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Abi 2013 Lineare Algebra / Analytische Geometrie A4 WTR GK


Aufgabe 4

a)

1.

Schritt 1: Seitenlängen berechnen

Die Seitenlängen sind die Abstände der Eckpunkte voneinander.

\(d\left(A,C\right) = \mid\overline{AC}\mid = \mid\overline{OC} - \overline{OA} \mid \\ \qquad \quad \ = \left \vert \left(\begin{array}{c}31\\ 12\\ 14\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}30\\ 10\\ 16\end{array}\right) \right \vert = \left \vert \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right) \right \vert \\ \qquad \quad \ = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3\)

\(d\left(B,C\right) = \mid\overline{BC}\mid = \mid\overline{OC} - \overline{OB} \mid \\ \qquad \quad \ = \left \vert \left(\begin{array}{c}31\\ 12\\ 14\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}32\\ 11\\ 18\end{array}\right) \right \vert = \left \vert \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -4\end{array}\right) \right \vert \\ \qquad \quad \ = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)

\(d\left(A,B\right) = \mid\overline{AB}\mid = \mid\overline{OB} - \overline{OA} \mid \\ \qquad \quad \ = \left \vert \left(\begin{array}{c}32\\ 11\\ 18\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}30\\ 10\\ 16\end{array}\right) \right \vert = \left \vert \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right) \right \vert \\ \qquad \quad \ = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3\)

Die Seitenlängen des Dreiecks betragen

\(\overline{AC} = 3 \ dm\)\(\overline{BC} = 3\sqrt{2} \ dm\) und \(\overline{AB} = 3 \ dm\).

2.

Schritt 1: Position des rechten Winkels und Flächeninhalt bestimmen

Der rechte Winkel liegt gegenüber der längsten Seite, also gegenüber \(BC\). Somit handelt es sich um \(\sphericalangle BAC\) an der Ecke \(A\).

Der Flächeninhalt eines Dreiecks wird berechnet mit \(A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\), mit \(g\) = Grundseite und \(h\) = Höhe des Dreiecks.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck kann man eine der Katheten als Grundseite, die andere als Höhe wählen, z. B.:

\(g = \overline{AC}; \ h=\overline{AB}\)

Damit folgt:

\(A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{AB} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4,5\)

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 4,5 dm2.

  • Punkte:  12

b)

1.

Schritt 1: Vorüberlegungen notieren

Die Eckpunkte des Schattens \(A', \ B'\) und \(C'\) liegen auf den Verlängerungen der Geraden, die sich zwischen der Lichtquelle \(L\) und den Eckpunkten \(A, \ B\) und \(C\) des Pappdreiecks erstrecken.

Da der Schatten auf der Leinwand liegt und die Leinwand in der \(x_2 x_3\)-Ebene, sind die Eckpunkte \(A', \ B'\) und \(C'\) des Schattendreiecks die Schnittpunkte der drei genannten Geraden mit der \(x_2 x_3\)-Ebene.

Zunächst müssen die Gleichungen der Geraden, auf denen die Lichtquelle und je ein Eckpunkt des Pappdreiecks liegen, ermittelt werden.

Schritt 2: Geradengleichung aufstellen

Für die Gerade durch \(L\) und \(A\) wählen wir den Aufpunkt \(L\) und den Richtungsvektor \(\overrightarrow{LA}\). Somit ergibt sich die Gleichung:

\(g_{L,A}: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OL} + r \cdot \overrightarrow{LA} = \overrightarrow{OL} + r \cdot \left(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OL}\right) \\ \qquad \quad \ \ = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 18\end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c}30-40\\ 10-10\\ 16-18\end{array}\right) \\ \qquad \quad \ \ = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 18\end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ -2\end{array}\right)\)

Für die Gerade durch \(L\) und \(B\) wählen wir den Aufpunkt \(L\) und den Richtungsvektor \(\overrightarrow{LB}\). Somit ergibt sich die Gleichung:

\(g_{L,B}: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OL} + r \cdot \overrightarrow{LB} = \overrightarrow{OL} + r \cdot \left(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OL}\right) \\ \qquad \quad \ \ = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 18\end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c}32-40\\ 11-10\\ 18-18\end{array}\right) \\ \qquad \quad \ \ = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 18\end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ 0\end{array}\right)\)

Für die Gerade durch \(L\) und \(C\) wählen wir den Aufpunkt \(L\) und den Richtungsvektor \(\overrightarrow{LC}\). Somit ergibt sich die Gleichung:

\(g_{L,C}: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OL} + r \cdot \overrightarrow{LC} = \overrightarrow{OL} + r \cdot \left(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OL}\right) \\ \qquad \quad \ \ = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 18\end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c}31-40\\ 12-10\\ 14-18\end{array}\right) \\ \qquad \quad \ \ = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 18\end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 2\\ -4\end{array}\right)\)

Schritt 3: Koordinaten der Eckpunkte berechnen

Die Eckpunkte des Schattens sind die Schnittpunkte der Geraden \(g_{L,A}, \ g_{L,B}\) und \(g_{L,C}\) mit der \(x_2 x_3\)-Ebene. Letztere hat die Gleichung \(x_1=0\). Von jeder Geraden muss also die erste Komponente gleich 0 gesetzt werden.

1) \(g_{L,A}: \ 40-10r = 0 \Leftrightarrow r=4\)

Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

\(\overrightarrow{OA'} = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 18\end{array}\right) + 4 \cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\-2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\ 10\\10\end{array}\right) \Rightarrow A'\left(0\mid 10 \mid 10\right)\)

2) \(g_{L,B}: \ 40-8r = 0 \Leftrightarrow r=5\)

Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

\(\overrightarrow{OB'} = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 18\end{array}\right) + 5 \cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\ 15\\18\end{array}\right) \Rightarrow B'\left(0\mid 15 \mid 18\right)\)

3) \(g_{L,C}: \ 40-9r = 0 \Leftrightarrow r=\frac{40}{9}\)

Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

\(\overrightarrow{OC'} = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 18\end{array}\right) + \frac{40}{9} \cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 2\\-4\end{array}\right) = \frac{2}{9} \left(\begin{array}{c}180-180\\ 45+40\\81-80\end{array}\right) = \frac{2}{9} \cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 85\\1\end{array}\right) \Rightarrow C'\left(0\mid \frac{170}{9} \mid \frac{2}{9}\right)\)

Die Eckpunkte des Schattendreiecks haben also die Koordinaten

\(A'\left(0\mid 10 \mid 10\right)\), \(B'\left(0\mid 15 \mid 18\right)\) und \(C'\left(0\mid \frac{170}{9} \mid \frac{2}{9}\right)\).

  • Punkte:  12

c)

1.

Schritt 1: Orthogonalität prüfen

Zu zeigen ist, dass die Dreieckseiten \(\overrightarrow{A'C'}\) und \(\overrightarrow{B'A'}\) keinen rechten Winkel bilden, d. h. \(\overrightarrow{A'C'} \cdot \overrightarrow{B'A'} \neq 0\). Dabei ist:

\(\overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{OC'} - \overrightarrow{OA'} = \left(\begin{array}{c}0\\ \frac{170}{9}\\\frac{2}{9}\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}0\\ 10\\10\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0-0\\ \frac{170}{9}-10\\\frac{2}{9}-10\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\ \frac{80}{9}\\-\frac{88}{9}\end{array}\right) \) und

\(\overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{OA'} - \overrightarrow{OB'} = \left(\begin{array}{c}0\\ 10\\10\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}0\\ 15\\18\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0-0\\ 10-15\\10-18\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\ -5\\-8\end{array}\right)\)

Nun ist:

\(\overrightarrow{A'C'} \cdot \overrightarrow{B'A'} = \left(\begin{array}{c}0\\ \frac{80}{9}\\-\frac{88}{9}\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -5\\-8\end{array}\right) \\ \qquad \qquad \quad \ \ = 0 \cdot 0 + \frac{80}{9} \cdot \left(-5\right)+\left(-\frac{88}{9}\right) \cdot \left(-8\right) \\ \qquad \qquad \quad \ \ = 0-\frac{400}{9} + \frac{704}{9} \neq 0\).

Damit stehen die beiden Dreieckseiten \(\overrightarrow{A'C'}\) und \(\overrightarrow{B'A'}\) nicht senkrecht aufeinander.

Das Schattendreieck hat in \(A'\) keinen rechten Winkel.

  • Punkte:  5

d)

1.

Schritt 1: Pyramidenvolumen ermitteln

Das Volumen einer Pyramide wird wie folgt berechnet:

\(V=\frac{1}{3} \cdot A_p \cdot h_p\), mit \(A_p\) = Grundfläche und \(h_p\) = Höhe der Pyramide

Der Flächeninhalt der Grundfläche \(A'B'C'\) ist mit 60 dm2 gegeben. Die Höhe der Pyramide ist der senkrechte Abstand zwischen der Grundfläche und der Pyramidenspitze \(L\).

Schritt 2: Bestimmung der Höhe der Pyramide

Die Grundfläche der Pyramide liegt in der \(x_2 x_3\)-Ebene. Die Höhe der Pyramide ist somit die \(x_1\)-Koordinate der Spitze \(L\), also 40 dm.

Pyramidenvolumen

Das Volumen der Pyramide ist damit:

\(V=\frac{1}{3} \cdot A_p \cdot h_p = \frac{1}{3} \cdot 60 \ dm^2 \cdot 40 \ dm = 800 \ dm^3\)

2.

Gleichungen für \(E_{ABC}, \ \overrightarrow{n}\), und \(l\)

Schritt 1: Ebenengleichung für \(E_{ABC}\)

Allgemein lautet die Parameterform einer Ebene:

\(E: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + r \cdot \overrightarrow{u} + s \cdot \overrightarrow{v};\quad \ r \in \mathbb{R}, \ s \in \mathbb{R},\)

wobei \(\overrightarrow{a}\) ein Stützvektor und \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) Spannvektoren der Ebene sind.

Wir setzen \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{OA} = \left(\begin{array}{c}30\\ 10\\16\end{array}\right)\).

Als Spannvektoren eignen sich die beiden Dreieckseiten, die am Eckpunkt \(A\) anliegen, also \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\), wie sie in Teilaufgabe a) (1.) berechnet wurden.

\(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} = \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\2\end{array}\right)\) und \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC} = \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\-2\end{array}\right)\)

Die Ebenengleichung lautet somit:

\(E_{ABC} : \overrightarrow{x} = \left(\begin{array}{c}30\\ 10\\16\end{array}\right) +r \cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\2\end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\-2\end{array}\right)\)

Schritt 2: Normalenvektor bestimmen

Der Vektor \(\overrightarrow{n} = \left(\begin{array}{c}n_1\\n_2 \\n_3\end{array}\right)\) soll senkrecht auf \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) stehen, d. h., es muss \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{v} = 0\) gelten.

Dabei ist:

\(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u} = \left(\begin{array}{c}n_1\\ n_2\\n_3\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\2\end{array}\right) = n_1 \cdot 2 + n_2 \cdot 1 + n_3 \cdot 2\)

und:

\(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{v} = \left(\begin{array}{c}n_1\\ n_2\\n_3\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\-2\end{array}\right) = n_1 \cdot 1 + n_2 \cdot 2 + n_3 \cdot \left(-2\right)\)

Das führt auf ein Gleichungssystem von 2 Gleichungen für 3 Unbekannte.

\(I: \ \ \ \ n_1 +2n_2 -2n_3 =0 \\ II: 2n_1 +\ \ n_2 + 2n_3 =0\)

Eine der Koordinaten des Normalenvektors kann daher frei gewählt werden (nur nicht gleich 0), bspw. \(n_1 =1\).

Damit wird das Gleichungssystem zu:

\(I': 1+ 2n_2 - 2n_3 = 0 \Rightarrow \left(*\right) \ n_2 = n_3-\frac{1}{2} \\ II': 2 + n_2 + 2n_3 =0\)

\(\left(*\right) \) in \(II'\) eingesetzt liefert:

\(2+n_3 - \frac{1}{2} + 2n_3 = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2} + 3n_3 = 0 \Leftrightarrow \left(**\right) \ n_3 = -\frac{1}{2}\)

\(\left(**\right) \) in \(\left(*\right) \) eingesetzt liefert:
 
\(n_2 =-\frac{1}{2} -\frac{1}{2} =-1\)

Somit ist \(\overrightarrow{n} = \left(\begin{array}{c}n_1\\n_2 \\n_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\-1 \\-\frac{1}{2}\end{array}\right)\). Um mit möglichst wenigen Vorzeichen und Brüchen weiterrechnen zu können, empfiehlt sich der einfachere Normalenvektor \(-2 \cdot \overrightarrow{n} = \left(\begin{array}{c}-2\\2 \\1\end{array}\right)\). Fortan soll dieser mit \(\overrightarrow{n}\) bezeichnet werden.

Schritt 3: Gerade \(l\) bestimmen

Als Aufpunkt wählen wir \(L\) und als Richtungsvektor \(\overrightarrow{n}\). Damit ist gewährleistet, dass die Gerade durch den Punkt \(L\) verläuft und senkrecht auf \(E_{ABC}\) steht.

Parametergleichung:

\(l: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OL} + t \cdot \overrightarrow{n} =\left(\begin{array}{c}40\\ 10\\18\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\1\end{array}\right);\quad \ t \in \mathbb{R}\)

3.

Schnittpunkt \(F\) und Abstand von \(L\) zu \(F\) bestimmen

Schritt 1: Schnittpunkt \(F\) finden

Die Gleichungen der Geraden \(l\) und der Ebene \(E_{ABC}\) wurden oben bereits in Parameterform ermittelt.

\(E_{ABC}: \overrightarrow{x} = \left(\begin{array}{c}30\\ 10\\16\end{array}\right) + r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\2\end{array}\right) + s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\-2\end{array}\right) \)

und

\(l: \overrightarrow{x} = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\18\end{array}\right) + t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\1\end{array}\right)\)

Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt ein Gleichungssystem für die Parameter \(r,\ s\) und \(t\).

\(\left(\begin{array}{c}40\\ 10\\18\end{array}\right) + t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\1\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}30\\ 10\\16\end{array}\right) + r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\2\end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\-2\end{array}\right) \)

\(I: 40 - 2t = 30 + 2r + s \Leftrightarrow 2r + s + 2t = 10 \\ II: 10 + 2t = 10 + r + 2s \Leftrightarrow r + 2s - 2t =0 \\ III: 18 +t = 16 + 2r - 2s \Leftrightarrow 2r-2s-t=2\)

In Matrixschreibweise lautet die zugehörige Gleichung:

\(\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}1\\ 2\\-2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}2\\ -2\\-1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}r\\ s\\t \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}10\\ 0\\2 \end{array}\right)\)

Bestimmung der inversen Matrix mittels Gauß-Algorithmus:

\(\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}1\\ 2\\-2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}2\\-2\\-1 \end{array} \left| \begin{array}{c}1\\ 0\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 1\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 0\\1 \end{array}\right)\right.\)

\(\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 2\\-2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}4\\-2\\-1 \end{array} \left| \begin{array}{c}1\\ 0\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 1\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 0\\1 \end{array}\right)\right.\)

\(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 3\\-2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}4\\-6\\-1 \end{array} \left| \begin{array}{c}1\\ -1\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 2\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 0\\1 \end{array}\right)\right.\)

\(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 3\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}4\\-6\\-9 \end{array} \left| \begin{array}{c}1\\ -1\\-2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 2\\2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 0\\1 \end{array}\right)\right.\)

\(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 3\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}4\\-6\\-1 \end{array} \left| \begin{array}{c}1\\ -1\\\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 2\\-\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 0\\-\frac{1}{9} \end{array}\right)\right.\)

\(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 3\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}4\\0\\1 \end{array} \left| \begin{array}{c}1\\ \frac{1}{3}\\\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ \frac{2}{3}\\-\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ -\frac{2}{3}\\-\frac{1}{9} \end{array}\right)\right.\)

\(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 1\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}4\\0\\1 \end{array} \left| \begin{array}{c}1\\ \frac{1}{9}\\\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ \frac{2}{9}\\-\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ -\frac{2}{9}\\-\frac{1}{9} \end{array}\right)\right.\)

\(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 1\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}4\\0\\1 \end{array} \left| \begin{array}{c}\frac{10}{9}\\ \frac{1}{9}\\\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}-\frac{7}{9}\\ \frac{2}{9}\\-\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}-\frac{2}{9}\\ -\frac{2}{9}\\-\frac{1}{9} \end{array}\right)\right.\)

\(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 1\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\0\\1 \end{array} \left| \begin{array}{c}\frac{2}{9}\\ \frac{1}{9}\\\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}\frac{1}{9}\\ \frac{2}{9}\\-\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}\frac{2}{9}\\ -\frac{2}{9}\\-\frac{1}{9} \end{array}\right)\right.\)

Damit ist die Lösung des linearen Gleichungssystems:

\(\left(\begin{array}{c}r\\ s \\t\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\frac{2}{9}\\ \frac{1}{9} \\\frac{2}{9}\end{array}\ \ \begin{array}{c}\frac{1}{9}\\ \frac{2}{9} \\-\frac{2}{9}\end{array} \ \ \begin{array}{c}\frac{2}{9}\\ -\frac{2}{9} \\-\frac{1}{9}\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 0 \\2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\frac{8}{3}\\ -\frac{1}{3} \\2\end{array}\right)\)

Einsetzen von \(t=2\) in die Geradengleichung von \(l\) liefert den Ortsvektor von \(F\), nämlich:

\(\overrightarrow{OF} = \left(\begin{array}{c}40\\ 10 \\18\end{array}\right) + 2 \cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2 \\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}36\\ 14 \\20\end{array}\right) \Rightarrow F\left(36 \mid 14 \mid 20\right)\)

Schritt 2: Abstand von \(L\) zu \(F\) berechnen

Der gesuchte Abstand ist:

\(d\left(L,F\right) = \mid \overrightarrow{LF}\mid = \mid \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OL} \mid \\ \qquad \quad \ = \left \vert \left(\begin{array}{c}36\\ 14 \\20\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}40\\ 10 \\18\end{array}\right) \right \vert = \left \vert\left(\begin{array}{c}-4\\ 4 \\2\end{array}\right) \ \right \vert \\ \qquad \quad \ = \sqrt{\left(-4\right)^2 + 4^2 +2^2} = \sqrt{36} \\ \qquad \quad \ = 6\)

Der Abstand zwischen \(L\) und \(F\) beträgt 6 dm.

4.

Schritt 1: Volumen des Schattenraums bestimmen

\(V_1\) sei das Volumen der großen Pyramide mit Grundfläche \(A'B'C'\) und Spitze \(L\). Nach Teilaufgabe d) (1.) ist \(V_1 = 800 \ dm^3\).

Sei \(V_2\) das Volumen der kleinen Pyramide mit Grundfläche \(ABC\) und Spitze \(L\). Die Grundfläche dieser Pyramide ist nach Teilaufgabe a) (2.) 4,5 dm². Ihre Höhe ist der Abstand der Spitze \(L\) zur Grundfläche. Die kürzeste Verbindung von \(L\) zur Grundfläche ist entlang der Lotgeraden \(l\), die im Punkt \(F\) die Grundfläche schneidet. Also ist die Höhe \(h_2\) der Pyramide \(ABCL\) gegeben durch:

\(h_2 =d\left(L,E_{ABC}\right) = d\left(L,E\right) = 6 \ [dm]\)

Somit ist:

\(V_2 =\frac{1}{3} \cdot A_{ABC} \cdot h_2 = \frac{1}{3} \cdot 4,5 \ dm^2 \cdot 6 \ dm = 9 \ dm^3\)

Das Volumen des Schattenraums ist die Differenz der Volumina der beiden Pyramiden, also:

\(V= V_1 - V_2 = 800 \ dm^3 - 9 \ dm^3 = 791 \ dm ^3\)

  • Punkte:  21
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