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Abi 2013 Pflichtteil


Aufgabe 1 

Schritt 1: Struktur der Funktion beschreiben

Der Funktionsterm von \(f\) ist das Produkt einer ganzrationalen Funktion \(u(x)= 2x^{2}+5x\) und einer Verkettung \(v(x)= e^{-2x}=g(h(x))\) mit \(g(x)= e^{x}\) und \(h(x)= -2x\).

Schritt 2: Rechenregeln anwenden

Da die Teilfunktionen \(u\) und \(v\) miteinander multipliziert werden, wird die Produktregel benötigt.  

Produktregel: \(f(x) = u(x)\cdot v(x) \Rightarrow f'(x) = u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)\)

Dabei kann \(u'(x)\) mit der Potenzregel (unter Benutzung der Linearität des Integrals) bestimmt werden.

Potenzregel: \(u(x)=x^n\Rightarrow u' (x)=n⋅x^{(n-1)}\) mit  \(n = 1\) bzw. \(n = 2\)

\(\Rightarrow u' (x)=2\cdot 2\cdot x^{2-1}+5\cdot1\cdot x^{1-1}=4x+5\)

Die Funktion \(v\) ist eine Verkettung, sodass die Kettenregel gebraucht wird. 

Kettenregel: \(v(x)=g(h(x))\Rightarrow v'(x)=g'(h(x))⋅h'(x)\) mit \(g(x)= e^{x}\) und \(h(x)= -2x\)

\(\Rightarrow v'(x)=e^{2x}\cdot (-2)=-2e^{-2x}\).

Einsetzen von \(u'(x)\) und \(v'(x)\) in die Formel liefert:

\(\begin{align*}f'(x)=&(4x+5)\cdot e^{-2x}+(2x^{2}+5x)\cdot (-2e^{-2x})\\=&e^{2x}(4x+5-2(2x^{2}+5x))\\=&e^{2x}(-4x^{2}-6x+5) \end{align*}\)

  • Punkte:  2

Aufgabe 2

Schritt 1: Verschachtelungstyp erkennen

Die gesuchte Stammfunktion ergibt sich aus dem unbestimmten Integral \(\int_{}^{} {4}sin(2x)dx.\) Der Integrand \(4sin(2x)\) ist bis auf den konstanten Faktor 4 eine Verkettung aus der Sinusfunktion und der linearen Funktion \(x \mapsto 2x.\)

Schritt 2: Integrationsregeln anwenden

Eine Stammfunktion von \(x\mapsto sin x\) ist gegeben durch \(x\mapsto -cosx\). Nach der Regel der linearen Substitution ist dann durch \(x\mapsto \frac{1}{2}\cdot (-cos(2x))= -\frac{1}{2}(cos2x)\) eine Stammfunktion der Verkettung \(x\mapsto sin(2x)\) gegeben. Mithilfe der Faktorregel kann noch der Faktor 4 berücksichtigt werden: Er bleibt bei der Integration erhalten. Daher ist \(G(x)=4\cdot (-\frac{1}{2}cos(2x))=-2cos(2x)\) eine Stammfunktion von \(f\).

Schritt 3: Integrationskonstante berechnen 

Je zwei Stammfunktionen von \(f\) unterscheiden sich um eine Konstante, d. h., es gibt ein \(C\in\mathbb R\) mit \(F(x)=G(x)+C\ \forall\ x\in\mathbb R\). Aus der Bedingung \(F(\pi)=7\) folgt somit \(G(\pi)+C = 7\), wobei \(G(\pi) = - 2cos(2\pi)=-2cos(0)=-2\), da die Kosinusfunktion \(2\pi\) periodisch ist und \(cos(0)=1\) erfüllt. Also ist \(-2+C=7\), d. h. \(C=9\). Damit ist \(F(x)=-2cos(2x)+9\).

  • Punkte:  2

Aufgabe 3

Schritt 1: Gleichungstyp erkennen

Die Variable taucht nur als Argument der Exponentialfunktion auf, d. h., es handelt sich um eine Exponentialgleichung.

Schritt 2: Durch Substitution quadratische Gleichung bilden

Die  erste Vereinfachung erfolgt durch Multiplikation beider Seiten mit \(e^{x}\). Wegen \(e^x \neq 0\ \forall\ x\in \mathbb R\) ändert das nichts an der Lösungsmenge. Es ergibt sich: 

\(2(e^{x})^{2}-4=0\)

Durch die Substitution \(u=e^x\) wird die Exponentialgleichung 

\(2(e^{x})^{2}-4=0\)

zur quadratischen Gleichung:

\(2u^{2}-4=0\)

Schritt 3: Quadratische Gleichung lösen

\(2u^{2}-4=0\quad\quad\mid+4\\ 2u^2=4\quad\quad\quad\quad\mid :2\\ u^{2}=2\)

Somit ergeben sich die zwei Lösungen:

\(u=-\sqrt{2} \) und \(u=\sqrt{2}\)

Schritt 4: Rücksubstitution

Um die ursprüngliche Exponentialgleichung zu lösen, wird die Substitution \(u=e^{x}\) wieder rückgängig gemacht. Durch Einsetzen der beiden Lösungen für u (also \(u=-\sqrt{2} \) und \(u=\sqrt{2}\)) in diese Substitutionsgleichung ergeben sich die Lösungen für \(x\).

\(-\sqrt{2}=e^{x}\) hat keine reelle Lösung, da \(e^{x}>0\ \forall\ x\inℝ\).

\(\sqrt{2}=e^{x}\) hat die reelle Lösung \(x=ln(\sqrt{2})= \frac{1}{2}ln(2)\).

Dies ist also die einzige reelle Lösung der vorgegebenen Exponentialgleichung.

  • Punkte:  2

Aufgabe 4

Schritt 1: Schnittstellen bestimmen 

Die Begrenzung der Fläche nach links und rechts ergibt sich aus den Schnittstellen der beiden Funktionen \(f\) und \(g\).

\(f(x)=g(x)\quad\quad\quad\quad\quad\quad Funktionsterme\;einsetzen\\ -x^{2}+3=2x\quad\quad\mid -2x\\ -x^{2}-2x+3=0 \quad\quad\quad quadratische\;Lösungsformel\\ x=\frac{2\ \pm\ \sqrt{(-2)^2\ -\ 4\ \cdot\ (-1)\cdot 3}}{-2}\quad vereinfache\\ x=-1\ \pm\ \frac{\sqrt{16}}{2}=-1\ \pm 2\)

Die Lösungen sind also \(x=-3\) und \(x=1\).

Schritt 2: Skizze anfertigen

Der Graph von \(f\) ist eine nach unten geöffnete Parabel und \(G_{g}\) ist eine Gerade, die \(G_{f}\) bei \(x= −3\) und bei \(x= 1\) schneidet. Also sieht die Konstellation wie folgt aus: 

Abi 2013 Pflichtteil - Abbildung 1

Die gesuchte Fläche ist schraffiert. Aus der Skizze geht hervor, dass \(G_{f}\) zwischen den Schnittstellen oberhalb von \(G_{g}\)verläuft.

Schritt 3: Integral aufstellen

Die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) ist gegeben durch das Integral \(A=\int_{-3}^{1} (f(x)-g(x))dx\). Der Integrand ist die Differenz aus der oberen und der unteren Funktion aus der Skizze, also:

\(f(x)-g(x)=-x^{2}+3-2x\)

Schritt 4: Stammfunktion bestimmen und Fläche berechnen 

Aufgrund der Linearität des Integrals kann eine Stammfunktion des Integranden gliedweise bestimmt werden, gemäß der Regel \(\int_{}^{} x^{n}dx\frac{x^{n\ +\ 1}}{n\ +\ 1}+C\).

Damit erhält man für \(-x^{2}-2x+3\) die Stammfunktion \(F(x)=-\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}+3x\).

Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist:

\(\int_{-3}^{1} (f(x)-g(x))dx=\begin{bmatrix}F(x) \end{bmatrix}_{-3}^{1}\\ \quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad = \begin{bmatrix}-\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}+3x \end{bmatrix}_{-3}^{1} \\ \quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad = \frac{5}{3}- (-9) \\ \quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad = \frac{32}{3} \begin{bmatrix}FE \end{bmatrix}_{}^{}\\\)

Die Fläche zwischen den beiden Graphen beträgt also \(10\frac{2}{3}\) Flächeneinheiten.

  • Punkte:  4

Aufgabe 5

Schritt 1: 1. Bedingung betrachten 

Der Funktionswert an der Stelle 2 ist 1, d. h., der Punkt \(P\)(2|1) liegt auf dem Graphen von \(f\).

Schritt 2: 2. Bedingung betrachten

Der Wert der Ableitung von \(f\) an der Stelle 2 ist 0, d. h., im Punkt \(P\)(2|1) hat \(G_{f}\) eine waagerechte Tangente.

Schritt 3: 3. Bedingung betrachten

Der Wert der 2. Ableitung an der Stelle 4 ist 0. Der Wert der 3. Ableitung ist dort von 0 verschieden. Deshalb liegt an der Stelle 4 eine Wendestelle vor. 

Schritt 4: 4. Bedingung betrachten

Die Funktion \(f\) hat die waagerechte Asymptote \(y\) = 5, an die sich \(G_{f}\) für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte anschmiegt. 

Schritt 5: Skizze anfertigen

Abi 2013 Pflichtteil - Abbildung 2

  • Punkte:  5

Aufgabe 6

Schritt 1: Geradengleichung aufstellen 

Stützvektor: \(\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}1\\-1\\ 3\end{array}\right)\)

Richtungsvektor: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}2\\-3\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\-1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\-2\\ -3\end{array}\right)\)

\(\Rightarrow g: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\-1\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\-2\\ -3\end{array}\right);\quad r ∈ ℝ \)

Schritt 2: Ebenengleichung aufstellen

Da die Gerade \(g\) orthogonal zur Ebene \(E\) verläuft, kann der Richtungsvektor von \(g\) als Normalenvektor von \(E\) dienen. Mit dem Ortsvektor des Punktes \(C\) auf \(E\) ergibt sich die Normalenform: 

\(E: \begin{bmatrix}\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\3\\ -8\end{array}\right) \end{bmatrix}_{}^{}\circ \left(\begin{array}{c}1\\-2\\ -3\end{array}\right)=0\)

Ausmultiplizieren des Skalarproduktes liefert die Ebenengleichung in Koordinatenform:

\(E: x_{1}-2x_{2}-3x_{3}=22\)

Schritt 3: Schnittpunkt \(S\) berechnen

Einsetzen der Koordinaten der Geradengleichung in die Ebenengleichung liefert:

 \((1+r)-2(-1-2r)-3(3-3r)=22\\ \Leftrightarrow -6+14r=22\\ \Leftrightarrow 14r=28\\ \Leftrightarrow r=2 \)

Einsetzen dieses Parameters in die Geradengleichung liefert die Koordinaten des Schnittpunkts \(S\)(3|−5|−3). 

Schritt 4: Lage von \(S\) bezüglich A und B bestimmen

Die Punkte A und B erhält man durch Einsetzen der Parameterwerte \(r\) = 0 und \(r\) = 1 in die Geradengleichung. Die Geradenpunkte zwischen A und B entsprechen den Parameterwerten zwischen 0 und 1, aber \(S\) entspricht dem Parameter \(r=2\notin[0,1]\), also liegt \(S\) nicht zwischen A und B. 

Abi 2013 Pflichtteil - Abbildung 3

  • Punkte:  4

Aufgabe 7

Schritt 1: Parallelität nachweisen

Aus der Koordinatengleichung von \(E_{1}\) liest man unmittelbar den Normalenvektor \(\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\-2\\ 1\end{array}\right)\) ab. Es gilt

\(\left(\begin{array}{c}2\\-2\\ 1\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}1\\1\\ 0\end{array}\right)=2-2+0=0\) und \(\left(\begin{array}{c}2\\-2\\ 1\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}1\\3\\ 4\end{array}\right)=2-6+4=0\),

also steht der Normalenvektor von \(E_{1}\) senkrecht auf beide Spannvektoren von \(E_{2}\). Somit ist auch \(\overrightarrow{n}\) ein Normalenvektor von \(E_{2}\), d. h., \(E_{1}\) und \(E_{2}\) sind parallel.

Schritt 2: Ebenengleichung für \(E_{3}\) angeben

Da \(E_{3}\) parallel zu \(E_{1}\) ist, kann \(\overrightarrow{n}\) als Normalenvektor von \(E_{3}\) herangezogen werden. Um eine Gleichung in Normalenform zu bekommen, werden noch die Koordinaten eines Punktes \(M\) auf \(E_{3}\) benötigt. Damit \(E_{3}\) von \(E_{1}\) und \(E_{2}\) denselben Abstand hat, muss \(E_{3}\) mittig zwischen \(E_{1}\) und \(E_{2}\) liegen. Somit wird die gesuchte Ebene von jeder Verbindungsstrecke \(AB\) zwischen einem Punkt \(A\) auf \(E_{1}\) und einem Punkt \(B\) auf \(E_{2}\) geschnitten, und zwar ist der Schnittpunkt immer der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke. Wir wählen also \(A\in E_{1}\) und \(B\in E_{2}\) beliebig, z. B. \(A_{}(0\mid0\mid1)\) als einfachste Lösung der Koordinatengleichung von \(E_{1}\) und \(B_{}(7\mid7\mid5)\) als Aufpunkt der Parametergleichung von \(E_{2}\). Der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke \(AB\) ist dann gegeben durch den Ortsvektor:

\(\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})= \frac{1}{2}(\left(\begin{array}{c}0\\0\\ -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}7\\7\\ 5\end{array}\right))=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}7\\7\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3,5\\3,5\\ 2\end{array}\right)\)

Dieser Punkt auf \(E_{3}\) liefert zusammen mit dem Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) die Normalenform:

\(E_{3}: \begin{bmatrix}\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}3,5\\3,5\\ 2\end{array}\right) \end{bmatrix}_{}^{}\circ \left(\begin{array}{c}2\\-2\\ 1\end{array}\right)=0\)

Abi 2013 Pflichtteil - Abbildung 4

  • Punkte:  4

Aufgabe 8

Aufgabe 8a)

Schritt 1: \(P(A)\) berechnen

Es wird davon ausgegangen, dass alle 9 Spielkarten unterscheidbar sind und dass Peter die beiden Karten nacheinander aufdeckt. 

Bemerkung 

Geht man davon aus, dass Peter die 2 Karten gleichzeitig aufdeckt, so hat man zwar eine andere Ereignismenge (nur noch 36 statt 72 Elementarereignisse), aber die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A und B sind die gleichen.

Das Ereignis A tritt ein, wenn zuerst eine der 5 Karten (von insgesamt 9) aufgedeckt wird, die keine Asse sind, und anschließend eine der verbleibenden 4 (von insgesamt 8 noch verdeckten Karten), die keine Asse sind. Daher ist \(P(A)=\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{8}=\frac{5}{18}\).

Schritt 2: \(P(B)\) berechnen

Das Ereignis B tritt ein, wenn entweder zuerst eines der 4 Asse (von insgesamt 9 Karten) und dann eine der 2 Damen (von insgesamt 8 noch verdeckten Karten) aufgedeckt wird oder zuerst eine der 2 Damen und dann eines der 4 Asse. Da sich diese beiden Fälle gegenseitig ausschließen, ist \(P(B)=\frac{2}{9}\cdot\frac{4}{8}+\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{8}=\frac{2}{9}\).

Aufgabe 8b)

Schritt 1: Wertebereich von x bestimmen

Das 1. Ass erscheint frühestens als 1. Karte \((\Rightarrow X=1)\) und spätestens als 6. Karte \((\Rightarrow X=6)\), denn wenn die 5 anderen Karten einmal aufgedeckt sind, bleiben nur noch die 4 Asse übrig, von denen eines als 6. Karte aufgedeckt werden muss. Die Zufallsvariable \(X\) kann also die ganzzahligen Werte von 1 bis 6 annehmen. 

Schritt 2: Wahrscheinlichkeit \(P(x\leq2)\) bestimmen

\(P(x\leq2)=P(x=1)+P(x=2)\) mit \(P(x=1)= \frac{4}{9}\) (Wahrscheinlichkeit, dass als Erstes eines der 4 Asse von insgesamt 9 Karten aufgedeckt wird) und

\(P(x=2)= \frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8} =\frac{5}{18}\) (Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine der 5 von insgesamt 9 Karten aufgedeckt wird, die keine Asse sind, und anschließend eines der 4 Asse von insgesamt noch 8 verbleibenden Karten) 

Somit ist \(P(x\leq2)=\frac{4}{9}+\frac{5}{18}=\frac{13}{18}\).

  • Punkte:  4

Aufgabe 9

Schritt 1: Vorüberlegung

Jede Wendestelle ist eine Nullstelle der 2. Ableitung. Die Anzahl der Wendepunkte ist somit durch die Anzahl der Nullstellen der 2. Ableitung beschränkt. 

Schritt 2: Formulierung der Antwort

Die 2. Ableitung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist eine ganzrationale Funktion 2. Grades, also eine quadratische Funktion mit höchstens 2 Nullstellen. Daher kann die ursprüngliche Funktion höchstens 2 Wendestellen besitzen, d. h., der Graph kann unmöglich 3 Wendepunkte haben.

  • Punkte:  3
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