Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Abi 2013 Gesamtklausur II


Teil 1

Aufgabe 1

Schritt 1: Definitionsmenge

Das Argument der Logarithmusfunktion muss positiv sein. Es muss also gelten: 
\(2013-x>0\\ \Longleftrightarrow x<2013\)

Schritt 2: Grenzwerte

\(\lim_{x\rightarrow-\infty}\ln(2013-x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\ln(x)=\infty\\ \lim_{x\nearrow2013}\ln(2013-x)=\lim_{x\searrow0}\ln x=-\infty\)

Schritt 3: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Schnittpunkt mit der x-Achse:
\(\ln(2013-x)=0\Longleftrightarrow2013-x=e^0\Longleftrightarrow x=2013-e^0=2012\)

Schnittpunkt mit der y-Achse:
\(y=\ln2013\approx7,6\)

  • Punkte:  5

Aufgabe 2

Schritt 1: 1. und 2. Ableitung berechnen

\(\begin{align*}f(x)&=x\cdot\sin x\\ \Rightarrow f '(x)&=\sin x +x\cdot\cos x\\ \Rightarrow f''(x)&=\cos x+\cos x +x\cdot(-\sin x)\\ &=2\cdot\cos x - x \cdot \sin x\end{align*}\)

Schritt 2: \(f''(0)\) bestimmen

\(f''(0)=2\cdot\cos 0-0\cdot\sin0=2\cdot1-0\cdot0=2\)

Schritt 3: Krümmungsverhalten angeben

Es ist \(f''(0)=2>0.\) Der Funktionsgraph ist daher in unmittelbarer Nähe des Ursprungs linksgekrümmt.

  • Punkte:  4

Aufgabe 3

a)

Die Funktion \(g(x)=e^{-x}\) ist die an der y-Achse gespiegelte Exponentialfunktion. 

 

 - Abbildung 1
 

\(h\) ist streng monoton steigend und \(g\) ist streng monoton fallend. Also können die Graphen höchstens einen Schnittpunkt haben. In der linken Halbebene ist \(h\) negativ und \(g\) positiv, also \(h<g.\) Für \(x\rightarrow\infty\) strebt \(h(x)\) gegen unendlich, \(g(x)\) aber gegen null. Somit wird \(h\) schließlich größer als \(g. \) Aus Stetigkeitsgründen müssen sich daher die Graphen schneiden.

b)

Schritt 1: Differenzfunktion aufstellen und ableiten

\(\begin{align*}d(x)&=g(x)-h(x)\\ &=e^{-x}-x^3\\\end{align*}\\ \Rightarrow d'(x)=-e^{-x}-3x^2\)

Schritt 2: Näherungswert \(x_1\) bestimmen

Die Gleichung \(e^{-x}=x^3\) für die Schnittstelle von \(G_g\) und \(G_h\) ist gleichbedeutend mit \(e^{-x}-x^3=0.\) Die Schnittstelle ist also genau die Nullstelle der Funktion \(d,\) die näherungsweise mit dem Newton-Verfahren bestimmt werden kann.
Setze
\(x_1=x_0-\frac{d(x_0)}{d'(x_0)} \), wobei

\(x_0=1\),
\(d(1)=\frac1e-1\approx-0,63\) und
\(d'(1)=-\frac1e-3\approx-3,37\) gilt. Somit ist:

\(\begin{align*}x_1&=1\frac{\frac1e-1}{-\frac1e-3}=1-\frac{1-e}{-1-3e}\\ &=1-\frac{e-1}{1+3e}=\frac{1+3e-e+1}{1+3e}\\&=\frac{2+2e}{1+3e}\approx0,81\end{align*}\)

  • Punkte:  6

Aufgabe 4

a)

\(F(0)=0\) (Fläche eines unendlich dünnen Streifens)
\(F(2)\) entspricht der Fläche des Halbkreises vom Radius 1, d. h.:
\(F(2)=\frac12\cdot1^2\cdot\pi=\frac{\pi}{2}\approx1,57\)

\(F(-2)=-\frac{\pi}{2}\approx-1,57\) (in negative x-Richtung durchlaufende Halbkreisfläche)

b)

Unter Berücksichtigung der in a) berechneten Funktionswerte und der waagerechten Tangenten bei den Nullstellen von \(f\) ergibt sich folgender Graph der Integralfunktion \(F\).

 

 - Abbildung 1
  • Punkte:  5

Teil 2

Aufgabe 1

a)

Schritt 1: Gleichungen der Asymptoten bestimmen

Wegen \(\lim_{x\rightarrow-1}|f(x)|=\infty\) ist die Definitionslücke nicht hebbar, also hat \(f\) die Gerade \(x=-1\) als senkrechte Asymptote. 

Es ist \(f(x)=\frac12x-\frac12+\frac{8}{x+1},\) wobei \(\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{8}{x+1}=0,\) also nähert sich \(f\) für \(x\rightarrow\pm\infty\) der schrägen Asymptote \(y=\frac12x-\frac12.\)

Gäbe es einen Schnittpunkt von \(G_f\) mit der schrägen Asymptote, so gälte für dessen x-Koordinate \(\frac12x-\frac12=f(x),\) also \(\frac{8}{x+1}=0,\) was aber für kein \(x\in\mathbb R\) erfüllt ist.

Schritt 2: Asymptoten einzeichnen

 

 - Abbildung 1
 

b)

Schritt 1: 1. und 2. Ableitung berechnen

\(\begin{align*}f(x)&=\frac12x-\frac12+\frac{8}{x+1}\\ &=\frac12x-\frac12+8\cdot(x+1)^{-1}\end{align*}\\ \)
\( \begin{align*}\Rightarrow f'(x)&=\frac12-8\cdot(x+1)^{-2}\\ &=\frac12-\frac{8}{(x+1)^2}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\Rightarrow f''(x)&=16\cdot(x+1)^{-3}\\ &=\frac{16}{(x+1)^3}\end{align*}\)

Schritt 2: 1. Ableitung = 0 setzen und Gleichung lösen

\(\begin{alignat}{3} &\frac12-\frac{8}{(x+1)^2}=0\qquad&|&+\frac{8}{(x+1)^2}\\ &\frac12=\frac{8}{(x+1)^2}&|&\cdot2(x+1)^2\\ &(x+1)^2=16&|&\;\text{Wurzel ziehen}\\ &x+1=\pm4&|&-1\\ &x=-1\pm4\\ &x=-5\;\text{oder}\;x=3 \end{alignat}\)

Schritt 3: Mittels der 2. Ableitung Art der Extrempunkte bestimmen

\(f''(x)=\frac{16}{(x+1)^3}\\ \)
\(\Rightarrow f''(-5)=-0,25<0\Rightarrow G_f\;\text{hat einen Hochpunkt bei}\;x=-5\\ f''(3)=0,25>0\Rightarrow G_f\;\text{hat einen Tiefpunkt bei}\;x=3\)

  • Punkte:  14

Aufgabe 2

a)

Schitt 1: Funktionsterm von \(g\) bestimmen

Nach Verschiebung um 1 LE in positive y-Richtung lautet der Funktionsterm \(f(x)+1.\) Anschließende Verschiebung um 1 LE in positive x-Richtung liefert den Funktionsterm:

\(\begin{align*}g(x)&=f(x-1)+1\\ &=\frac12(x-1)-\frac12+\frac{8}{x-1+1}+1\\ &=\frac12x+\frac8x\end{align*}\)

Schritt 2: Punktsymmetrie nachweisen

Die Funktion \(g\) ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle \(x\in\mathbb R\{0\}\) die Bedingung \(g(-x)=-g(x)\) erfüllt ist.
\(\begin{align*} g(-x)&=\frac12(-x)+\frac{8}{-x}\\ &=-\frac12x-\frac8x\\ &=-\left(\frac12x+\frac8x\right)\\ &=-g(x) \end{align*}\)

Somit ist \(G_g\) punktsymmetrisch zum Ursprung. \(G_g\) geht durch Verschiebung aus \(G_f\) hervor, während der Ursprung aus dem Punkt P(−1|−1) hervorgeht. Folglich ist \(G_f\) symmetrisch um \(P.\)

b)

Schritt 1: Integral von 0 bis 4 berechnen

\(\begin{align*}\int^4_0\left(\frac12x-\frac12+\frac{8}{x+1}\right)dx&=\left[\frac14x^2-\frac12x+8\cdot\ln(x+1)\right]^4_0\\ &=4-2+8\cdot\ln5-8\cdot\ln(1)\\ &=2+8\cdot\ln(5)\\ &\approx14,88 \end{align*}\)

Schritt 2: Skizze

 

 - Abbildung 1
 

Schritt 3: Integral von –6 bis –2 bestimmen

Da \(G_f\) im Bereich \(-6\le x\le-2\) unterhalb der x-Achse liegt, ist das Integral negativ. Sein Betrag ist der Flächeninhalt der in der Skizze braun und orange markierten Fläche. Dabei entsteht die braun markierte Fläche aus der grünen durch Drehung um 180° um den Symmetriepunkt \(P,\) sodass dessen Flächeninhalt ebenfalls \(2+8\cdot\ln(5)\) FE beträgt. Dazu kommt das orange markierte Rechteck der Höhe 2 LE und der Breite 4 LE. Es hat also den Flächeninhalt 8 FE. Somit ist:

\(\int^{-2}_{-6}f(x)dx=-\left(\int^4_0f(x)dx+6\right)=-10-8\ln5\approx-22,88\ [FE]\)

  • Punkte:  14

Aufgabe 3

a)

Schritt 1: Funktionswerte berechnen

\(f(x)=\frac12x-\frac12+\frac{8}{x\ +\ 1}\)
\(\Rightarrow f(0)=7,5\) und \(f(15)=7,5\)

Schritt 2: Interpretation

Für \(x=0\) ist die Dose leer und für \(x=15\) ist sie voll. In beiden Fällen liegt der Schwerpunkt in der Mitte der Dose, d. h. auf der halben Höhe der Dose, nämlich bei \(\frac12\cdot15\;\text{cm}=7,5\;\text{cm}.\) Dies stimmt mit dem Ergebnis aus dem 1. Schritt überein.

b)

Zunächst ist der Schwerpunkt in der Dosenmitte. Die einlaufende Flüssigkeit sorgt dafür, dass sich der Schwerpunkt zuerst schnell und dann immer langsamer nach unten verlagert, bis er schließlich die Flüssigkeitsoberfläche erreicht (bei einer Füllhöhe von 3 cm). Dies entspricht dem Tiefpunkt von \(G_f\) bei (3|3). Wird jetzt weiter Flüssigkeit eingefüllt, kommt Masse oberhalb des Schwerpunktes hinzu, der Schwerpunkt steigt also mit der Füllhöhe, bis die Dose voll ist und sich der Schwerpunkt wieder auf halber Höhe der Dose befindet. 

c)

Schritt 1: Skizze von \(G_f\) und der Geraden \(y=5\) anfertigen

 

 - Abbildung 1

Schritt 2: x-Koordinate der Schnittpunkte ablesen

\(G_f\) schneidet die Gerade \(y=5\) in zwei Punkten, nämlich etwa bei \(x=0,5\) und etwa bei \(x=9,5.\) Zwischen diesen Schnittstellen verläuft \(G_f\) unterhalb der Geraden.
Der Schwerpunkt liegt also für Füllhöhen zwischen ungefähr 0,5 cm und 9,5 cm höchstens 5 cm hoch.

Schritt 3: Gleichung aufstellen und lösen

Eigentlich müsste eine Ungleichung gelöst werden, aber da die Lage des  Intervalls schon bekannt ist, genügt es, die folgende Gleichung zu lösen:
\(\begin{alignat}{3} &\frac12x-\frac12+\frac{8}{x+1}=5\quad\qquad&|&+\frac12\\ &\frac12x+\frac{8}{x+1}=5,5&|&\cdot(x+1)\\ &\frac12x(x+1)+8=5,5x+5,5&|&-5,5x-5,5\\ & \frac12x^2-5x+2,5=0&|&\cdot 2\\ &x^2-10x+5=0&|&\;\text{quadratische Lösungsformel benutzen}\\ &x=\frac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot5}}{2}=5\pm\sqrt{20}\qquad&|&\;\text{Lösung notieren}\\ &x=5-\sqrt{20}\approx0,53\;\text{oder}\\ &x=5+\sqrt{20}\approx9,47 \end{alignat}\)

Der Schwerpunkt liegt genau dann höchstens 5 cm hoch, wenn die Füllhöhe zwischen \(5-\sqrt{20}\;\text{cm}\) und \(5+\sqrt{20}\;\text{cm}\) liegt.

  • Punkte:  12

Geometrie

Aufgabe 1

a)

Schritt 1: Koordinaten des Punktes B angeben

\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}12\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\12\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\12\\0\end{pmatrix}\)

\(\Rightarrow B(12|12|0)\)

Schritt 2: Volumen berechnen 

\(V=\frac{1}{3}G\cdot h \), wobei \(G\) die Fläche des quadratischen Bodens und \(h\) die Höhe der Pyramide ist. Der Boden hat die Seitenlänge 12, also die Fläche 144. Die Höhe der Pyramide ist die \(x_3\)-Koordinate der Spitze \(S\), also 8. Somit ist 

\(V=\frac{1}{3}\cdot 144\cdot8=384\ [VE]\)

Der Pavillon hat ein Volumen von 384 m³.

b)

Für die Ebenengleichung braucht man einen Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren.

Schritt 1: Vektoren \(\overrightarrow{BC}\) und \(\overrightarrow{BS}\) bestimmen

Für die Normalenform werden ein Aufpunkt und ein Normalenvektor benötigt, der sich aus zwei Richtungsvektoren errechnen lässt. Als Richtungsvektoren eignen sich:

\(\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}0\\12\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}12\\12\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-12\\0\\0\end{pmatrix}\) und

\(\overrightarrow{BS}=\begin{pmatrix}6\\6\\8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}12\\12\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\-6\\8\end{pmatrix}\)

Schritt 2: Normalenvektor der Ebene berechnen

Ein Normalenvektor ist gegeben durch:

\(\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BS}=\begin{pmatrix}-12\\0\\0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-6\\-6\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot8-0\cdot-(6)\\0\cdot(-6)-(-12)\cdot8\\(-12)\cdot(-6)-0\cdot(-6)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\96\\72\end{pmatrix}\)

Der Einfachheit halber arbeiten wir mit dem Normalenvektor:

\(\overrightarrow{n}=\frac{1}{24}\begin{pmatrix}0\\96\\72\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\)

Schritt 3: Normalenform ermitteln

Als Aufpunkt der Ebene eignet sich der Punkt \(C\). Eine Normalenform der Ebene lautet somit:

\(E: \overrightarrow{n}\circ( \overrightarrow{x}- \overrightarrow{OC})=0\), wobei 

\(\overrightarrow{n}\circ( \overrightarrow{x}- \overrightarrow{OC})=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\circ(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\12\\0\end{pmatrix})\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\;= \begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}x_1\\x_2-12\\x_3\end{pmatrix}\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\;= 0\cdot x_1+4\cdot(x_2-12)+3\cdot x_3\\\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\;= 4x_2+3x_3-48 \)

gilt. Demnach ist \( E: 4x_2+3x_3-48=0 \) eine Gleichung für \(E\) in Normalenform. 

c)

Schritt 1: Vorüberlegung

Gesucht ist die \(x3\)-Koordinate des Punktes \(P\), an dem die Strebe die Außenwand berührt. 

Die Strebe ist ein Abschnitt der Geraden durch \(P\) und den Mittelpunkt \(M\) der Grundfläche.

 

 - Abbildung 1
 

Schritt 2: Koordinaten des Punktes \(M\) berechnen

\(\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix}12\\12\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\6\\0\end{pmatrix}\)

\(\Rightarrow M(6|6|0)\)

Schritt 3: Zu \(E\) senkrechte Gerade \(g\) durch \(M\) bestimmen

Als Aufpunkt der Geraden eignet sich \(M\). Die Strebe soll die kürzeste Verbindung von \(M\) zur Ebene \(E\) sein, also muss sie senkrecht auf \(E\) stehen. Als Richtungsvektor der Geraden \(g\) eignet sich daher der Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(E\). Somit ergibt sich die Parameterform:

\(g:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{OM}+\lambda\cdot\overrightarrow{n}= \begin{pmatrix}6\\6\\0\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix};\quad \lambda \in \mathbb R\)

Schritt 4: Allgemeinen Geradenpunkt von \(g\) in \(E\) einsetzen

\(P\) ergibt sich als Schnittpunkt von \(g\) und \(E\). Der allgemeine Geradenpunkt ist \((6|6+4\lambda|3\lambda).\) Diesen Punkt in \(E\) eingesetzt liefert eine Gleichung für den Parameter \(\lambda\) des Punktes P: 

\(\quad\;4(6+4\lambda)+3\cdot3\lambda-48=0 \\ \Leftrightarrow16\lambda+24+9\lambda-48=0\\ \Leftrightarrow25\lambda-24=0\\ \Leftrightarrow\lambda=0,96\)

Schritt 5: \(x_3\)-Koordinate des Schnittpunktes berechnen

Die Gerade \(g\) hat die allgemeine \(x_3\)-Koordinate \(3\lambda\). Die \(x_3\)-Koordinate des Schnittpunktes ist also \(3\cdot 0,96=2,88\). Da eine Längeneinheit 1 m entspricht, ist die Strebe in einer Höhe von 2,88 m an der Außenwand befestigt. 

d)

Schritt 1: Zwei Seiten des Dreiecks als Vektoren darstellen 

Wir bezeichnen die Mittelpunkte der Seiten \([SB]\) und \([SC]\) mit \(B'\) bzw. \(C'\).

Es ist:

\(\overrightarrow{SB'}=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{SB}=\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix}6\\6\\-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\\-4\end{pmatrix}\) und 

\(\overrightarrow{SC'}=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{SC}=\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix}-6\\6\\-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\3\\-4\end{pmatrix}\)

Schritt 2: Kreuzprodukt \(\overrightarrow{SB'}\times \overrightarrow{SC'}\) berechnen

\(\begin{pmatrix}3\\3\\-4\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-3\\3\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot(-4)-(-4)\cdot3\\(-4)\cdot(-3)-3\cdot(-4)\\3\cdot3-3\cdot(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\24\\18\end{pmatrix}\)

Schritt 3: Flächeninhalt berechnen 

\(A_{SB'C'}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{SB'} \times \overrightarrow{SC'}|=\frac{1}{2}\sqrt{24^2+18^2}=15\ [FE]\)

Eine Längeneinheit entspricht 1 m, d. h., der Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche beträgt 15 m². 

e)

Schritt 1: Vorüberlegung

Der Neigungswinkel von \(E\) zur Horizontalen ist der Schnittwinkel der Ebene \(E\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene. Dieser Schnittwinkel entspricht dem Winkel zwischen den dazugehörigen Normalenvektoren. 

Schritt 2: Winkel zwischen den Normalenvektoren berechnen 

Die \(x_1x_2\)-Ebene hat den Normalenvektor \(\overrightarrow{n_3}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\).

Normalenvektor der Ebende \(E:\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\)

Der Winkel \(\varphi\) zwischen diesen Vektoren erfüllt 

\(cos \varphi = \frac{\overrightarrow{n_3}\ \circ\ \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n_3}|\ \cdot\ |\overrightarrow{n}|}=\frac{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\ \circ\ \begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}}{\sqrt{1}\ \cdot\ \sqrt{25}}=0,6\)

\(\Rightarrow\varphi\approx53,13^°\)

Schritt 3: Erreichbaren Anteil an der maximalen Leistung abschätzen

Der Neigungswinkel liegt zwischen 50° und 60°. Demnach liegt der zu schätzende Anteil an der Maximalleistung zwischen 94 % und 98 %. Geht man näherungsweise von einer linearen Abnahme der Leistung mit dem Neigungswinkel im Bereich zwischen 50° und 60° aus, so ergibt sich als Schätzwert \(s_1\) für die prozentuale Ausbeute:

\(s_1=98\ \%+\frac{\varphi\ -\ 50^°}{60^°-\ 50^°}\cdot(94\ \%-98\ \%)\approx98\ \%-0,313\cdot4\ \%\approx96,7\ \%\)

Bemerkung

Ein Blick auf die Abnahme der Leistung pro 10° im Bereich von 40° bis  80° zeigt aber, dass die Ausbeute nicht linear vom Neigungswinkel abhängt, sondern die Leistungsabnahme wird mit zunehmendem Neigungswinkel immer deutlicher. Da \(\varphi\) kleiner ist als die Mitte des Intervalls [50°; 60°], sollte daher für die Berechnung des Schätzwertes die Abnahme über das Intervall (94 % − 98 %) mit einem Faktor \(\mu\) < 1 skaliert werden, d. h., es ist zu erwarten, dass die tatsächliche Ausbeute etwas oberhalb von \(s_1\) liegt, etwa bei \(s_2\) = 97 %.

Aufgabe 2

a)

Schritt 1: Geradenterme gleichsetzen und vereinfachen 

\(\begin{pmatrix}8\\1\\7\end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\5\\-9\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix} \\ \Rightarrow \lambda\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}-\mu\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\5\\-9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\1\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9\\4\\-16\end{pmatrix}\)

Schritt 2: Gleichungssystem aufstellen

Schritt 1 entnehmen wir 3 Gleichungen für die 2 Unbekannten \(\lambda\) und \(\mu\).

\(I:3\lambda-\mu=-9\)

\(II:\lambda+2\mu=4\)

\(III:2\lambda-4\mu=-16\)

Um \(\lambda\) zu eliminieren, lösen wir \(2\cdot II-III\).

\(2\cdot \lambda+4\mu-(2\lambda-4\mu)=8-(-16)\Leftrightarrow8\mu=24\Leftrightarrow\mu=3\)

Schritt 4: Koordinaten des Schnittpunktes bestimmen

Die Koordinaten von \(T\) ergeben sich durch Einsetzen von \(\mu\) = 3 in die Geradengleichung von \(h\).

\(\overrightarrow{OT}=\begin{pmatrix}-1\\5\\-9\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+3\\5-6\\-9+12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} \)

\(\Rightarrow T(2|-1|3)\)

b)

Schritt 1: Vorüberlegung

Als \(P\) wählen wir den Geradenpunkt auf \(g\), der von \(T\) aus durch Verschiebung um den Richtungsvektor \(\overrightarrow{v}\) der Geraden entsteht. \(Q\) erhalten wir dann als Spiegelung von \(P\) an \(T\), d. h., indem wir \(T\) um \(-\overrightarrow{v}\) statt um \(\overrightarrow{v}\) verschieben. 

Schritt 2: Koordinaten von \(P\) und \(Q\) berechnen

 \(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OT}+\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\0\\5\end{pmatrix}\Rightarrow P(5|0|5)\)

\(\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OT}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\end{pmatrix}\Rightarrow Q(-1|-2|1)\)

c)

Schritt 1: Skizze anfertigen

 

 - Abbildung 1
 

Schritt 2: Einen Lösungsweg beschreiben 

Der Punkt \(T\) ist der Mittelpunkt des Rechtecks, d. h., alle vier Eckpunkte haben denselben Abstand zu \(T\), nämlich \(d=|\overrightarrow{PT}|\). \(U\) und \(V\) entstehen aus \(T\) durch Verschiebung um ein geeignetes Vielfaches des Richtungsvektors \(\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}\) (einmal in positive Richtung und einmal in die entgegengesetzte Richtung), also gibt es ein \(t\in\mathbb R \), sodass \(\overrightarrow{OU}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{OV}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}\) ist. Der Abstand von \(U\) zu \(T\) ist dann \(d(U,T)=|\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OU}|\) und hängt von \(t\) ab. Setzt man \(d(T,U)=d\), so erhält man eine Gleichung für \(t\) mit genau einer positiven Lösung. Diesen Wert setzt man dann in die Gleichungen \(\overrightarrow{OU}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{OV}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}\) ein und erhält damit die Koordinaten der Punkte \(U(2+t|-1-2t|3+4t)\) und \(V(2-t|-1+2t|3-4t)\).

Stochastik

Aufgabe 1

a)

Schritt 1: Gegebene Daten in Vierfeldertafel eintragen 

 

 - Abbildung 1
 

Schritt 2: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(P(J\cap \overline{K})\)

\(P(J\cap \overline{K})=0,56:7=0,08\)

 

 - Abbildung 1
 

Schritt 3: Die restlichen Felder ausfüllen

\(P(J\cap K)=0,12-P(J\cap \overline{K})=0,12-0,08=0,04\\ P(\overline{J}\cap \overline{K})=0,56-P(J\cap \overline{K})=0,56-0,08=0,48\\ P(\overline{J}\cap K)=0,44-P(J\cap K)=0,44-0,04=0,4\)

 

 - Abbildung 1
 

b)

Schritt 1: Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen 

\(P_{J}(\overline{K})=\frac{P(J\cap \overline{K})}{P(J)}=\frac{0,08}{0,12}=\frac{2}{3}\)

\(P_{\overline{J}}(\overline{K})=\frac{P(\overline{J}\cap \overline{K})}{P(\overline{J})}=\frac{0,48}{0,88}=\frac{6}{11}=\frac{18}{33}<\frac{22}{33}=\frac{2}{3}= P_{J}(\overline{K})\)

Schritt 2: Begründung

Der Anteil der Unentschlossenen ist zwar unter den Jungwählern größer als unter den übrigen Wahlberechtigten, aber es gibt viel weniger unentschlossene Jungwähler als unentschlossene Wahlberechtigte über 24, nämlich nur 8 % im Vergleich zu 48 %.

c)

Schritt 1: Situation modellieren

Aufgrund der großen Zahl von Wahlberechtigten im Vergleich zu den 48 Befragten kann die Anzahl \(X\) der Jungwähler unter den Befragten näherungsweise als binomialverteilt angenommen werden. Die Parameter sind \(n=48\) und \(p=0,12\). Gesucht ist \(P(X=6).\)

Schritt 2: Wahrscheinlichkeit berechnen 

Mit der Bernoulli-Formel ergibt sich:

\(P(X=6)=(_{6}^{48})\cdot 0,12^6\cdot0,88^{42}\approx0,1707\)

  • Punkte:  11

Aufgabe 2

a)

Schritt 1: Nullhypothese und Gegenhypothese festlegen

Sei \(p\) die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Wahlberechtigter die Partei A wählt. 

\(H_0:p\leq0,5\)

\(H_1:p>0,5\)

Schritt 2: Annahme- und Ablehnungsbereich für \(H_0\) visualisieren

200 Wähler werden befragt. Sei \(X\) die Anzahl der Befragten, die sich für Partei A entscheiden würden. \(X\) kann näherungsweise als binomialverteilt angenommen werden, da die Anzahl der Befragten klein im Vergleich zur Gesamtbevölkerung der Stadt ist. Die möglichen Werte von \(X\) sind  0, 1, 2, …, \(c\), \(c\) + 1, …, 199 und 200, wobei zwischen \(c\) und \(c\) + 1 die Grenze zwischen Annahme- und Ablehnungsbereich verläuft. \(H_0\) erscheint plausibel, wenn \(X\) klein ausfällt. Der Annahmebereich für \(H_0\) ist daher der linke Abschnitt der möglichen Werte von \(X\) (von 0 bis \(c\)). 

Schritt 3: Parameter \(c\) bestimmen

Das Signifikanzniveau soll 5 % sein, d. h., die Nullhypothese darf mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 % verworfen werden, wenn sie in Wirklichkeit zutrifft. \(H_0\) wird fälschlicherweise verworfen, wenn \(p\) ≤ 0,5 ist, aber \(X\) > \(c\) ausfällt. Das geforderte Signifikanzniveau wird also ausgedrückt durch folgende Bedingung:

\(\quad P(X>c)\leq0,05\\ \Leftrightarrow1-P(X>c)\geq1-0,05\\ \Leftrightarrow P(X\leq c)\geq0,95\)

\(P(X\leq c)\) sinkt, je größer \(p\) wird. Die Bedingung \(P(X\leq c)\geq0,95\) ist also genau dann für alle \(p≤ 0,5\) erfüllt, wenn sie für \(p=0,5\) gewährleistet ist. Um zu sehen, welche \(c\) hier infrage kommen, wird also \(X\) als binomialverteilt zu den Parametern \(n=200\) und \(p=0,5\) angenommen und eine kumulative Verteilungstabelle zurate gezogen. Man findet \(P(X\leq111)\approx0,948\) und \(P(X\leq112)\approx0,962\). Das kleinste \(c\), das die geforderte Bedingung erfüllt, ist also \(c=112\)

Schritt 4: Entscheidungsregel aufstellen

Falls sich bei der Befragung höchstens 112 Wähler für den Kandidaten der Partei A entscheiden würden, wird die Nullhypothese \(p \leq0,5\) angenommen und die Kampagne durchgeführt. 

b)

Schritt 1: Fehler 1. Art bei unterschiedlichen Nullhypothesen vergleichen

1. Möglichkeit
\(H_0:p\leq0,5\)

Fehler 1. Art, wenn \(p\leq0,5\) und \(X >112\). In diesem Fall geht der Fehler 1. Art damit einher, dass die Kampagne nicht durchgeführt wird, obwohl sie nötig wäre. Die Wahrscheinlichkeit, die Erfolgschancen beim 1. Wahldurchgang so zu gefährden, wird durch das Signifikanzniveau von 5 % begrenzt. 

2. Möglichkeit
\(H_0:p>0,5\)

Fehler 1. Art, wenn \(p>0,5\) und \(X\leq111\). In diesem Fall geht der Fehler 1. Art damit einher, dass die Kampagne durchgeführt wird, obwohl sie unnötig wäre. Die Wahrscheinlichkeit, dass dadurch unnötige Kosten anfallen, würde durch das Signifikanzniveau von 5 % begrenzt. 

Schritt 2: Wahl der Nullhypothese rechtfertigen 

Das Anliegen der Wahlkampfberaterin ist, den Kandidaten im 1. Wahlgang durchzubringen. Für sie sind die Kosten zweitrangig. Daher ist die 1. Möglichkeit aus ihrer Sicht sinnvoller als die 2. Möglichkeit.

  • Punkte:  10

Aufgabe 3

a)

Schritt 1: Situation modellieren 

Ein Stadtrat kann höchstens einen Ausschusssitz einnehmen und die Reihenfolge der Besetzung spielt keine Rolle. Daher ist das Modell „Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge“ geeignet. Die \(N=12\) Kugeln der Urne repräsentieren die 12 Ausschusskandidaten. Die Anzahl der Ziehungen \(n=3\) entspricht der Zahl der zu besetzenden Positionen. Die Anzahl \(K=8\) der schwarzen Kugeln (neben 4 weißen) entspricht der Anzahl der Frauen unter den 12 Kandidaten. 

Schritt 2: Wahrscheinlichkeiten berechnen 

Nach Laplace gilt: 

\(P(X=k)=\frac{Anzahl\;der\;möglichen\;Zusammenstellungen\;mit\;k\;Frauen}{Anzahl\;aller\;möglichen\;Zusammenstellungen}\)

Um \(k\) der 8 Frauen und \(3-k\) der 4 Männer in den Ausschuss zu wählen, gibt es \((_k^4)\cdot(_{3-k}^8)\) Möglichkeiten. Irgendwelche 3 der 12 Kandidaten auszuwählen kann auf \((_3^{12})\) Arten geschehen. Somit ist: 

\(P(X=1)=\frac{(_1^{8})\ \cdot\ (_{3\ -\ 1}^4)}{(_{3}^{12})}=\frac{8\ \cdot\ 6}{220}=\frac{12}{55}\)

\(P(X=2)=\frac{(_2^{8})\ \cdot\ (_{3\ -\ 2}^4)}{(_{3}^{12})}=\frac{28\ \cdot\ 4}{220}=\frac{28}{55}\)

b)

Schritt 1: Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) tabellieren

 - Abbildung 1
 

Schritt 2: Erwartungswert berechnen 

\(E(X)=0\cdot\frac{1}{55}+1\cdot\frac{12}{55}+2\cdot\frac{28}{55}+3\cdot\frac{14}{55}=\frac{1}{55}(12+2\cdot28+3\cdot14)=2\)

Schritt 3: Varianz berechnen 

\(Var(X)=(0-2)^2\cdot\frac{1}{55}+(1-2)^2\cdot\frac{12}{55}+(2-2)^2\cdot\frac{28}{55}+(3-2)^2\cdot\frac{14}{55}\\ \quad\quad\quad\;\;=\frac{1}{55}(4\cdot1+1\cdot12+0\cdot28+1\cdot14)\\ \quad\quad\quad\;\;=\frac{30}{55}=\frac{6}{11}\)

c)

Schritt 1: Erwartungswert von \(Y\) berechnen 

Da \(Y\) binomialverteilt ist, gilt:

\(E(Y)=n\cdot p =3\cdot\frac{2}{3}=2=E(X)\)

Schritt 2: Varianz von \(Y\) berechnen 

Da \(Y\) binomialverteilt ist, gilt:

\(Var(Y)=n\cdot p \cdot (1-p)=3\cdot\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}=\frac{22}{33}>\frac{18}{33}=\frac{6}{11}=Var(X)\)

Schritt 3: Die Abbildungen vergleichen 

In Abb. 1 ist der höchste Balken (beim Erwartungswert 2) höher als in Abb. 2 und der Balken des vom Erwartungswert 2 am weitesten entfernten Wertes (1) ist in Abb. 1 niedriger. Somit zeigt Abb. 1 eine geringere Streuung um den Erwartungswert, also eine kleinere Varianz als Abb. 2.

  • Punkte:  11
Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!
Deine Vorteile
  • Bessere Noten mit über 15.000 Lerninhalten in 9 Fächern
  • Originalklassenarbeiten, Musterlösungen und Übungen
  • NEU: Persönliche WhatsApp-Nachhilfe

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Next

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Musterlösungen findest du hier