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Abi 2013 Geometrie I


Aufgabe a 

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Koordinaten von \(C\) sind die Komponenten des Vektors \(\overrightarrow{PC}\) (denn \(\overrightarrow{P}\) ist der Ursprung). Dabei ist \(\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{AD}\), denn \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.\)

Schritt 2: Koordinaten von \(C\) berechnen 

\(\overrightarrow{PB}=\begin{pmatrix}28\\10\\0\end{pmatrix}\) ist vorgegeben und:

\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{PA}=\begin{pmatrix}20\\0\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}28\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\0\\6\end{pmatrix}\)

Also ist:

\(\overrightarrow{PC}=\begin{pmatrix}28\\10\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-8\\0\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\10\\6\end{pmatrix}\)

\(C\) hat somit die Koordinaten (20|10|6). 

Schritt 3: Nachweisen, dass alle Seiten gleich lang sind

Die Fläche \(ABCD\) ist ein Parallelogramm. Ein Parallelogramm ist genau dann ein Quadrat, wenn benachbarte Seiten gleich lang sind und alle Innenwinkel rechte Winkel sind. Die Länge der Seite \(\overline{AB}\) ist 10. Die Länge der Seite \(\overline{AD}\)  ist \(\overrightarrow{AD}=\sqrt{(-8)^2+6^2}=10\). Somit sind 2 benachbarte Seiten gleich lang und es folgt aus der Gleichheit der Länge gegenüberliegender Seiten im Parallelogramm, dass alle Seiten gleich lang sind. 

Schritt 4: Rechte Winkel nachweisen

Benachbarte Innenwinkel im Parallelogramm ergänzen sich immer zu 180° und gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Wenn also ein Innenwinkel 90° beträgt, dann handelt es sich um ein Rechteck. Es ist 

\(\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-8\\0\\6\end{pmatrix}=0\),

also ist der Innenwinkel ∢ (BAD) = 90° und \(ABCD\) somit ein Rechteck mit gleich langen Seiten (nach Schritt 3). Folglich ist \(ABCD\) ein Quadrat.

Aufgabe b

Schritt 1: Normalenvektor der Ebene bestimmen 

Die Ebene \(E\) wird ausgehend vom Punkt \(A\)(28|0|0) von den zwei Richtungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AD}\) aufgespannt. Ein Normalenvektor ergibt sich als Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren.

\(\begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-8\\0\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\cdot6-0\cdot0\\0\cdot(-8)-0\cdot6\\0\cdot0-10\cdot(-8)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}60\\0\\80\end{pmatrix}\)

Wir nehmen den einfacheren Normalenvektor \(\overrightarrow{n}=\frac{1}{20}\begin{pmatrix}60\\0\\80\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}.\)

Eine Normalenform der Ebene lautet somit

\(E:\overrightarrow{n}\circ(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{PA})=0\), wobei 

\(\overrightarrow{n}\circ(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{PA})=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\circ(\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}28\\0\\0\end{pmatrix})\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\;=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}x_{1}-28\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\;= 3\cdot(x_{1}-28)+0\cdot x_{2}+4\cdot x_{3}\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\;= 3x_{1}+4x_{3}-84\)

gilt. Demnach ist \(E:3x_{1}+4x_{3}-84=0\) eine Gleichung für \(E\) in Normalenform. 

Aufgabe c 

Der Winkel \(\varphi\) zwischen den beiden Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) entspricht dem Winkel zwischen deren Normalenvektoren. 

Normalenvektor der \(x_1x_2\)-Ebene: \(\overrightarrow{n_{3}}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\)

Normalenvektor der Ebene \(E:\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\) 

Für den Winkel \(\varphi\) gilt:

\(cos\varphi =\frac{\overrightarrow{n_{3}}\ \circ\ \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n_{3}}|\ \cdot\ |\overrightarrow{n}|}=\frac{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\ \circ\ \begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}}{\sqrt{1}\ \cdot\ \sqrt{25}}=0,8\Rightarrow\varphi \approx36,87^°\)

Aufgabe d

Die Ebene \(F\) ist parallel zur Ebene \(E\). Sie hat demnach eine Gleichung der Form \(F:3x_1+4x_3+d=0\), die sich nur um eine Konstante von der Gleichung von \(E\) unterscheidet. Da \(F\) durch den Ursprung geht, ist \(d=0\), also \(F:3x_1+4x_3=0\)

Aufgabe e

Schritt 1: Aus dem Spat einen Quader machen

Abi 2013 Geometrie I - Abbildung 1

Sei \(U\) der Lotpunkt von \(C\) auf \(\overline{BQ}\) und \(V\) der Lotpunkt von \(D\) auf \(\overline{AP}\). Schneidet man das gerade Prisma \(ABUVCD\) aus dem Spat heraus und fügt es am hinteren Ende wieder an (sodass das Quadrat \(ABCD\) am Quadrat \(PQRS\) anliegt), so ergibt sich ein Quader mit demselben Volumen wie der ursprüngliche Spat. 

Schritt 2: Gib das Volumen des Quaders an

Die rechteckige Grundfläche \(UU'VV'\) des Quaders hat denselben Flächeninhalt \(G\) wie die Grundfläche \(ABQP\) des Spats, denn beide Grundflächen haben dieselbe Länge und dieselbe Breite. Außerdem stimmen die Höhen von Spat und Quader überein, denn es handelt sich jeweils um den Abstand \(h\) von \(C\) zu \(U\). Somit gilt für beide Körper \(V=G\cdot h.\)

Aufgabe f

Schritt 1: Volumen berechnen 

\(V=G\cdot h=(28\cdot 10)\cdot6=1680\ [VE]\), wobei \(1\ VE=(1\ LE)^3\).

Da \(1\ LE\) \(0,1\ m\) entspricht, ist \(1\ VE\) im Modell \((0,1\ m)^3=0,001\ m^3\).

Das Volumen des Grundkörpers beträgt somit \(1,68\ m^3\).

Schritt 2: Masse berechnen 

Die Dichte ist nach Vorgabe \(\rho=2,1\frac{t}{m^3}\), sodass sich die Masse zu 

\(m=V\cdot \rho=1,680\ m^3\cdot 2,1\frac{t}{m^3}=1,68\cdot 2,1=3,528\ t=3528\ kg\)

ergibt.

Aufgabe g

Schritt 1: Diagonalenschnittpunkt \(T\) bestimmen 

Aus der Abbildung liest man eine halbe Diagonalenlänge ab.

\(\overrightarrow{PT}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{PB}=\frac{1}{2}\cdot \left(\begin{array}{c}28\\10\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}14\\5\\ 0\end{array}\right)\)

Somit ist \(T(14|5|0)\). Die Gerade \(h\) geht durch \(T\) und durch \(H(11|3|6)\).

Schritt 2: Geradengleichung aufstellen 

Aufpunkt: \(H\)

Richtungsvektor: \(\overrightarrow{HT}=\overrightarrow{PT}-\overrightarrow{PH}=\left(\begin{array}{c}14\\5\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}11\\3\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\2\\ -6\end{array}\right)\)

Gleichung: 

\(h:\overrightarrow{x}=H*\lambda\cdot \overrightarrow{HT}=\left(\begin{array}{c}11\\3\\ 6\end{array}\right)+\lambda\cdot\left(\begin{array}{c}3\\2\\ -6\end{array}\right);\quad \lambda\in\mathbb R\)

Schritt 3: Unteres Ende der Stange bestimmen 

Länge der Bohrung: 

\(\frac{1}{4}\) von 1,4 m ist 0,35 m; das sind 3,5 Längeneinheiten. Das untere Ende \(S_u\) der Stange liegt auf der Geraden \(h\), also ist \(\overrightarrow{PS_u}=\left(\begin{array}{c}11\\3\\ 6\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}3\\2\\ -6\end{array}\right)\) für ein \(\lambda\in\mathbb R\).

Wegen \(|\overrightarrow{PS_u}-\overrightarrow{PH}|=3,5\) ist also:

\(\;\quad\;| \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}3\\2\\- 6\end{array}\right)|=3,5 \\ \Leftrightarrow |\lambda|\cdot |\left(\begin{array}{c}3\\2\\- 6\end{array}\right)|=3,5\\ \Leftrightarrow |\lambda|\sqrt{9+4+36}=3,5\\ \Leftrightarrow7 |\lambda|=3,5\Leftrightarrow |\lambda|=0,5\)

Da \(S_u\) unterhalb von \(H\) liegt und der Richtungsvektor \(\left(\begin{array}{c}3\\2\\- 6\end{array}\right)\) eine negative z-Komponente hat, ist das gesuchte \(\lambda\) positiv, d. h. \(\lambda=0,5\).

Schritt 4: Koordinaten des Stangenendes bestimmen 

Einsetzen von \(\lambda=0,5\) in die Geradengleichung für \(h\) liefert:

\(\overrightarrow{PS_u}=\left(\begin{array}{c}11\\3\\ 6\end{array}\right)+0,5\left(\begin{array}{c}3\\2\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12,5\\4\\ 3\end{array}\right)\)

Der Punkt, in dem die Stange endet, hat also die Koordinaten \(S_u(12,5|4|3)\).

Aufgabe h 

Schritt 1: Skizze

Es sei \(r=8\) der Radius der Kugel im Modell und \(M\) der Kugelmittelpunkt. Dann sieht die Konstellation wie folgt aus: 

Abi 2013 Geometrie I - Abbildung 2

oder

Abi 2013 Geometrie I - Abbildung 3

Schritt 2: Bedingung für Berührung formulieren 

Der Teil der Stange oberhalb des Grundkörpers hat eine Länge von

\(\frac{3}{4}\cdot14\ LE=10,5\ LE>8\ LE=r\),

also kann die Kugel das obere Ende der Stange nicht berühren. Die Stahlkugel berührt daher genau dann die Stange, wenn der Abstand des Kugelmittelpunktes \(M\) zur Geraden \(h\) dem Radius \(r\) der Kugel entspricht. 

Schritt 4: Lösungsweg beschreiben 

Aus den Koordinaten von \(K\) können die Koordinaten des Kugelmittelpunktes \(M\) ermittelt werden. \(M\) liegt 8 LE senkrecht über \(K\), d. h.:

\(\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PK}=8\cdot\left(\begin{array}{c}0\\0\\ 1\end{array}\right)\)

Nun muss noch der Abstand des Punktes \(M\) zur Geraden \(h\) bestimmt werden. Dazu ermittelt man zuerst den Lotfußpunkt \(F_M\) des Lotes von \(M\) auf \(h\). Da \(F_M\) auf \(h\) liegt, gilt \(\overrightarrow{PF_M}=\left(\begin{array}{c}11\\3\\ 6\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}3\\2\\ -6\end{array}\right) \) für ein \(\lambda\in\mathbb R\). Der Parameter \(\lambda\) ergibt sich aus der  Bedingung, dass die Verbindungsstrecke von \(M\) nach \(F_M\) senkrecht auf \(h\) stehen muss, was durch die Gleichung

\(\left(\begin{array}{c}3\\2\\ -6\end{array}\right)\circ(\left(\begin{array}{c}11\\3\\ 6\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}3\\2\\ -6\end{array}\right)-\overrightarrow{PM})=0\)

ausgedrückt wird. Diese Gleichung wird nach \(\lambda\) aufgelöst, um den Wert des Parameters zu finden. Dieser wird dann in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten von \(F_M\) zu erhalten. Damit erhält man \(d(M,h) =d(M,F_M)\) und kann prüfen, ob dieser Wert mit dem Radius \(r=8\) der Kugel übereinstimmt.

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