N}\) die Anzahl der noch zur Auswahl stehenden (also noch nicht befragten) 50- bis 59-Jährigen ist, die mit „Nein“ stimmen, und \(\text{#G}\) die Gesamtzahl der noch nicht befragten 50- bis 59-Jährigen. Es ist bei n Befragungen:

\(0\leq\#\text N\leq19\) und \(152-n\leq152\)

Somit gilt z. B. für \(n\leq19\):  

\(0\leq\frac{19-n}{152}\leq p \leq\frac{19}{152-n}\leq\frac{1}{7}\)

Anfangs ist laut Tabelle \(\#\text N=19\) und \(\#\text G=152\), also:

\(p=\frac{\#\text N}{\#\text G}=\frac{19}{152}=\frac{1}{8}\)

Für kleine n ist also die Binomialverteilung eine gute Näherung für die Verteilung von X.

d) (2)

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit für \(X=\mu\) berechnen

Gemäß Teilaufgabe (1) nehmen wir näherungsweise an, dass X binomialverteilt ist mit den Parametern:

\(n=40 \) und \(p=\frac{1}{8}\)

Demzufolge ist der Erwartungswert:

\(\mu=n\cdot p =40\cdot\frac{1}{8}=5\)

Gesucht ist also

\(\text P(X=5)={40\choose5}\cdot\left(\frac{1}{8}\right)^5\cdot \left(\frac{7}{8}\right)^{35}\approx0{,}188\)

laut Bernoulli-Formel.

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 40 zufällig ausgewählten Personen \(\mu=5\) Personen mit „Nein“ antworten, beträgt etwa \(18,8 \text{ }\%\).

Bemerkung

In Wirklichkeit ist X hypergeometrisch verteilt zu den Parametern \(n=40,~M=19\) und \(N=152\), wobei auch hier der Erwartungswert \(\mu=5\) ist. Es ist:

\(\text P(X=5)=\frac{{M\choose5}\cdot{N-M\choose n-5}}{N\choose n}= \frac{{19\choose5}\cdot{133\choose35}}{152\choose40}\approx0{,}218\)

d) (3)

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit für 10 Angaben berechnen

Es wurden \(211+150+191=552\) Personen zwischen 14 und 49 Jahren befragt. Davon haben \(12+14+8=34\) keine Angabe gemacht, d. h., \(552-34=518\) Personen haben mit „Ja“ oder „Nein“ gestimmt.

Der Pfad, dessen Wahrscheinlichkeit zu bestimmen ist, zeichnet sich dadurch aus, dass bei jeder Befragung mit „Ja“ oder „Nein“ gestimmt wird.

Bei der ersten Befragung wird also mit Wahrscheinlichkeit \(p_1=\frac{518} {552}\) eine Angabe gemacht. Mit jeder Befragung wird die Zahl der noch zur Auswahl stehenden Teilnehmer, die eine Angabe machen (Zähler der Wahrscheinlichkeit), um eins kleiner, ebenso die Gesamtzahl der noch zur Auswahl stehenden Teilnehmer (Nenner der Wahrscheinlichkeit).

Nach der Ersten Pfadregel ist also:

\(\begin{align} \text P(10-\text{mal Angabe})=&\frac{518}{552}\cdot\frac{517}{551}\cdot \frac{516}{550}\cdot\frac{515}{549}\cdot\frac{514}{548}\cdot\frac{513} {547}\cdot\frac{512}{546}\cdot\frac{511}{545}\cdot\frac{510}{544}\cdot \frac{509}{543}\\ \approx&0{,}527. \end{align} \)

Lösung

Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa \(52,7 \text{ }\% \) stimmen die ersten 10 Befragten mit „Ja“ oder „Nein“.

Bemerkung

Auch bei d) (3) kann man näherungsweise mit dem Modell „Ziehen mit Zurücklegen“ arbeiten. Man erhält dann:

\(\text P(10-\text{mal Angabe})\approx \left(\frac{518}{552}\right)^2 \approx0{,}5295\)

e) (1)

Schritt 1: Bedeutung des Konfidenzintervalls erläutern

Angenommen, es werden n Männer für die Stichprobe zufällig ausgewählt (wobei auch mehrfache Befragung derselben Person zugelassen wird), von denen \(k^* \) das Verbot von Genmais befürworten. Dann ist \(k^*\) ein möglicher Wert einer binomialverteilten Zufallsvariablen mit Parametern n und \(p_\text M\).

Der nächstliegende Schätzwert für \(p_\text M\) angesichts der Stichprobe ist der Anteil \(p^*_\text M\) der Befürworter in der Stichprobe, aber trotzdem ist es sehr unwahrscheinlich, dass \(p_\text M=p^*_\text M\) ist. Deswegen versucht man, anhand der Stichprobe statt eines einzigen Schätzwertes einen Bereich anzugeben, in dem sich \(p_\text M\) sehr wahrscheinlich befindet.

Ist dieser Bereich ein Intervall, das nach einer festen Regel nur in Abhängigkeit vom zufälligen Wert \(k^* \) aus der Stichprobe ermittelt wird, so handelt es sich um ein Konfidenzintervall. Ist die Regel so geartet, dass sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90 \text{ }\%\) ein Intervall liefert, das den wahren Wert \(p_\text M\) enthält, so ist das nach dieser Regel zu einem vorgegebenen Stichprobenergebnis \(k^*\) bestimmte Intervall ein \(90 \,\%\)-Konfidenzintervall für \(p_\text M\).

Lösung

In diesem Sinne kann man sagen, dass der zu schätzende Anteil der Genmaisgegner unter den Männern mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90\,\%\) in \(\text K_\text M\) liegt.

e) (2)

Schritt 1: \(90\,\%\)-Konfidenzintervall \(p_\text F \) bestimmen

Das \(90\,\%\)-Konfidenzintervall \(\text K_\text F\) für \(p_\text F\) besteht aus allen p, für die der \(90\,\%\)-Annahmebereich der Binomialverteilung zu den Parametern \(n=518\) und p die beobachtete Zahl 426 aus der Stichprobe enthält. Dabei ist der \(90\,\%\)-Annahmebereich ein um den Erwartungswert \(\mu_p=n\cdot p\) zentriertes Intervall \(\text I_p=[ \mu_p –m_p;\mu_p+m_p]\) mit der Eigenschaft, dass eine Zufallsvariable \(Z\sim B(n;p)\) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90\,\%\) Werte in \(\text I_p\) annimmt.

Laut den in Tabelle 1 angegebenen \(\sigma\)-Regeln (die wegen erfüllter Laplace-Bedingung angewendet werden dürfen) ist der \(90 \,\%\)-Annahmebereich der Binomialverteilung mit Parametern n und p näherungsweise das Intervall

\([n\cdot p-1{,}64\cdot\sigma;n\cdot p +1{,}64\sigma]\),

wobei \(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\) die Standardabweichung der Binomialverteilung zu den Parametern n und p ist.

Die Untergrenze \(p_1\) und die Obergrenze \( p_2\) von \(\text K_\text F\) können also näherungsweise über die Gleichung

\(n\cdot p \pm1{,}64\cdot\sigma=426\)

berechnet werden.

Durch Einsetzen von \(n=518\) und \(\sigma=\sqrt{518\cdot p \cdot(1-p)} \) ergibt sich:

\(\begin{array} 518\cdot p\pm1{,}64\cdot\sqrt{518\cdot p\cdot(1-p)}&=&426\\ \pm1{,}64\cdot\sqrt{518\cdot p \cdot(1-p)}&=&426-518\cdot p\\ 1{,}64^2\cdot518\cdot p \cdot(1-p)&=&(426-518\cdot p)^2\\ 1.393{,}2128\cdot(p-p^2)&=&429^2-2\cdot426\cdot518\cdot p+518^1p^2\\ 1.393{,}2128\cdot(p-p^2)&=&181.476-441.336p+268.324p^2\\ (268.324+139{,}2128)p^2-(441.336+1.393{,}2128)p+181.476&=&0\\ 269.717{,}2128p^2-442.729{,}2128p+181.476&=&0 \end{array} \)

Mithilfe der quadratischen Lösungsformel erhält man:

\(\begin{align} p_1=&\frac{442.729{,}2128-\sqrt{442.729{,}2128^2-4\cdot269.717,2128 \cdot181.476}}{2\cdot269.717{,}2128}\\ \approx&0{,}7932 \end{align} \)

und:

\(\begin{align} p_2=&\frac{442.729{,}2128+\sqrt{442.729{,}2128^2-4\cdot269.717,2128 \cdot181.476}}{2\cdot269.717{,}2128}\\ \approx&0{,}8482 \end{align} \)

Lösung

Somit ist \(\text K_\text F=[0{,}7932;0{,}8482] \) näherungsweise ein \(90\,\%\)-Konfidenzintervall für \(p_\text F\).

e) (3)

Schritt 1: Interpretation der Überschneidungsfreiheit der Konfidenzintervalle

Angesichts der Ergebnisse der Umfrage ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl \(p_\text M\in\text K_\text M\) als auch \(p_\text F\in \text K_\text F \) liegt, mindestens \(0{,}9\cdot0{,}9=0{,}81\). Die Wahrscheinlichkeit, dass der Anteil der Befürworter des Verbots unter den Frauen höher ist als unter den Männern, beträgt also mindestens \(81\,\%\).

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