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Abi 2013 GA (1)


Analysis WTR

Aufgabe 1

a)

1.

Schritt 1: Verlauf des Graphen beschreiben

Der Graph von \(f\) beginnt im Punkt \(\left(0 \mid 0,3\right)\) und steigt durchgehend streng monoton an. Im Modell hat also die Buche anfangs die Höhe 0,3 m und wird mit der Zeit immer höher. In der Abbildung ist zu erkennen, dass die Steigung zunächst zunimmt, ab ca. \(t=40\) aber wieder abnimmt. Der Graph flacht nach rechts hin ab und nähert sich einer waagerechten Asymptote zwischen \(y=34\) und \(y=36\). Dementsprechend wächst die Buche im Modell zunächst immer schneller; die Wachstumsgeschwindigkeit nimmt aber nach etwa 40 Jahren immer weiter ab, während sich die Höhe des Baumes einem festen Wert zwischen 34 m und 36 m nähert.

 

 - Abbildung 1

 

2.

Schritt 1: Berechnen und erläutern

\(f\left(20\right) = 0,3 + 35 \cdot \left(1-e^{-0,02 \cdot 20}\right)^2 \approx 4,1\)

\(f\left(t\right)\) ist die vom Modell prognostizierte Höhe der Buche in Metern zum Zeitpunkt \(t\) (Anzahl der Jahre nach Beobachtungsbeginn). Die Beziehung \(f\left(20\right) \approx 4,1\) besagt also, dass die Buche nach 20 Jahren etwa 4,10 m hoch ist.

3.

Schritt 1: Begrenztes Wachstum begründen

Der Umstand, dass die Buche nicht höher als 35,30 m wird, wird ausgedrückt durch die Ungleichung \(f\left(t\right) \leq 35,3\) für alle \(t \in [0; \infty[\). Diese Ungleichung erhält man wie folgt:

Für alle \(t \in [0; \infty[\) gilt \(-0,02 \cdot t \leq 0\).

Da die Exponentialfunktion streng monoton wächst und stets positive Werte annimmt, folgt:

\(0 < e^{-0,02 \cdot t} \leq e^0 =1 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ multipliziere \ mit \ -1 \\ \Longrightarrow 0> -e^{-0,02 \cdot t} \geq -1 \qquad \qquad \qquad \quad \quad \ \ \ \ addiere \ 1 \\ \Longrightarrow 1> 1-e^{-0,02 \cdot t} \geq 0 \qquad \qquad \qquad \quad \quad \ \ \ quadriere \\ \Longrightarrow 1> \left(1-e^{-0,02 \cdot t}\right)^2 \geq 0 \qquad \qquad \qquad \ \ \ \ \ \ multipliziere \ mit \ 35 \\ \Longrightarrow 35> 35 \cdot \left(1-e^{-0,02 \cdot t}\right)^2 \geq 0 \qquad \qquad \ \ \ \ \ addiere \ 0,3 \\ \Longrightarrow 35,3 > \underbrace{0,3 + 35 \cdot \left(1-e^{-0,02 \cdot t}\right)^2} \geq 0,3 \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \scriptsize =f\left(t\right)\)

Somit gilt für alle \(t \in [0; \infty[\) die Ungleichung \(0,3 \leq f\left(t\right) < 35,3\). Das bedeutet, dass laut Modell die Buche stets kleiner ist als 35,3 m.

  • Punkte:  11

b)

1.

Schritt 1: Problem verstehen

Der Zeitpunkt \(t_1\), zu dem die Buche am stärksten wächst, ist die Maximalstelle der Wachstumsgeschwindigkeit, die durch die Ableitung \(f'\) von \(f\) modelliert wird. Für die Bestimmung dieser Maximalstelle werden die 1. und 2. Ableitung von \(f'\), also die 2. und 3. Ableitung von \(f\) benutzt.

Schritt 2: 1., 2. und 3. Ableitung von \(f\) bilden

\(f\left(t\right) = 0,3 + 35 \cdot \left(1-e^{-0,02\cdot t}\right)^2 = 0,3 + 35 \cdot \left(1 - 2 \cdot e^{-0,02 \cdot t} + e^{-0,04\cdot t}\right) \\ \ \\ \Longrightarrow f'\left(t\right)\ = 0+35 \cdot \left(0-2\cdot \left(-0,02\right) \cdot e^{-0,02 \cdot t} + \left(-0,04\right) \cdot e^{-0,04 \cdot t}\right) \\ \qquad \qquad \ = 35 \cdot \left(0,04 \cdot e^{-0,02\cdot t}-0,04 \cdot e^{-0,04\cdot t}\right)\\ \qquad \qquad \ = 35 \cdot 0,04 \cdot \left(e^{-0,02 \cdot t} - e^{-0,04,\cdot t}\right) \\ \qquad \qquad \ = 1,4 \cdot \left(e^{-0,02\cdot t} - e^{-0,04 \cdot t}\right) \\ \ \\ \Longrightarrow f''\left(t\right) \ = 1,4 \cdot \left(\left(-0,02\right) \cdot e^{-0,02 \cdot t} - \left(-0,04\right)e^{-0,04 \cdot t}\right) \\ \qquad \qquad \ \ = 0,028 \cdot \left(2e^{-0,04\cdot t} - e^{-0,02 \cdot t}\right) \\ \ \\ \Longrightarrow f''' \left(t\right) \ = 0,028 \cdot \left(2 \cdot \left(-0,04\right) \cdot e^{-0,04\cdot t} - \left(-0,02\right) e^{-0,02 \cdot t}\right) \\ \qquad \qquad \ \ \ = 0,00056 \cdot \left(e^{-0,02 \cdot t} - 4e^{-0,04 \cdot t}\right)\)

Schritt 3: Mögliche Extremstellen von \(f'\) berechnen

Maximalstellen von \(f'\) sind zugleich Nullstellen von \(f''\) und Letztere findet man durch folgende Umformungen:

\(f''\left(t\right) = 0,028 \cdot \left(2e^{-0,04\cdot t} - e^{-0,02 \cdot t}\right) = 0 \qquad \qquad \ \ \ \ durch \ 0,028 \ teilen \\ \Leftrightarrow 2e^{-0,04\cdot t} - e^{-0,02 \cdot t} =0 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ e^{-0,02\cdot t} \ addieren \\ \Leftrightarrow 2e^{-0,04\cdot t} = - e^{-0,02 \cdot t} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ mit \ e^{0,04\cdot t} \ multiplizieren \\ \Leftrightarrow 2 = e^{-0,02 \cdot t} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad logarithmieren \\ \Leftrightarrow ln \ 2 = 0,02 \cdot t \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \ durch \ 0,02 \ teilen \\ \Leftrightarrow t= \frac{ln \ 2}{0,02} = 50 \ ln \ 2 \approx 34,7\)

Schritt 4: Mögliche Extremstellen von \(f'\) prüfen

Um zu zeigen, dass bei \(t=50 \ ln \ 2\) ein Maximum vorliegt, wird das Vorzeichen von \(f'''\left(50 \ ln \ 2\right)\) untersucht.

\(f'''\left(50 \ ln \ 2\right) = 0,00056 \cdot \left(e^{-0,02 \cdot 50 \ ln \ 2} - 4e^{-0,04 \cdot 50 \ ln \ 2}\right) \\ \qquad \qquad \quad = 0,00056 \cdot \left(e^{-ln \ 2} - 4e^{-2\ ln \ 2}\right) \\ \qquad \qquad \quad = 0,00056 \cdot \left(\left(e^{ln \ 2}\right)^{-1} - 4\left(e^{ln \ 2}\right)^{-2}\right) \\ \qquad \qquad \quad = 0,00056 \cdot \left(2^{-1} - 4 \cdot 2^{-2}\right) \\ \qquad \qquad \quad = 0,00056 \cdot \left(\frac{1}{2} -4 \cdot \frac{1}{2}\right) \\ \qquad \qquad \quad = 0,00056 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ \qquad \qquad \quad = -0,00028 <0\)

Wegen \(f'''\left(50 \ ln \ 2\right) <0\) ist die Nullstelle \(t=50 \ ln \ 2\) von \(f''\) ein lokales Maximum von \(f'\). Da \(t_1\) die einzige Nullstelle von \(f''\) ist, handelt es sich um das einzige lokale Maximum von \(f'\), also um das globale Maximum, denn Randmaxima gibt es wegen \(f'\left(0\right) =0\) nicht.

Die Buche wächst also nach etwa 34,7 Jahren am schnellsten.

  • Punkte:  14

c)

1.

Schritt 1: Wachstumsgeschwindigkeiten vergleichen

Beide Wachstumsgeschwindigkeiten beginnen bei 0 und steigen zunächst steil an, erreichen bei ca. \(t=40\) ein Maximum von ca. 0,35 m/a (1. Buche) bzw. 0,27 m/a (2. Buche) und nehmen dann wieder ab. Dabei liegt die Wachstumsgeschwindigkeit der 1. Buche stets oberhalb der Wachstumsgeschwindigkeit der 2., denn der Graph von \(f'\) verläuft durchgehend oberhalb des Graphen von \(g'\). Der Anstieg der Wachstumsgeschwindigkeit vor Erreichen des Maximums ist bei der 1. Buche schneller, denn der Graph von \(f'\) ist in diesem Bereich steiler als der von \(g'\). Ebenso fällt die Wachstumsgeschwindigkeit der 1. Buche nach Erreichen des Maximums schneller ab als die der 2. Buche.

2.

Schritt 1: Gleiche Lage der Maxima begründen

Aus Teilaufgabe b) ist die Wachstumsgeschwindigkeit der 1. Buche bekannt:

\(f'\left(t\right) = 1,4 \cdot \left(e^{-0,02 \cdot} - e^{-0,04\cdot t}\right)\)

Ein Vergleich mit der Funktionsgleichung von \(g'\) liefert:

\(f'\left(t\right) = \frac{1,4}{1,1} \cdot 1,1 \cdot \left(e^{-0,02 \cdot t} - e^{-0,04\cdot t}\right) = \frac{14}{11}g' \left(t\right) \\ \ \\ g'\left(t\right) = 1,1 \cdot \left(e^{-0,02 \cdot t} - e^{-0,04\cdot t}\right) = \frac{1,1}{1,4} \cdot 1,4 \cdot \left(e^{-0,02 \cdot t} - e^{-0,04\cdot t}\right) = \frac{11}{14}f'\left(t\right)\)

Somit ist aber \(g''\left(t\right) = \frac{11}{14}f''\left(t\right)\) und \(g'''\left(t\right) = \frac{11}{14}f'''\left(t\right)\).

Insbesondere gilt \(g''\left(t\right) = 0 \Longleftrightarrow f''\left(t\right) = 0\) und \(g'''\left(t\right) < 0 \Longleftrightarrow f'''\left(t\right) < 0\). Deswegen kommt für \(g'\) nur die Nullstelle \(t_1\) von \(f''\) als Extremstelle infrage und diese Stelle ist wegen \(g'''\left(t_1\right) = \frac{11}{14}f'''\left(t_1\right) <0\) ein Maximum.

3.

Schritt 1: Höhenverhältnis begründen

Der Graph der Wachstumsgeschwindigkeit der 1. Buche liegt im gesamten Intervall \(]0;\infty[\) oberhalb des Graphen der Wachstumsgeschwindigkeit der 2. Buche. Die 1. Buche wächst also während des gesamten Intervalls schneller als die 2. Buche.

Beide Buchen sind bei \(t=0\) mit derselben Höhe 0,3 m gepflanzt worden. Aufgrund des schnelleren Wachstums erreicht die 1. Buche zu jedem späteren Zeitpunkt \(t>0\) immer eine größere Höhe als Buche 2.

  • Punkte:  15

d)

1.

Schritt 1: Stammfunktion nachweisen

Es ist zu zeigen, dass für alle \(t \geq 0\)  \(h'\left(t\right) = g'\left(t\right)\) ist.

\(h\left(t\right) = 27,5 \cdot \left(e^{-0,04 \cdot t} -2 \cdot e^{-0,02 \cdot t}\right) \\ \ \\ \Longrightarrow h'\left(t\right) = 27,5 \cdot \left(\left(-0,04\right)e^{-0,04 \cdot t} -2 \cdot \left(-0,02\right) \cdot e^{-0,02 \cdot t}\right) \\ \qquad \qquad \ = 27,5 \cdot 0,04 \cdot \left(e^{-0,02 \cdot t} -e^{-0,04 \cdot t}\right) \\ \qquad \qquad \ = g'\left(t\right)\)

Somit ist \(h\) eine Stammfunktion von \(g'\).

2.

Schritt 1: Höhenunterschied nach 50 Jahren bestimmen

Die Höhe eines Baumes zum Zeitpunkt \(t\) ist die Summe aus der Anfangshöhe und dem Höhenzuwachs bis zum Zeitpunkt \(t\). Letzterer ist das Integral von \(0\) bis \(t\) über die Wachstumsgeschwindigkeit. Für die Höhe \(g\) der 2. Buche gilt also

\(g\left(t\right) = 0,3 + \int_{0}^{t} \ g'\left(x\right)dx = 0,3 + [h\left(x\right)]_{0}^{t} = 0,3 + h\left(t\right) - h\left(0\right) \ ,\)

da \(h\) eine Stammfunktion von \(g'\) ist. Dabei gilt:

\(h\left(t\right) - h\left(0\right) = 27,5 \cdot \left(e^{-0,04t} - 2\cdot e^{-0,02t}\right) - 27,5 \cdot \left(1-2\right) \\ \qquad \qquad \ \ \ = 27,5\cdot \left(e^{-0,04t} - 2\cdot e^{-0,02t} +1\right) \\ \qquad \qquad \ \ \ = 27,5 \cdot \left(1-e^{-0,02t}\right)^2\)

Nach Teilaufgabe c) ist stets \(g\left(t\right) \leq f\left(t\right)\), also ist der Höhenunterschied der beiden Buchen zum Zeitpunkt \(t\) gegeben durch:

\(f\left(t\right) - g\left(t\right) = 0,3 + 35 \cdot \left(1-e^{-0,02 \cdot t}\right)^2 - \left(0,3 + h\left(t\right) - h\left(0\right)\right) \\ \qquad \qquad \ \ =35 \cdot \left(1-e^{-0,02 \cdot t}\right)^2 - 27,5 \cdot \left(1-e^{-0,02 \cdot t}\right)^2 \\ \qquad \qquad \ \ = 7,5\left(1-e^{-0,02 \cdot t}\right)^2\)

Somit ist der Höhenunterschied nach 50 Jahren:

\(f\left(50\right) - g\left(50\right) = 7,5 \left(1-e^{-0,02 \cdot 50}\right)^2 = 7,5 \cdot \left(1-e^{-1}\right)^2 \approx 2,997 \)

Die 1. Buche ist gemäß der Modellierung nach 50 Jahren um knapp 3 m höher als die 2. Buche. Die Behauptung, dass der Höhenunterschied mindesten 3,50 m betragen muss, ist daher falsch.

  • Punkte:  10

Aufgabe 2

a)

1.

Schritt 1: Startpunkt berechnen

Der \(x\)-Wert des Startpunktes ist mit \(x=-8\) gegeben. Der zugehörige \(y\)-Wert ist:

\(y_s = f\left(-8\right) =-\frac{1}{50}\left(-8\right)^3 + \frac{3}{4}\left(-8\right) = \frac{106}{25} = 4,24\)

Der Startpunkt liegt in 4,24 m Höhe.

2.

Schritt 1: Schnittpunkt \(B\) mit der \(x\)-Achse bestimmen

Die Schnittpunkte des Graphen von \(f\) mit der \(x\)-Achse haben jeweils die \(y\)-Koordinate 0. Ihre \(x\)-Koordinaten sind die Nullstellen der Funktion \(f\). Die Nullstelle bei \(x=0\) ist in der Aufgabenstellung gegeben, gefragt ist nach einer weiteren Nullstelle \(x_B\).

\(f\left(x\right) = -\frac{1}{50}x^3 + \frac{3}{4}x =0 \\ \Leftrightarrow x\cdot \left(-\frac{1}{50}x^2 + \frac{3}{4}\right)=0 \\ \Leftrightarrow x =0 \ oder \ -\frac{1}{50}x^2 + \frac{3}{4} =0\)

Die Stelle \(x=0\) ist nicht gefragt. Die weiteren Nullstellen ergeben sich wie folgt:

\(-\frac{1}{50}x^2 + \frac{3}{4} = 0 \Leftrightarrow x^2 = 50 \cdot \frac{3}{4} \Leftrightarrow x= \pm \sqrt{\frac{150}{4}} = \pm \frac{5}{2} \sqrt{6}\)

Die Nullstelle bei \(x=\frac{5}{2}\sqrt{6}\) ist auch nicht gefragt, denn die Funktion \(f\) wird nur im Bereich \(-8 \leq x\leq 0\) für die Modellierung benutzt. Der gesuchte Schnittpunkt des Graphen mit der \(x\)-Achse hat also die Koordinaten \(B \left(-\frac{5}{2}\sqrt{6} \mid 0\right)\).

3.

Schritt 1: Durchschnittliche Steigung prüfen und Punkt \(C\) finden

Die durchschnittliche Steigung des Graphen von \(f\) im Bereich \(-8 \leq x\leq 0\) ist der Quotient aus dem Höhenunterschied zwischen Start- und Endpunkt der Schanze und der Länge der Schanze, also:

\(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_A\ -\ y_S}{x_A\ -\ x_S} = \frac{0\ -\ 4,24}{0\ -\ \left(-8\right)} = \frac{-4,24}{8} = -0,53\)

Somit ist die Angabe korrekt.

Anhand von Abbildung 1 kann man erkennen, dass die Steigung von \(f\) im dargestellten Bereich stetig zunimmt. Sie ist zunächst negativ mit Betrag \(\approx 2\), wird im Tiefpunkt des Graphen 0 und ist im Punkt \(A\) positiv mit kleinem Betrag (\(<1\)).

 

 - Abbildung 1

 

Zwischen den Punkten \(S\) und \(B\) ist die durchschnittliche Steigung: 

\(\frac{y_B\ -\ y_S}{x_B\ -\ x_S} = \frac{0\ -\ 4,24}{-\frac{5}{2}\sqrt{6}\ -\ \left(-8\right)} = -\frac{4,24}{8\ -\ \frac{5}{2}\sqrt{6}} \approx -2,3\)

Somit ist die Steigung im Punkt \(S\) kleiner als \(-2,2\) und im Punkt \(A\) größer als 0. Da die Ableitung \(f'\) stetig ist, nimmt sie nach dem Zwischenwertsatz jeden Wert zwischen \(f'\left(S\right) < -2,3\) und \(f'\left(A\right) < 0\) an, insbesondere also den Durchschnittswert \(-0,53\).

Einen Durchschnittswert für die Steigung über das gesamte Intervall anzugeben ist nicht sinnvoll, weil der Graph einen Tiefpunkt durchläuft, wo die Steigung ihr Vorzeichen von – nach + wechselt. Diese Information geht bei der Angabe des Durchschnittswertes verloren und man kann aus ihr weder das durchschnittliche Gefälle vor dem Tiefpunkt noch den durchschnittlichen Anstieg nach dem Tiefpunkt ableiten.

  • Punkte:  16

b)

1.

Schritt 1: Koordinaten des Tiefpunktes berechnen

Extremstellen von \(f\) sind Nullstellen von \(f'\), die zuerst bestimmt werden. Es ist:

\(f'\left(x\right) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{50}\right) \cdot x^2 + \frac{3}{4} = - \frac{3}{50} \cdot x^2 + \frac{3}{4}\), also \(f'\left(x\right) =0 \)

\(\Leftrightarrow -\frac{3}{50} \cdot x^2 + \frac{3}{4} =0 \\ \Leftrightarrow \frac{3}{50} \cdot x^2 = \frac{3}{4} \\ \Leftrightarrow x^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{50}{3} = \frac{25}{2} \\ \Leftrightarrow x = \pm \frac{5}{2}\sqrt{2}\)

Die Stelle \(x= \frac{5}{2}\sqrt{2}\) liegt nicht im betrachteten Intervall \([-8;0]\), also kommt nur \(x=- \frac{5}{2}\sqrt{2}\) als Extremstelle infrage. Wegen

\(f''\left(x\right) = 2 \cdot \left(-\frac{3}{50}\right) \cdot x = -\frac{3}{25} \cdot x\) ist

\(f''\left(- \frac{5}{2}\sqrt{2}\right) = -\frac{3}{25} \cdot \left(-\frac{5}{2}\sqrt{2}\right) = \frac{3}{10}\sqrt{2} >0\),

also handelt es sich um ein lokales Minimum der Funktion \(f\). Der zugehörige Funktionswert ist:

\(f\left(-\frac{5}{2}\sqrt{2}\right) \ \ \ = -\frac{1}{50} \cdot \left(-\frac{5}{2}\sqrt{2}\right)^3 + \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{5}{2}\sqrt{2}\right) \\ \qquad \qquad \ \ \ \ = -\frac{1}{50} \cdot \left(-\frac{125}{8} \cdot2\sqrt{2}\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{5}{2}\sqrt{2}\right) \\ \qquad \qquad \ \ \ \ = \frac{5}{8}\sqrt{2}-\frac{15}{8}\sqrt{2} \\ \qquad \qquad \ \ \ \ \ =-\frac{10}{8}\sqrt{2} \\ \qquad \qquad \ \ \ \ \ = -\frac{5}{4}\sqrt{2}\)

Somit hat der Tiefpunkt \(T\) des Graphen von \(f\) die Koordinaten \(T \left(-\frac{5}{2}\sqrt{2} \mid -\frac{5}{4}\sqrt{2}\right)\).

2.

Schritt 1: Absprungwinkel berechnen

Gefragt ist nach dem Winkel, den die Tangente an \(f\) im Punkt \(A\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Dazu wird die Steigung \(m\) der Tangente im Punkt \(A\) benötigt, die durch den Wert der Ableitung an der entsprechenden Stelle gegeben ist.

\(m=f'\left(x_A\right) = f'\left(0\right) = \frac{3}{4}\)

Der gesuchte Winkel ergibt sich aus der Beziehung:

\(tan \ \alpha = m = \frac{3}{4} \Rightarrow \ \alpha \approx 36,9°\)

Die BMX-Fahrer verlassen die Schanze tangential unter einem Winkel von etwa 36,9° zur Horizontalen.

  • Punkte:  12

c)

1.

Schritt 1: Stammfunktion ermitteln

Da für jedes \(a \in \mathbb{N}\) eine Stammfunktion von \(x \mapsto x^a\) durch \(x \mapsto \frac{1}{a\ +\ 1} \cdot x^{a\ +\ 1}\) gegeben ist, ergibt sich mithilfe der Linearität unbestimmer Integrale

\(F\left(x\right) = - \frac{1}{200}x^4 + \frac{3}{8}x^2\)

als Stammfunktion für

\(f\left(x\right) = - \frac{1}{50}x^3 + \frac{3}{4}x\).

2.

Schritt 1: Auszuhebendes Erdvolumen berechnen

Das Volumen des ausgehobenen Bodenmaterials berechnet sich als „Querschnittsfläche der Grube mal Breite der Grube“, wobei die Breite der Grube mit der Breite der Sprungschanze übereinstimmt, also 2 m beträgt.

Die Querschnittsfläche der Grube entspricht der Fläche, die der Teil des Graphen mit der \(x\)-Achse einschließt, der unterhalb der \(x\)-Achse verläuft.

Diese Fläche kann mit einem bestimmten Integral über \(f\) bestimmt werden. Da sie aber unterhalb der \(x\)-Achse liegt, muss das negative Vorzeichen des Integrals kompensiert werden. Die Integralgrenzen sind die Nullstellen von \(f\), also \(-\frac{5}{2}\sqrt{6}\) und \(0\). Somit ist:

\(Fläche = - \int_{-\frac{5}{2}\sqrt{6}}^0 \ f\left(x\right)dx = - \left( F\left(0\right) - F \left( -\frac{5}{2}\sqrt{6}\right)\right) \\ \qquad \quad = -\frac{1}{200} \left(-\frac{5}{2}\sqrt{6}\right)^4 + \frac{3}{8}\left(-\frac{5}{2}\sqrt{6}\right)^2 \\ \qquad \quad = - \frac{625\ \cdot\ 36}{200\ \cdot\ 16} + \frac{3\ \cdot\ 25\ \cdot\ 6}{8\ \cdot\ 4} \\ \qquad \quad = -\frac{25\ \cdot\ 9}{2\ \cdot\ 16} + \frac{25\ \cdot\ 18}{32} = \frac{25}{32}\left(-9+18\right) = \frac{25\ \cdot\ 9}{32} \\ \qquad \quad = \frac{225}{32} = 7,03125\)

Da eine Längeneinheit einem Meter entspricht, beträgt die Querschnittsfläche der Grube genau 7,03125 m2. Das Volumen des auszuhebenden Bodenmaterials ist also:

\(V = 7,03125 \ m^2 \cdot 2 \ m = 14,0625 \ m^3\)

Es müssen also rund 14,1 m3 Erde für den Bau der Schanze ausgehoben werden.

  • Punkte:  8

d)

1.

Schritt 1: Bedingungen für \(h\) angeben

Knickfreier Anschluss in \(A\)

  • Der Graph der Funktion geht durch den Punkt \(A \left(0 \mid 0\right)\).
    \(\Rightarrow h\left(0\right) = 0\)
  • Der Anschluss von \(h\) an \(f\) ist knickfrei, d. h., die Steigungen beider Funktionen stimmen in \(A\) überein.
    \(\Rightarrow h'\left(0\right) = f'\left(0\right)\)

Knickfreier Anschluss in \(D\)

  • Der Graph der Funktion geht durch den Punkt \(D \left(5\mid 0\right)\).
    \(\Rightarrow h\left(5\right) = 0\)
  • Der Anschluss von \(h\) an die \(x\)-Achse ist knickfrei, d. h., die Steigung von \(h\) in \(D\) ist gleich der Steigung der \(x\)-Achse, also gleich 0.
    \(\Rightarrow h'\left(5\right) = 0\)

Schritt 2: \(h\) als ganzrationale Funktion 3. Grades

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat einen Funktionsterm der Form \(ax^3 + bx^2 + cx + d\) für geeignete Konstanten \(a,\ b,\ c\) und \(d\). Man setzt also \(h\left(x\right) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) und benutzt die obigen Bedingungen, um geeignete Konstanten zu finden.

\(h \left(0\right) = 0 \Leftrightarrow 0+0+0+d = 0 \Leftrightarrow d =0\)

\(h' \left(0\right) = f'\left(0\right) = \frac{3}{4}\),

wobei \(h'\left(x\right) = 3ax^2 + 2bx + c\) ist. Die Bedingung lautet also:

\(0+0+c = \frac{3}{4} \Leftrightarrow c=\frac{3}{4} \Rightarrow h\left(x\right) = ax^3 + bx^2 + \frac{3}{4}x\)

\(h\left(5\right) = 0 \\ \Leftrightarrow a \cdot 5^3 + b \cdot 5^2 + \frac{3}{4} \cdot 5 =0 \\ \Leftrightarrow 125a + 25b + \frac{15}{4} =0 \\ \ \\ h'\left(5\right) = 0 \\ \Leftrightarrow 3a \cdot 5^2 + 2b \cdot 5 + \frac{3}{4} =0 \\ \Leftrightarrow 75a + 10b + \frac{3}{4} =0\)

Die Parameter \(a\) und \(b\) ergeben sich aus dem linearen Gleichungssystem:

\(I: 125a + 25b + \frac{15}{4} = 0 \\ II: 75a + 10b + \frac{3}{4} \ = 0 \\ \ \\ \qquad 2 \cdot I - 5 \cdot II: \left(250 -375\right)a + \frac{30\ -\ 15}{4} =0 \\ \ \\ \Leftrightarrow -125a + \frac{15}{4} =0 \\ \Leftrightarrow a = \frac{15}{4\ \cdot\ 125} = \frac{15}{500} = \frac{3}{100} = 0,03\)

Einsetzen von \(a = \frac{3}{100}\) in \(I\) liefert:

\(125 \cdot \frac{3}{100} + 25b + \frac{15}{4} =0 \Leftrightarrow \frac{5 \cdot 3}{4} +25b + \frac{15}{4} = 0 \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \Leftrightarrow 25b = -\frac{15}{2} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \Leftrightarrow b= -\frac{15}{50} = -\frac{3}{10} = -0,3\)

Die Gleichung für \(h\) lautet demzufolge:

\(h\left(x\right) = \frac{3}{100}x^3 - \frac{3}{10}x^2 + \frac{3}{4}x\)

2.

Schritt 1: Extremwert der Steigung bestimmen

Gefragt ist nach der Maximalstelle von \(\mid h' \mid\) im Intervall \([0;5]\). Diese ist entweder ein Maximum von \(h'\) mit nicht negativem Wert oder ein Minimum von \(h'\) mit negativem Wert. Dabei ist

\(h'\left(x\right) = \frac{9}{100}x^2 - \frac{3}{5}x + \frac{3}{4},\)

d. h., der Graph von \(h'\) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Somit gibt es keine lokalen Maxima im offenen Intervall \(]0;5[\), sondern nur das globale Minimum im Scheitelpunkt bei \(x=-\frac{-\frac{3}{5}}{2\cdot \frac{9}{100}} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}\) mit dem Wert:

\(h'\left(\frac{10}{3}\right) = \frac{9}{100} \cdot \frac{100}{9} - \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} + \frac {3}{4} \\ \qquad \quad \ = 1-2 + \frac{3}{4} \\ \qquad \quad \ = -\frac{1}{4}\)

Das Maximum von \(h'\) im Intervall \([0;5]\) liegt auf dem Rand. Die beiden Randwerte wurden durch die Bedingungen in (1.) festgelegt.

\(h'\left(0\right) = \frac{3}{4}\) oder \(h'\left(5\right) =0\).

Der größte Wert von \(h'\) auf \([0;5]\) ist also \(h'\left(0\right) = \frac{3}{4}\). Wegen \(\mid \frac{3}{4} \mid \ > \ \mid -\frac{1}{4}\mid\) ist somit \(x=0\) die Stelle der betragsmäßig größten Steigung des Aufsprunghügels.

  • Punkte:  14

Aufgabe 3

a)

1.

Schritt 1: Nullstellen berechnen

Nullstellen werden wie folgt berechnet:

\(\quad \ \ f\left(x\right) = x^3 + 3x^2 \stackrel{!}{=} 0 \\ \Leftrightarrow x^2 \cdot \left(x+3\right) =0 \\ \Leftrightarrow x^2 = 0 \ oder \ x+3 =0 \\ \Leftrightarrow x = 0 \ oder \ x=-3\)

2.

Extrempunkte und Wendepunkte bestimmen

Schritt 1: Ableitungen bestimmen

Wendestellen werden mit dem hinreichenden Kriterium \(f''\left(x_0\right) = 0\) und \(f'''\left(x_0\right) \neq 0\) nachgewiesen. Dazu brauchen wir die ersten drei Ableitungen von \(f\).

\(f\left(x\right) = x^2 + 3x^2 \\ \Rightarrow f'\left(x\right) = 3 \cdot x^2 + 3 \cdot 2x = 3x^2 + 6x \\ \Rightarrow f''\left(x\right) = 3 \cdot 2x + 6 = 6x +6 \\ \Rightarrow f'''\left(x\right) =6\)

Schritt 2: Die 1. Ableitung gleich 0 setzen

Notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei \(x=x_0: f'\left(x_0\right) = 0 \ .\)

\(f'\left(x\right) = 3x^2 + 6x =0 \\ \Leftrightarrow 3x \cdot \left(x+2\right) =0 \\ \Leftrightarrow 3x = 0 \ oder \ x+2 = 0 \\ \Leftrightarrow x = 0 \ oder \ x=-2\)

Schritt 3: Die 2. Ableitung an den Nullstellen von \(f'\) berechnen

Hinreichende Bedingung für eine Extremalstelle bei \(x=x_0\):

\(f'\left(x_0\right) = 0\) und \(f''\left(x_0\right) \neq 0\) (Maximalstelle, falls \(f''\left(x_0\right) < 0\), und Minimalstelle, falls \(f''\left(x_0\right) > 0\).)

\(f''\left(0\right) = 6 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt bei \(x=0\)

\( f''\left(-2\right) = -6 < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt bei \(x=-2\)

Schritt 4: Funktionswerte an den Extremstellen berechnen

\(f\left(0\right) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 = 0 \\ f\left(-2\right) = \left(-2\right)^3 + 3 \cdot \left(-2\right)^2 = -8 +12 =4\)

Der Tiefpunkt hat die Koordinaten \(T\left(0\mid 0\right)\), der Hochpunkt die Koordinaten \(H\left(-2\mid 4\right)\).

Schritt 5: Wendestelle berechnen

Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt bei \(x=x_0: f''\left(x_0\right) = 0 .\)

\(\quad \ \ \ f''\left(x\right) =6x + 6 \stackrel{!}{=} 0 \\ \Leftrightarrow x = -1\)

Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt bei \(x=x_0: f''\left(x_0\right) = 0\) und \(f'''\left(x_0\right) \neq 0\).

Im vorliegenden Fall ist \(f'''\left(-1\right) = 6 \neq0\).

Somit ist bei \(x=-1\) eine Wendestelle von \(f\).

Schritt 6: Funktionswert an der Wendestelle berechnen

\(f\left(-1\right) = \left(-1\right)^3 + 3\cdot \left(-1\right)^2 = -1 +3 = 2\)

Der Wendepunkt hat die Koordinaten \(W \left(-1\mid 2\right)\).

  • Punkte:  13

b)

1.

Neuen Funktionsterm bestimmen

Schritt 1: Verschiebung des Graphen berechnen

Die Verschiebung des Wendepunkts \(W\left(-1\mid2\right)\) auf den Ursprung \(0\left(0\mid 0\right)\) setzt sich aus einer Verschiebung um \(1 \ LE\) in positive \(x\)-Richtung und einer Verschiebung um \(2 \ LE\) in negative \(y\)-Richtung zusammen.

Im Funktionsterm von \(f\) ist daher \(x\) durch \(x-1\) zu ersetzen und \(2\) abzuziehen, um den Funktionsterm \(f^*\left(x\right)\) des verschobenen Graphen zu erhalten.

Aus der Funktionsgleichung \(f\left(x\right) = x^3 + 3x^2\) wird in unserem Fall:

\(f^*\left(x\right) = f\left(x-1\right) -2 \\ \qquad \ \ = \left(x-1\right)^3 + 3\cdot \left(x-1\right)^2 -2 \\ \qquad \ \ = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + 3\left(x^2 -2x +1\right) -2 \\ \qquad \ \ = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + 3x^2 - 6x +3-2 \\ \qquad \ \ = x^3 - 3x = h \left(x\right)\)

\(\Longrightarrow\) Die gegebene Verschiebung bildet den Graphen der Funktion \(f\) auf den Graphen der Funktion \(h\) ab.

 

 - Abbildung 1

 

2.

Schritt 1: Punktsymmetrie begründen

Der Graph \(G_f\) ist genau dann punktsymmetrisch um \(W\), wenn der verschobene Graph \(G_h\) punktsymmetrisch um den verschobenen Punkt \(O\) ist.

Letzteres ist gewährleistet, denn:

\(h\left(-x\right) = \left(-x\right)^3 - 3 \cdot \left(-x\right) \\ \qquad \ \ \ =-x^3 + 3x \\ \qquad \ \ \ = -\left(x^3 -3x\right) \\ \qquad \ \ \ =-h\left(x\right) \ für \ alle \ x \in \mathbb{R}\)

Also ist \(h\) punktsymmetrisch zum Ursprung und somit \(f\) punktsymmetrisch um \(W\).

  • Punkte:  8

c)

1.

Fläche zwischen \(f\) und \(h\) berechnen

Schritt 1: Schnittpunkte von \(G_f\) und \(G_h\) berechnen

Die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen bilden die linke und rechte Grenze der gesuchten Fläche.

\(\quad \ \ f\left(x\right) = h\left(x\right) \\ \Leftrightarrow x^3 + 3x^2 = x^3 -3x \\ \Leftrightarrow 3x^2 = -3x \\ \Leftrightarrow 3x^2 + 3x =0 \\ \Leftrightarrow 3x \cdot \left(x+1\right) =0 \\ \Leftrightarrow 3x = 0 \ oder \ x+1 =0 \\ \Leftrightarrow x = \ oder \ x =-1\)

Die Graphen \(G_f\) und \(G_h\) schneiden sich bei \(x=0\) und \(x=-1\).

Schritt 2: Integral aufstellen und lösen

Die Fläche zwischen \(G_f\) und \(G_h\) im Bereich zwischen \(x=-1\) und \(x=0\) (wo sich die Graphen schneiden) ist gegeben durch das Integral über die nicht negative Differenz der beiden Funktionen. Wir müssen daher zuerst ermitteln, ob im Intervall \([-1;0]\) \(f\left(x\right) \leq h\left(x\right)\) oder \(f\left(x\right) \geq h\left(x\right)\) gilt. Es ist:

\(f\left(x\right) - h\left(x\right) = x^3 + 3x^2 - \left(-x^3 -3x\right) = 3x^2 + 3x = 3x \cdot \left(x+1\right)\)

Im Integrationsbereich \([-1;0]\) ist der erste Faktor negativ oder 0 und der zweite Faktor positiv oder 0. Das Produkt ist also nie positiv. Somit ist \(f\left(x\right) \leq h\left(x\right)\) und die Fläche ist:

\(\int_{-1}^0 \left(h\left(x\right) -f\left(x\right)\right)dx = \int_{-1}^0 \left(-3x^2-3x\right)dx \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ = \left[-x^3 - \frac{3}{2}x^2\right]_{-1}^0 \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ = 0-0-\left(1-\frac{3}{2}\right) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ =\frac{1}{2}\)

Die Fläche, die von den Graphen der Funktionen \(f\) und \(h\) eingeschlossen wird, hat einen Flächeninhalt von 0,5 Flächeneinheiten.

2.

Schritt 1: Fläche zwischen \(f\) und \(p\) berechnen

Bei der Verschiebung in b) (1.) wird aus dem Graphen \(G_f\) der Graph \(G_h\) und aus der Geraden \(p\) die \(x\)-Achse. Somit ist die Fläche zwischen \(G_f\) und \(p\) gleich der verschobenen Fläche zwischen \(G_h\) und der \(x\)-Achse.

 

 - Abbildung 1

 

 - Abbildung 1
 
 - Abbildung 1

 

 

Um Letztere zu berechnen, brauchen wir die Schnittstellen von \(G_h\) mit der \(x\)-Achse, also die Nullstellen von \(h\).

\(\quad \ \ \ h\left(x\right) = x^3 -3x \stackrel{!}{=} 0 \\ \Leftrightarrow x\cdot \left(x^2-3\right) = 0 \\ \Leftrightarrow x = 0 \ oder \ x^2-3 =0 \\ \Leftrightarrow x = 0 \ oder \ x=-\sqrt{3} \ oder \ x=\sqrt{3}\)

Die gesuchte Fläche setzt sich also aus zwei Teilflächen zusammen: die erste von \(x=-\sqrt{3}\) bis \(x=0\) und die zweite von \(x=0\) bis \(x=\sqrt{3}\). Aufgrund der Punktsymmetrie von \(G_h\) zum Ursprung \(0\left(0\mid0\right)\) ist die rechte Teilfläche genauso groß wie die linke.

Die linke Teilfläche ist

\(A_1 = \left \vert \int_{-\sqrt{3}}^0 h\left(x\right)dx \right \vert\), wobei:

\(\int_{-\sqrt{3}}^0 h\left(x\right)dx = \int_{-\sqrt{3}}^0\left(x^3 -3x\right)dx \\ \qquad \qquad \quad \ = \left[\frac{1}{4}x^4 -\frac{3}{2}x^2\right]_{-\sqrt{3}}^0 \\ \qquad \qquad \quad \ = 0-0-\left(\frac{1}{4} \cdot 9 - \frac{3}{2} \cdot 3\right) = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} \\ \qquad \qquad \quad \ =\frac{9}{4}\)

Somit ist \(A_1 = \mid \frac{9}{4}\mid = \frac{9}{4}\) und die Gesamtfläche \(A=2 \cdot A_1 = \frac{9}{2} =4,5 \ .\)

Die Fläche, die von \(G_h\) und der \(x\)-Achse eingeschlossen wird, hat einen Flächeninhalt von 4,5 Flächeneinheiten. Dasselbe gilt also für die Fläche, die von \(G_f\) und \(p\) eingeschlossen wird.

  • Punkte:  14

d)

1.

Wendetangente berechnen

Schritt 1: Allgemeine Geradengleichung aufstellen

Die gesuchte Wendetangente ist eine Gerade, besitzt also eine Gleichung der Form \(y= mx + b\).

Um die Parameter \(m\) und \(b\) zu bestimmen, brauchen wir die Steigung und die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden, dazu eignet sich der Wendepunkt.

Schritt 2: Wendestelle suchen

Hinreichende Bedingung für eine Wendestelle bei \(x=x_0: f''_a\left(x_0\right) = 0\) und \(f'''_a\left(x_0\right) \neq 0\)

Nun ist:

\(\quad \ \ f_a\left(x\right) = x^3 + a \cdot x^2 \\ \Rightarrow f'_a\left(x\right) = 3x^2 + a\cdot 2x = 3x^2 + 2ax \\ \Rightarrow f''_a\left(x\right) = 6x + a \cdot 2 = 6x + 2a \\ \Rightarrow f'''_a\left(x\right) =6\)

Nullsetzen der 2. Ableitung liefert:

\(\quad \ \ f''_a\left(x\right) = 6x + 2a = 0 \\ \Leftrightarrow 6x = -2a \\ \Leftrightarrow x = -\frac{a}{3}\)

Wegen \(f'''_a\left(-\frac{a}{3}\right) = 6 \neq 0\) ist bei \(x=-\frac{a}{3}\) eine Wendestelle von \(f_a\).

Schritt 3: Funktionswert an der Wendestelle berechnen

\(f_a \left(-\frac{a}{3}\right) = \left(-\frac{a}{3}\right)^3 + a \cdot \left(-\frac{a}{3}\right)^2 \\ \qquad \qquad = -\frac{a^3}{27} + a\cdot \frac{a^2}{9} \\ \qquad \qquad = -\frac{1}{27}a^3 + \frac{1}{9}a^3 \\ \qquad \qquad = \frac{2}{27}a^3\)

Die Steigung der Wendetangente ist gegeben durch die 1. Ableitung von \(f_a\) an der Wendestelle.

\(f'_a \left(-\frac{a}{3}\right) = 3\left(-\frac{a}{3}\right)^2 + 2a \cdot \left(-\frac{a}{3}\right) \\ \qquad \qquad = 3\cdot \frac{a^2}{9} - 2 \cdot \frac{a^2}{3} \\ \qquad \qquad = \frac{1}{3}a^2- \frac{2}{3}a^2 \\ \qquad \qquad = -\frac{1}{3}a^2\)

Somit ist \(m=-\frac{1}{3}a^2\) und wir können die Koordinaten des Wendepunktes in die Geradengleichung einsetzen, um den Parameter \(b\) zu bestimmen.

\(\quad \ \ \ y_W = m \cdot x_W +b \\ \Leftrightarrow \frac{2}{27}a^3 = -\frac{1}{3}a^2 \cdot \left(-\frac{a}{3}\right) +b \\ \Leftrightarrow \frac{2}{27}a^3 = \frac{a^3}{9} +b \\ \Leftrightarrow b = \frac{2}{27}a^3 - \frac{a^3}{9} = -\frac{1}{27}a^3\)

Die Gleichung der Tangente im Wendepunkt lautet:

\(y= -\frac{1}{3}a^2x -\frac{1}{27}a^3\)

2.

Schritt 1: Fläche berechnen

Die gesuchte Fläche wird von drei Geraden begrenzt, ist also ein Dreieck. Die Seitenlängen ergeben sich mit den Achsenabschnitten der Wendetangente.

Der \(x\)-Achsenabschnitt ist die Nullstelle der Wendetangente.

\(\quad \ \ -\frac{1}{3}a^2x -\frac{1}{27}a^3 = 0 \\ \Leftrightarrow -\frac{1}{3}a^2x = \frac{1}{27}a^3 \\ \Leftrightarrow -\frac{1}{3}a^2x = -\frac{3}{27}a =-\frac{1}{9}a\)

Der \(y\)-Achsenabschnitt ist der Parameter \(t\) aus der Geradengleichung, also \(- \frac{1}{27}a^3\). Wegen \(a>0\) sind beide Achsenabschnitte negativ, d. h., die gesuchte Fläche sieht wie folgt aus:

 - Abbildung 1

 

Wählt man als Grundseite die obere Kante, so ist die Höhe des Dreiecks gerade die Länge der rechten Kante, also \(\frac{a^3}{27}\). Somit ist der gesuchte Flächeninhalt \(A_D\) gegeben durch:

\(A_D=\frac{1}{2} \cdot Grundseite \cdot Höhe = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{9} \cdot \frac{a^3}{27} = \frac{a^4}{486}\)

Das von der Wendetangente und den Koordinatenachsen eingeschlossene Dreieck hat eine Fläche von \(\frac{1}{486}a^4\) Flächeneinheiten.

  • Punkte:  15

Lineare Algebra / Analytische Geometrie WTR

Aufgabe 4

a)

1.

Schritt 1: Seitenlängen berechnen

Die Seitenlängen sind die Abstände der Eckpunkte voneinander.

\(d\left(A,C\right) = \mid\overline{AC}\mid = \mid\overline{OC} - \overline{OA} \mid \\ \qquad \quad \ = \left \vert \left(\begin{array}{c}31\\ 12\\ 14\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}30\\ 10\\ 16\end{array}\right) \right \vert = \left \vert \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right) \right \vert \\ \qquad \quad \ = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3\)

\(d\left(B,C\right) = \mid\overline{BC}\mid = \mid\overline{OC} - \overline{OB} \mid \\ \qquad \quad \ = \left \vert \left(\begin{array}{c}31\\ 12\\ 14\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}32\\ 11\\ 18\end{array}\right) \right \vert = \left \vert \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -4\end{array}\right) \right \vert \\ \qquad \quad \ = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)

\(d\left(A,B\right) = \mid\overline{AB}\mid = \mid\overline{OB} - \overline{OA} \mid \\ \qquad \quad \ = \left \vert \left(\begin{array}{c}32\\ 11\\ 18\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}30\\ 10\\ 16\end{array}\right) \right \vert = \left \vert \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right) \right \vert \\ \qquad \quad \ = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3\)

Die Seitenlängen des Dreiecks betragen

\(\overline{AC} = 3 \ dm\)\(\overline{BC} = 3\sqrt{2} \ dm\) und \(\overline{AB} = 3 \ dm\).

2.

Schritt 1: Position des rechten Winkels und Flächeninhalt bestimmen

Der rechte Winkel liegt gegenüber der längsten Seite, also gegenüber \(BC\). Somit handelt es sich um \(\sphericalangle BAC\) an der Ecke \(A\).

Der Flächeninhalt eines Dreiecks wird berechnet mit \(A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\), mit \(g\) = Grundseite und \(h\) = Höhe des Dreiecks.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck kann man eine der Katheten als Grundseite, die andere als Höhe wählen, z. B.:

\(g = \overline{AC}; \ h=\overline{AB}\)

Damit folgt:

\(A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{AB} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4,5\)

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 4,5 dm2.

  • Punkte:  12

b)

1.

Schritt 1: Vorüberlegungen notieren

Die Eckpunkte des Schattens \(A', \ B'\) und \(C'\) liegen auf den Verlängerungen der Geraden, die sich zwischen der Lichtquelle \(L\) und den Eckpunkten \(A, \ B\) und \(C\) des Pappdreiecks erstrecken.

Da der Schatten auf der Leinwand liegt und die Leinwand in der \(x_2 x_3\)-Ebene, sind die Eckpunkte \(A', \ B'\) und \(C'\) des Schattendreiecks die Schnittpunkte der drei genannten Geraden mit der \(x_2 x_3\)-Ebene.

Zunächst müssen die Gleichungen der Geraden, auf denen die Lichtquelle und je ein Eckpunkt des Pappdreiecks liegen, ermittelt werden.

Schritt 2: Geradengleichung aufstellen

Für die Gerade durch \(L\) und \(A\) wählen wir den Aufpunkt \(L\) und den Richtungsvektor \(\overrightarrow{LA}\). Somit ergibt sich die Gleichung:

\(g_{L,A}: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OL} + r \cdot \overrightarrow{LA} = \overrightarrow{OL} + r \cdot \left(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OL}\right) \\ \qquad \quad \ \ = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 18\end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c}30-40\\ 10-10\\ 16-18\end{array}\right) \\ \qquad \quad \ \ = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 18\end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ -2\end{array}\right)\)

Für die Gerade durch \(L\) und \(B\) wählen wir den Aufpunkt \(L\) und den Richtungsvektor \(\overrightarrow{LB}\). Somit ergibt sich die Gleichung:

\(g_{L,B}: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OL} + r \cdot \overrightarrow{LB} = \overrightarrow{OL} + r \cdot \left(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OL}\right) \\ \qquad \quad \ \ = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 18\end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c}32-40\\ 11-10\\ 18-18\end{array}\right) \\ \qquad \quad \ \ = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 18\end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ 0\end{array}\right)\)

Für die Gerade durch \(L\) und \(C\) wählen wir den Aufpunkt \(L\) und den Richtungsvektor \(\overrightarrow{LC}\). Somit ergibt sich die Gleichung:

\(g_{L,C}: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OL} + r \cdot \overrightarrow{LC} = \overrightarrow{OL} + r \cdot \left(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OL}\right) \\ \qquad \quad \ \ = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 18\end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c}31-40\\ 12-10\\ 14-18\end{array}\right) \\ \qquad \quad \ \ = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 18\end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 2\\ -4\end{array}\right)\)

Schritt 3: Koordinaten der Eckpunkte berechnen

Die Eckpunkte des Schattens sind die Schnittpunkte der Geraden \(g_{L,A}, \ g_{L,B}\) und \(g_{L,C}\) mit der \(x_2 x_3\)-Ebene. Letztere hat die Gleichung \(x_1=0\). Von jeder Geraden muss also die erste Komponente gleich 0 gesetzt werden.

1) \(g_{L,A}: \ 40-10r = 0 \Leftrightarrow r=4\)

Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

\(\overrightarrow{OA'} = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 18\end{array}\right) + 4 \cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\-2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\ 10\\10\end{array}\right) \Rightarrow A'\left(0\mid 10 \mid 10\right)\)

2) \(g_{L,B}: \ 40-8r = 0 \Leftrightarrow r=5\)

Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

\(\overrightarrow{OB'} = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 18\end{array}\right) + 5 \cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\ 15\\18\end{array}\right) \Rightarrow B'\left(0\mid 15 \mid 18\right)\)

3) \(g_{L,C}: \ 40-9r = 0 \Leftrightarrow r=\frac{40}{9}\)

Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

\(\overrightarrow{OC'} = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 18\end{array}\right) + \frac{40}{9} \cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 2\\-4\end{array}\right) = \frac{2}{9} \left(\begin{array}{c}180-180\\ 45+40\\81-80\end{array}\right) = \frac{2}{9} \cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 85\\1\end{array}\right) \Rightarrow C'\left(0\mid \frac{170}{9} \mid \frac{2}{9}\right)\)

Die Eckpunkte des Schattendreiecks haben also die Koordinaten

\(A'\left(0\mid 10 \mid 10\right)\), \(B'\left(0\mid 15 \mid 18\right)\) und \(C'\left(0\mid \frac{170}{9} \mid \frac{2}{9}\right)\).

  • Punkte:  12

c)

1.

Schritt 1: Orthogonalität prüfen

Zu zeigen ist, dass die Dreieckseiten \(\overrightarrow{A'C'}\) und \(\overrightarrow{B'A'}\) keinen rechten Winkel bilden, d. h. \(\overrightarrow{A'C'} \cdot \overrightarrow{B'A'} \neq 0\). Dabei ist:

\(\overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{OC'} - \overrightarrow{OA'} = \left(\begin{array}{c}0\\ \frac{170}{9}\\\frac{2}{9}\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}0\\ 10\\10\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0-0\\ \frac{170}{9}-10\\\frac{2}{9}-10\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\ \frac{80}{9}\\-\frac{88}{9}\end{array}\right) \) und

\(\overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{OA'} - \overrightarrow{OB'} = \left(\begin{array}{c}0\\ 10\\10\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}0\\ 15\\18\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0-0\\ 10-15\\10-18\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\ -5\\-8\end{array}\right)\)

Nun ist:

\(\overrightarrow{A'C'} \cdot \overrightarrow{B'A'} = \left(\begin{array}{c}0\\ \frac{80}{9}\\-\frac{88}{9}\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -5\\-8\end{array}\right) \\ \qquad \qquad \quad \ \ = 0 \cdot 0 + \frac{80}{9} \cdot \left(-5\right)+\left(-\frac{88}{9}\right) \cdot \left(-8\right) \\ \qquad \qquad \quad \ \ = 0-\frac{400}{9} + \frac{704}{9} \neq 0\).

Damit stehen die beiden Dreieckseiten \(\overrightarrow{A'C'}\) und \(\overrightarrow{B'A'}\) nicht senkrecht aufeinander.

Das Schattendreieck hat in \(A'\) keinen rechten Winkel.

  • Punkte:  5

d)

1.

Schritt 1: Pyramidenvolumen ermitteln

Das Volumen einer Pyramide wird wie folgt berechnet:

\(V=\frac{1}{3} \cdot A_p \cdot h_p\), mit \(A_p\) = Grundfläche und \(h_p\) = Höhe der Pyramide

Der Flächeninhalt der Grundfläche \(A'B'C'\) ist mit 60 dm2 gegeben. Die Höhe der Pyramide ist der senkrechte Abstand zwischen der Grundfläche und der Pyramidenspitze \(L\).

Schritt 2: Bestimmung der Höhe der Pyramide

Die Grundfläche der Pyramide liegt in der \(x_2 x_3\)-Ebene. Die Höhe der Pyramide ist somit die \(x_1\)-Koordinate der Spitze \(L\), also 40 dm.

Pyramidenvolumen

Das Volumen der Pyramide ist damit:

\(V=\frac{1}{3} \cdot A_p \cdot h_p = \frac{1}{3} \cdot 60 \ dm^2 \cdot 40 \ dm = 800 \ dm^3\)

2.

Gleichungen für \(E_{ABC}, \ \overrightarrow{n}\), und \(l\)

Schritt 1: Ebenengleichung für \(E_{ABC}\)

Allgemein lautet die Parameterform einer Ebene:

\(E: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + r \cdot \overrightarrow{u} + s \cdot \overrightarrow{v};\quad \ r \in \mathbb{R}, \ s \in \mathbb{R},\)

wobei \(\overrightarrow{a}\) ein Stützvektor und \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) Spannvektoren der Ebene sind.

Wir setzen \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{OA} = \left(\begin{array}{c}30\\ 10\\16\end{array}\right)\).

Als Spannvektoren eignen sich die beiden Dreieckseiten, die am Eckpunkt \(A\) anliegen, also \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\), wie sie in Teilaufgabe a) (1.) berechnet wurden.

\(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} = \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\2\end{array}\right)\) und \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC} = \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\-2\end{array}\right)\)

Die Ebenengleichung lautet somit:

\(E_{ABC} : \overrightarrow{x} = \left(\begin{array}{c}30\\ 10\\16\end{array}\right) +r \cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\2\end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\-2\end{array}\right)\)

Schritt 2: Normalenvektor bestimmen

Der Vektor \(\overrightarrow{n} = \left(\begin{array}{c}n_1\\n_2 \\n_3\end{array}\right)\) soll senkrecht auf \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) stehen, d. h., es muss \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{v} = 0\) gelten.

Dabei ist:

\(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u} = \left(\begin{array}{c}n_1\\ n_2\\n_3\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\2\end{array}\right) = n_1 \cdot 2 + n_2 \cdot 1 + n_3 \cdot 2\)

und:

\(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{v} = \left(\begin{array}{c}n_1\\ n_2\\n_3\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\-2\end{array}\right) = n_1 \cdot 1 + n_2 \cdot 2 + n_3 \cdot \left(-2\right)\)

Das führt auf ein Gleichungssystem von 2 Gleichungen für 3 Unbekannte.

\(I: \ \ \ \ n_1 +2n_2 -2n_3 =0 \\ II: 2n_1 +\ \ n_2 + 2n_3 =0\)

Eine der Koordinaten des Normalenvektors kann daher frei gewählt werden (nur nicht gleich 0), bspw. \(n_1 =1\).

Damit wird das Gleichungssystem zu:

\(I': 1+ 2n_2 - 2n_3 = 0 \Rightarrow \left(*\right) \ n_2 = n_3-\frac{1}{2} \\ II': 2 + n_2 + 2n_3 =0\)

\(\left(*\right) \) in \(II'\) eingesetzt liefert:

\(2+n_3 - \frac{1}{2} + 2n_3 = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2} + 3n_3 = 0 \Leftrightarrow \left(**\right) \ n_3 = -\frac{1}{2}\)

\(\left(**\right) \) in \(\left(*\right) \) eingesetzt liefert:
 
\(n_2 =-\frac{1}{2} -\frac{1}{2} =-1\)

Somit ist \(\overrightarrow{n} = \left(\begin{array}{c}n_1\\n_2 \\n_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\-1 \\-\frac{1}{2}\end{array}\right)\). Um mit möglichst wenigen Vorzeichen und Brüchen weiterrechnen zu können, empfiehlt sich der einfachere Normalenvektor \(-2 \cdot \overrightarrow{n} = \left(\begin{array}{c}-2\\2 \\1\end{array}\right)\). Fortan soll dieser mit \(\overrightarrow{n}\) bezeichnet werden.

Schritt 3: Gerade \(l\) bestimmen

Als Aufpunkt wählen wir \(L\) und als Richtungsvektor \(\overrightarrow{n}\). Damit ist gewährleistet, dass die Gerade durch den Punkt \(L\) verläuft und senkrecht auf \(E_{ABC}\) steht.

Parametergleichung:

\(l: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OL} + t \cdot \overrightarrow{n} =\left(\begin{array}{c}40\\ 10\\18\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\1\end{array}\right);\quad \ t \in \mathbb{R}\)

3.

Schnittpunkt \(F\) und Abstand von \(L\) zu \(F\) bestimmen

Schritt 1: Schnittpunkt \(F\) finden

Die Gleichungen der Geraden \(l\) und der Ebene \(E_{ABC}\) wurden oben bereits in Parameterform ermittelt.

\(E_{ABC}: \overrightarrow{x} = \left(\begin{array}{c}30\\ 10\\16\end{array}\right) + r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\2\end{array}\right) + s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\-2\end{array}\right) \)

und

\(l: \overrightarrow{x} = \left(\begin{array}{c}40\\ 10\\18\end{array}\right) + t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\1\end{array}\right)\)

Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt ein Gleichungssystem für die Parameter \(r,\ s\) und \(t\).

\(\left(\begin{array}{c}40\\ 10\\18\end{array}\right) + t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\1\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}30\\ 10\\16\end{array}\right) + r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\2\end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\-2\end{array}\right) \)

\(I: 40 - 2t = 30 + 2r + s \Leftrightarrow 2r + s + 2t = 10 \\ II: 10 + 2t = 10 + r + 2s \Leftrightarrow r + 2s - 2t =0 \\ III: 18 +t = 16 + 2r - 2s \Leftrightarrow 2r-2s-t=2\)

In Matrixschreibweise lautet die zugehörige Gleichung:

\(\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}1\\ 2\\-2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}2\\ -2\\-1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}r\\ s\\t \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}10\\ 0\\2 \end{array}\right)\)

Bestimmung der inversen Matrix mittels Gauß-Algorithmus:

\(\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}1\\ 2\\-2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}2\\-2\\-1 \end{array} \left| \begin{array}{c}1\\ 0\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 1\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 0\\1 \end{array}\right)\right.\)

\(\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 2\\-2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}4\\-2\\-1 \end{array} \left| \begin{array}{c}1\\ 0\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 1\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 0\\1 \end{array}\right)\right.\)

\(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 3\\-2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}4\\-6\\-1 \end{array} \left| \begin{array}{c}1\\ -1\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 2\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 0\\1 \end{array}\right)\right.\)

\(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 3\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}4\\-6\\-9 \end{array} \left| \begin{array}{c}1\\ -1\\-2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 2\\2 \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 0\\1 \end{array}\right)\right.\)

\(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 3\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}4\\-6\\-1 \end{array} \left| \begin{array}{c}1\\ -1\\\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 2\\-\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 0\\-\frac{1}{9} \end{array}\right)\right.\)

\(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 3\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}4\\0\\1 \end{array} \left| \begin{array}{c}1\\ \frac{1}{3}\\\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ \frac{2}{3}\\-\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ -\frac{2}{3}\\-\frac{1}{9} \end{array}\right)\right.\)

\(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ 1\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}4\\0\\1 \end{array} \left| \begin{array}{c}1\\ \frac{1}{9}\\\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}-1\\ \frac{2}{9}\\-\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ -\frac{2}{9}\\-\frac{1}{9} \end{array}\right)\right.\)

\(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 1\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}4\\0\\1 \end{array} \left| \begin{array}{c}\frac{10}{9}\\ \frac{1}{9}\\\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}-\frac{7}{9}\\ \frac{2}{9}\\-\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}-\frac{2}{9}\\ -\frac{2}{9}\\-\frac{1}{9} \end{array}\right)\right.\)

\(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 1\\0 \end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\0\\1 \end{array} \left| \begin{array}{c}\frac{2}{9}\\ \frac{1}{9}\\\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}\frac{1}{9}\\ \frac{2}{9}\\-\frac{2}{9} \end{array}\ \ \begin{array}{c}\frac{2}{9}\\ -\frac{2}{9}\\-\frac{1}{9} \end{array}\right)\right.\)

Damit ist die Lösung des linearen Gleichungssystems:

\(\left(\begin{array}{c}r\\ s \\t\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\frac{2}{9}\\ \frac{1}{9} \\\frac{2}{9}\end{array}\ \ \begin{array}{c}\frac{1}{9}\\ \frac{2}{9} \\-\frac{2}{9}\end{array} \ \ \begin{array}{c}\frac{2}{9}\\ -\frac{2}{9} \\-\frac{1}{9}\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 0 \\2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\frac{8}{3}\\ -\frac{1}{3} \\2\end{array}\right)\)

Einsetzen von \(t=2\) in die Geradengleichung von \(l\) liefert den Ortsvektor von \(F\), nämlich:

\(\overrightarrow{OF} = \left(\begin{array}{c}40\\ 10 \\18\end{array}\right) + 2 \cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2 \\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}36\\ 14 \\20\end{array}\right) \Rightarrow F\left(36 \mid 14 \mid 20\right)\)

Schritt 2: Abstand von \(L\) zu \(F\) berechnen

Der gesuchte Abstand ist:

\(d\left(L,F\right) = \mid \overrightarrow{LF}\mid = \mid \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OL} \mid \\ \qquad \quad \ = \left \vert \left(\begin{array}{c}36\\ 14 \\20\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}40\\ 10 \\18\end{array}\right) \right \vert = \left \vert\left(\begin{array}{c}-4\\ 4 \\2\end{array}\right) \ \right \vert \\ \qquad \quad \ = \sqrt{\left(-4\right)^2 + 4^2 +2^2} = \sqrt{36} \\ \qquad \quad \ = 6\)

Der Abstand zwischen \(L\) und \(F\) beträgt 6 dm.

4.

Schritt 1: Volumen des Schattenraums bestimmen

\(V_1\) sei das Volumen der großen Pyramide mit Grundfläche \(A'B'C'\) und Spitze \(L\). Nach Teilaufgabe d) (1.) ist \(V_1 = 800 \ dm^3\).

Sei \(V_2\) das Volumen der kleinen Pyramide mit Grundfläche \(ABC\) und Spitze \(L\). Die Grundfläche dieser Pyramide ist nach Teilaufgabe a) (2.) 4,5 dm². Ihre Höhe ist der Abstand der Spitze \(L\) zur Grundfläche. Die kürzeste Verbindung von \(L\) zur Grundfläche ist entlang der Lotgeraden \(l\), die im Punkt \(F\) die Grundfläche schneidet. Also ist die Höhe \(h_2\) der Pyramide \(ABCL\) gegeben durch:

\(h_2 =d\left(L,E_{ABC}\right) = d\left(L,E\right) = 6 \ [dm]\)

Somit ist:

\(V_2 =\frac{1}{3} \cdot A_{ABC} \cdot h_2 = \frac{1}{3} \cdot 4,5 \ dm^2 \cdot 6 \ dm = 9 \ dm^3\)

Das Volumen des Schattenraums ist die Differenz der Volumina der beiden Pyramiden, also:

\(V= V_1 - V_2 = 800 \ dm^3 - 9 \ dm^3 = 791 \ dm ^3\)

  • Punkte:  21

Aufgabe 5

a)

1.

Schritt 1: Parallelogrammeigenschaften nachweisen

Zu zeigen ist, dass die gegenüberliegenden Seiten parallel sind, d. h. \(AB \ || \ CD\) und \(BC \ || \ AD\). Zunächst ist:

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)\\ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)\\ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-2\\ 0\end{array}\right) \\ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)\)

Wegen \(\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right) =- \left(\begin{array}{c}-2\\ 0\end{array}\right)\) sind \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{CD}\) linear abhängig, also gilt \(AB \ || \ CD\). \(\overrightarrow{BC}\) und \(\overrightarrow{AD}\) sind identisch, also gilt auch \(BC \ || \ AD\).

Die Seiten \(AB\) und \(CD\) sowie die Seiten \(BC\) und \(DA\) sind jeweils parallel, womit nachgewiesen ist, dass \(ABCD\) ein Parallelogramm ist.

2.

Bildpunkte berechnen und Quadrateigenschaft nachweisen

Schritt 1: Bildpunkte berechnen

Setze \(A'\left(a_1 \mid a_2\right)\) als Bildpunkt von \(A\left(-1\mid 0\right)\):

\(\left(\begin{array}{c}a'_1\\ a'_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\ \begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) \\ \qquad \ \ \ = \left(\begin{array}{c}(-1) \cdot (-1)+ 2\cdot 0\\1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) \\ \\ \qquad \ \ \ = \left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)\)

\(B'\left(b_1 \mid b_2\right)\) als Bildpunkt von \(B\left(1\mid 0\right)\):

\(\left(\begin{array}{c}b'_1\\ b'_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\ \begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) \\ \qquad \ \ \ = \left(\begin{array}{c}(-1) \cdot 1+ 2\cdot 0\\1 \cdot 1 + 0 \cdot 0\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) \\ \\ \qquad \ \ \ = \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right)\)

\(C'\left(c_1 \mid c_2\right)\) als Bildpunkt von \(C\left(3\mid 2\right)\):

\(\left(\begin{array}{c}c'_1\\ c'_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\ \begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) \\ \qquad \ \ \ = \left(\begin{array}{c}(-1) \cdot 3+ 2\cdot 2\\1 \cdot 3 + 0 \cdot 2\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) \\ \\ \qquad \ \ \ = \left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\right)\)

\(D'\left(d_1 \mid d_2\right)\) als Bildpunkt von \(D\left(1\mid 2\right)\):

\(\left(\begin{array}{c}d'_1\\ d'_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\ \begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) \\ \qquad \ \ \ = \left(\begin{array}{c}(-1) \cdot 1+ 2\cdot 2\\1 \cdot 1 + 0 \cdot 2\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) \\ \\ \qquad \ \ \ = \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\)

Die Bildpunkte haben die Koordinaten \(A'\left(-1\mid 0\right)\), \(B'\left(-3 \mid 2\right)\), \(C'\left(-1 \mid 4\right)\), \(D'\left(1 \mid 2\right)\).

Schritt 2: Quadrateigenschaften nachweisen

Zu zeigen ist, dass die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind und benachbarte Seiten einen rechten Winkel bilden.

Parallelität gegenüberliegender Seiten nachweisen

\(\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{OB'} -\overrightarrow{OA'} = \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right) \\ \overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{OC'} -\overrightarrow{OB'} = \left(\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right) \\ \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{OD'} -\overrightarrow{OC'} = \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right) \\ \overrightarrow{A'D'} = \overrightarrow{OD'} -\overrightarrow{OA'} = \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right) \\\)

Es ist \(\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right) = - \left(\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right)\), also sind \(\overrightarrow{A'B'}\) und \(\overrightarrow{C'D'}\) linear abhängig und somit \(A'B' \ || \ C'D'\). \(\overrightarrow{B'C'}\) und \(\overrightarrow{A'D'}\) sind identisch und somit \(B'C' \ || \ A'D'\).

Seitenlängen vergleichen

Die Längen der Seiten sind:

\(\overline{A'B'} = \left \vert \overrightarrow{A'B'} \right \vert = \sqrt{(-2)^2 +2^2} = \sqrt{8} \\ \overline{B'C'} = \left \vert \overrightarrow{B'C'} \right \vert = \sqrt{2^2 +2^2} = \sqrt{8} \\ \overline{C'D'} = \left \vert \overrightarrow{C'D'} \right \vert = \sqrt{2^2 +(-2)^2} = \sqrt{8} \\ \overline{D'A'} = \left \vert \overrightarrow{D'A'} \right \vert = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8}\)

Damit sind alle vier Seiten des Vierecks gleich lang.

Innenwinkel untersuchen

Nun wird geprüft, dass alle Innenwinkel rechte Winkel sind.

Winkel bei \(A'\):

\(\overrightarrow{A'B'} \circ \overrightarrow{D'A'} = \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\end{array}\right) = (-2) \cdot (-2) + 2 \cdot (-2) = 4-4 =0\)

Winkel bei \(B'\):

\(\overrightarrow{B'C'} \circ \overrightarrow{A'B'} = \left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right) = 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 2 = -4+4 =0\)

Winkel bei \(C'\):

\(\overrightarrow{B'C'} \circ \overrightarrow{C'D'} = \left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) = 4-4 =0\)

Winkel bei \(D'\):

\(\overrightarrow{C'D'} \circ \overrightarrow{D'A'} = \left(\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\end{array}\right) = 2 \cdot (-2) + (-2) \cdot (-2) = -4+4 =0\)

Alle Innenwinkel des Vierecks sind rechte Winkel.

Das Viereck \(A'B'C'D'\) ist ein Quadrat.

  • Punkte:  12

b)

1.

Bildgerade \(g'\) und Lagebeziehung von \(g\) und \(g'\) bestimmen

Schritt 1: Gleichung der Bildgerade finden

Die Gleichung von \(g\) lautet:

\(g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1+3r\\ -1+r\end{array}\right)\)

Einsetzen in die Gleichung der Abbildung \(\alpha\) liefert:

\(\alpha \left(\begin{array}{c}1+3r\\ -1+r\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\ \begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}1 +3r\\ -1+r\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) \\ \qquad \qquad \quad \ \ = \left(\begin{array}{c}(-1) \cdot (1+3r) + 2 \cdot (-1 +r)\\ 1\cdot (1+3r)+0 \cdot (-1+r) \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) \\ \qquad \qquad \quad \ \ = \left(\begin{array}{c}-3-r\\ 1+3r\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-5-r\\ 2+3r\end{array}\right) \\ \qquad \qquad \quad \ \ =\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\end{array}\right) + r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)\)

Die Bildgerade hat also die Gleichung:

\(g': \vec{x} = \left(\begin{array}{c}-5\\ 2\end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right); \quad r \in \mathbb{R}\).

Schritt 2: Lagebeziehung zwischen  \(g\) und \(g'\) bestimmen

Um die Schnittmenge der Geraden \(g\) und \(g'\) zu bestimmen, müssen die Geradengleichungen mit unterschiedlichen Parametern herangezogen werden; wir nehmen \(s\) für \(g'\). Gleichsetzen von \(g\) und \(g'\) liefert dann \(\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-5\\ 2\end{array}\right) + s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)\), also als lineares Gleichungssystem:

\(I: 1+3r = -5-s \\ II: -1 + r = 2+3s\)

\(I -3 \cdot II: 4=-11-10s \Leftrightarrow 15=-10s \Leftrightarrow s =-\frac{3}{2}\)

Eingesetzt in \(I\) liefert das:

\(1+3r =-5+\frac{3}{2} \Leftrightarrow 3r =-\frac{9}{2} \Leftrightarrow r= -\frac{3}{2}\)

Somit gibt es genau einen Schnittpunkt von \(g\) und \(g'\), nämlich \((1-\frac{3}{2} \cdot 3 \left \vert -1 -\frac{3}{2} \cdot 1) = (-\frac{7}{2} \right \vert - \frac{5}{2})\).

2.

Bildgerade \(h'\) und Lagebeziehung von \(h\) und \(h'\) bestimmen

Schritt 1: Gleichung der Bildgerade finden

Die Gleichung von \(h\) lautet:

\(h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c}-3\\ -2\end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-3 +2s\\ -2-s\end{array}\right)\)

Einsetzen in die Gleichung der Abbildung \(\alpha\) liefert:

\(\alpha \left(\begin{array}{c}-3+2s\\ -2-s\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\ \begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}-3+2s\\ -2-s\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) \\ \qquad \qquad \quad \ \ = \left(\begin{array}{c}(-1) \cdot (-3+2s) + 2 \cdot (-2-s)\\ 1\cdot (-3+2s)+0 \cdot (-2-s) \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) \\ \qquad \qquad \quad \ \ = \left(\begin{array}{c}-1-4s\\ -3+2s\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-3-4s\\ -2+2s\end{array}\right) \\ \qquad \qquad \quad \ \ =\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\end{array}\right) + s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\end{array}\right)\)

Die Bildgerade hat also die Gleichung:

\(h': \vec{x} = \left(\begin{array}{c}-3\\ -2\end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\end{array}\right);\quad \ s \in \mathbb{R}\)

Schritt 2: Lagebeziehung zwischen \(h\) und \(h'\) bestimmen

Die Richtungsvektoren \(\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)\) und \(\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\end{array}\right)\) sind linear abhängig, denn \(\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\end{array}\right) = (-2) \cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)\). Daher verlaufen die Geraden parallel. Des Weiteren stimmen die Aufpunkte überein. Also ist \(h=h' .\)

  • Punkte:  13

c)

1.

Schritt 1: \(\alpha (0\mid4)\) bestimmen

\(\alpha \left(\begin{array}{c}0\\ 4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\ \begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 4\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}(-1) \cdot 0 + 2 \cdot 4\\ 1 \cdot 0 + 0 \cdot 4\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)\)

Der Bildpunkt hat die Koordinaten \(P'(6\mid1)\).

2. und 3.

Schritt 1: Fixpunkte bestimmen

Gesucht sind alle Fixpunkte der Abbildung \(\alpha\). Dazu ist die Gleichung
\(\left(\begin{array}{c}x'_1\\ x'_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\end{array}\right) \) zu lösen, wobei:

\(\left(\begin{array}{c}x'_1\\ x'_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\ \begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) \\ \qquad \ \ \ \ = \left(\begin{array}{c}-x_1+2x_2\\ x_1\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) \\ \qquad \ \ \ \ = \left(\begin{array}{c}-x_1+2x_2\ -2\\ x_1 +1\end{array}\right)\)

Somit erhalten wir das lineare Gleichungssystem:

\(I: -x_1 + 2x_2 -2 = x_1 \Leftrightarrow -2= 2x_1 -2x_2 \Leftrightarrow -1 = x_1 - x_2 \\ II: x_1 + 1 = x_2 \Leftrightarrow x_1 - x_2 = -1\)

Die zwei Gleichungen sind äquivalent zur Gleichung von \(k\). Sie werden also nur von den Punkten auf dieser Geraden erfüllt.

Alle Punkte der Geraden \(k\) werden auf sich selbst abgebildet, denn sie erfüllen die Gleichungen \(I\) und \(II\). Alle anderen Punkte erfüllen weder \(I\) noch \(II\), also werden sie nicht auf sich selbst abgebildet.

4.

Schritt 1: Geraden durch Punkt und Bildpunkt vergleichen

Wie oben berechnet ist der Bildpunkt von \(\left(\begin{array}{c}a_1\\ a_2\end{array}\right)\) gegeben durch \(\left(\begin{array}{c}a'_1\\ a'_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-a_1 + 2a_2 -2\\ a_1 +1\end{array}\right)\). Die Gerade durch Punkt und Bildpunkt ist daher:

\(l: \vec{x} = \left(\begin{array}{c}a_1\\ a_2\end{array}\right) + t \cdot \left[\left(\begin{array}{c}-a_1+2a_2 -2\\ a_1 +1\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}a_1\\ a_2\end{array}\right)\right] \\ \quad \ \ \ = \left(\begin{array}{c}a_1\\ a_2\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c}-2a_1+2a_2 -2\\ a_1-a_2 +1\end{array}\right) \\ \quad \ \ \ = \left(\begin{array}{c}a_1\\ a_2\end{array}\right) + t \cdot (a_1 -a_2 +1) \cdot \left(\begin{array}{c} -2\\1\end{array}\right)\)

Alle diese Geraden haben als Richtungsvektor ein Vielfaches von \(\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)\), sind also parallel zueinander, insbesondere also parallel zu \(PP'\) (dies ist der Spezialfall \(a_1 = 0, \ a_2 =4\)).

  • Punkte:  13

d)

1.

Schritt 1: Konstruktion von \(Q'\) erläutern

Die gesamte Konstruktion mit Zirkel und Lineal ergibt folgendes Bild:

 

 - Abbildung 1

 

\(k: \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right); \quad \lambda \in \mathbb{R}\) ist eine Gleichung für \(k\) in Parameterform, d. h., \(\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\) ist ein Richtungsvektor der in Teilaufgabe c) 3. bestimmten Fixpunktgeraden. Dieser Richtungsvektor ist aufgrund der Fixpunkteigenschaft ein Eigenvektor der Matrix \(M = \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\ \begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)\) zum Eigenwert 1. Aus Teilaufgabe c) 4. folgt, dass der Verschiebungsvektor \(\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)\) auch ein Eigenvektor der Matrix \(M\) ist. Um den zugehörigen Eigenwert zu finden, berechnen wir \(M \cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}4\\ -1\end{array}\right) = (-2) \cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)\) und stellen fest, dass der Eigenwert \(-2\) ist.

Somit lässt sich \(Q'\) folgendermaßen konstruieren:

Zunächst werden in einem kartesischen Koordinatensystem der Punkt \(Q(3\mid0)\) und die Gerade parallel zu \(k\) durch \(Q\) eingezeichnet (Bezeichnung: \(k^*\)). Dann kommt die Ursprungsgerade \(g^*\) hinzu, deren Richtungsvektor der Eigenvektor \(\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)\) von \(M\) ist (z. B. als Ursprungsgerade parallel zu \(PP'\)). Es sei \(Q^*\) der Schnittpunkt von \(g^*\) und \(k^*\), also \(Q^*(2\mid -1)\). Dann ist \(\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OQ^*}+ \overrightarrow{Q^*Q}\), wobei \(\overrightarrow{OQ^*}\) Eigenvektor von \(M\) zum Eigenwert \(-2\) und \(\overrightarrow{Q^*Q}\) Eigenvektor von \(M\) zum Eigenwert 1 ist. Durch \(M\) wird also \(\overrightarrow{OQ^*}\) um den Faktor 2 gestreckt und am Ursprung gespiegelt; der so entstehende Punkt heiße \(Q^{**}\). Der Punkt \(Q^{**}\) kann geometrisch wie folgt konstruiert werden: Mit dem Zirkel wird ein Kreis um den Ursprung gezeichnet, der den Punkt \(Q^{*}\) enthält (d. h., der Abstand von \(O\) zu \(Q^{*}\) wird mit dem Zirkel abgetragen). Der zweite Schnittpunkt dieses Kreises mit der Geraden \(g^*\) (neben \(Q^{*}\)) ist \(Q(-2\mid 1)\). Zeichnet man nun einen Kreis mit demselben Radius um \(Q_1\), so gibt es wieder zwei Schnittpunkte mit \(g^*\): Einer davon ist der Ursprung und der andere ist \(Q^{**}(-4\mid 2)\).

Damit ist die Streckung und Spiegelung von \(\overrightarrow{OQ^*}\) erledigt und der Anteil \(\overrightarrow{Q^*Q}\) von \(\overrightarrow{OQ}\) muss noch addiert werden. Dazu zeichnet man die Gerade parallel zu \(g^*\) durch \(Q\) ein, ebenso die Gerade parallel zu \(k^*\) durch \(Q^{**}\). Der Schittpunkt dieser zwei Geraden ist \(Q_2(-3\mid 3)\).

Jetzt muss nur noch der Verschiebungsvektor \(\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)\) zu \(Q_2\) addiert werden, um \(Q'(-5\mid 4)\) zu erhalten.

  • Punkte:  12

Aufgabe 6

a)

1.

Schritt 1: Übergangsdiagramm erstellen

Von der Größenklasse K gehen

  • 10 % in die Größenklasse G über,
  • 50 % in die Größenklasse M über,
  • 30 % in die Größenklasse K über.

Von der Größenklasse M gehen

  • 55 % in die Größenklasse G über,
  • 40 % in die Größenklasse M über.

Von der Größenklasse G gehen

  • 98 % in die Größenklasse G über.

Keine Übergänge gibt es

  • von M nach K,
  • von G nach M,
  • von G nach K.

Damit erhält man das Übergangsdiagramm:

 

 - Abbildung 1

 

2. Schritt: Übergangsmatrix aufstellen

Die Übergangsquoten lassen sich in einer Tabelle zusammenstellen. In jeder Zelle steht der Anteil des Anfangsbestandes, der von der über der Spalte stehenden Größenklasse in die am Zeilenanfang stehende Größenklasse übergeht.

 von \(\longrightarrow\)

 nach \(\downarrow\)

 K

 

 M

 

 G

 

 K  30 % = 0,3  0  0
 M  50 % = 0,5  40 % = 0,4  0
 G  10 % = 0,1  55 % = 0,55  98 % = 0,98

Aus dieser Tabelle lässt sich die Übergangsmatrix \(L\) sofort ablesen.

\(L= \left(\begin{array}{c}0,3\\ 0,5\\ 0,1\end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 0,4\\ 0,55\end{array}\ \ \begin{array}{c}0\\ 0\\0,98\end{array}\right)\)

  • Punkte:  10

b)

1.

Schritt 1: Anzahl der Tannen am Ende der Wachstumsperiode bestimmen

Der Anfangszustand zu Beginn der betrachteten Wachstumsperiode ist in der Aufgabenstellung gegeben.

K: 450 Tannen

M: 4230 Tannen

G: 5320 Tannen

Diesen Anfangszustand stellt man als Vektor dar.

\(\vec{x} = \left(\begin{array}{c}K\\ M\\ G\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}450\\ 4230\\ 5320\end{array}\right)\)

Der Vektor, der den Zustand am Ende der Wachstumsperiode beschreibt, lautet demnach:

\(\left(\begin{array}{c}K\\ M\\ G\end{array}\right) = L \cdot \left(\begin{array}{c}K\\ M\\ G\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0,25\\ 0,7\\ 0\end{array} \ \ \begin{array}{c}0\\ 0,55\\ 0,4\end{array} \ \ \begin{array}{c}0\\ 0\\ 0,95\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}450\\ 4230\\ 5320\end{array}\right) \\ \qquad \quad = \left(\begin{array}{c}0,25 \cdot 450 + 0 \cdot 4230 + 0 \cdot 5320\\ 0,7 \cdot 450 + 0,55 \cdot 4230 + 0 \cdot 5320\\ 0 \cdot 450 + 0,4 \cdot 4230 + 0,95 \cdot 5320\end{array}\right) \\ \qquad \quad = \left(\begin{array}{c}112,5\\ 2641,5\\ 6746,0\end{array}\right)\)

Am Ende der Wachstumsperiode sind vorhanden:

Etwa 113 Tannen der Größenklasse K, etwa 2642 Tannen der Größenklasse M und 6746 Tannen der Größenklasse G.

2.

Schritt 1: Anzahl der Tannen eine Periode vor der Bestandsaufnahme bestimmen

Gefragt ist der Anfangszustand der vorhergehenden Wachstumsperiode. Man kennt den Endzustand der vorhergehenden Wachstumsperiode, dieser ist der in der Aufgabe gegebene Anfangszustand der aktuellen Wachstumsperiode.

\(\vec{x} = \left(\begin{array}{c}K\\ M\\ G\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}450\\ 4230\\ 5320\end{array}\right)\)

Der gesuchte Anfangszustand \(\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\) erfüllt somit die Gleichung:

\( \left(\begin{array}{c}0,25\\ 0,7\\ 0\end{array} \ \ \begin{array}{c}0\\ 0,55\\ 0,4\end{array} \ \ \begin{array}{c}0\\ 0\\ 0,95\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}450\\ 4230\\ 5320\end{array}\right) \)

Damit ergibt sich das lineare Gleichungssystem:

\(I: \ 0,25 x_1 \qquad \qquad \qquad \qquad \quad = 450 \\ II: \ 0,7x_1 + 0,55x_2 \qquad \qquad \ \ \ = 4230 \\ III: \qquad \qquad 0,4x_2 + 0,95x_3 \ \ = 5320\)

\(I\) liefert sofort \(x_1 = \frac{450}{0,25} = 1800\). Dies in \(II\) eingesetzt liefert
\(0,7 \cdot 1800 + 0,55x_2 = 4230\), also:

\(x_2 = (4230 - 0,7 \cdot 1800) : 0,55 = (4230 - 1260):0,55 \\ \quad = 2970:0,55 = 5400\)

Dies in \(III\) eingesetzt liefert

\(0,4 \cdot 5400 + 0,95x_3 = 5320\), also:

\(x_3 = \frac{1}{0,95} \cdot (5320 - 0,4 \cdot 5400) = \frac{1}{0,95} \cdot (5320-2160) \\ \quad = \frac{1}{0,95} \cdot 3160 \approx 3326,3\)

Eine Wachstumsperiode vor der Bestandsaufnahme gab es 1800 Tannen der Größenklasse K, 5400 Tannen der Größenklasse M und etwa 3326 Tannen der Größenklasse G.

3.

Schritt 1: 95%igen Bestand am Ende der Wachstumsperiode nachweisen

Der Zustandsvektor zu Beginn einer Wachstumsperiode sei \(\vec{x} = \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\x_3\end{array}\right)\).

Die Gesamtzahl Tannen ist die Summe der Komponenten.
\(\Longrightarrow\) Gesamtzahl Tannen zu Beginn: \(x_1 + x_2 + x_3\).

Der Bestandsvektor am Ende der Wachstumsperiode lautet:

\( \left(\begin{array}{c}0,25\\ 0,7\\ 0\end{array} \ \ \begin{array}{c}0\\ 0,55\\ 0,4\end{array} \ \ \begin{array}{c}0\\ 0\\ 0,95\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0,25 \cdot x_1\\ 0,7 \cdot x_1 + 0,55 \cdot x_2\\ 0,4 \cdot x_2 + 0,95 \cdot x_3\end{array}\right) \)

\(\Longrightarrow\) Gesamtzahl Tannen zum Ende der Periode:

\(0,25x_1 + 0,7x_1 + 0,55x_2 + 0,4x_2 + 0,95x_3 = 0,95x_1 + 0,95x_2 + 0,95x_3 \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ = 0,95 \cdot (x_1 + x_2 + x_3)\)

Dies ist also genau das 0,95-Fache des Ausgangsbestandes.

Damit ist gezeigt, dass der Gesamtbestand an Tannen am Ende einer Wachstumsperiode 95 % des Anfangsbestandes beträgt.

4.

Schritt 1: Zeitdauer, bis der Bestand unter 60 % sinkt, berechnen

Sei \(x\) der Anfangsbestand. Nach einer Wachstumsperiode ist der Bestand auf \(0,95 \cdot x\) zurückgegangen, nach zwei Wachstumsperioden beträgt er \(0,95 \cdot (0,95 \cdot x) = 0,95^2 \cdot x\) und nach \(n\) Wachstumsperioden \(0,95^n \cdot x\). Gesucht ist das kleinste \(n \in \mathbb{N}\), sodass \(0,95^n \cdot x < 60\ \%\) von \(x\).

\(\quad 0,95^n \cdot x < 0,6x \\ \Leftrightarrow 0,95^n < 0,6 \\ \Leftrightarrow ln(0,95^n) < ln( 0,6) \\ \Leftrightarrow n \cdot ln(0,95) < ln(0,6) \\ \Leftrightarrow n > \frac{ln(0,6)}{ln(0,95)} \approx 9,96\)

Erstmals sinkt der Bestand also nach 10 Wachstumsperioden unter 60 % des ursprünglichen Bestandes.

  • Punkte:  20

c)

1.

Schritt 1: Anzahl der Tannen zwischen Fällen und Aufforsten berechnen

Übergangsmatrix: \(A = \left(\begin{array}{c}0,25\\ 0,7\\ 0\end{array} \ \ \begin{array}{c}0\\ 0,55\\ 0,4\end{array} \ \ \begin{array}{c}0\\ 0\\ 0,95\end{array}\right)\)

Baumbestand zu Beginn der Wachstumsperiode: \(\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\).

Bestand am Ende der Wachstumsperiode, bevor gefällt wird:

\(\left(\begin{array}{c}0,25\\ 0,7\\ 0\end{array} \ \ \begin{array}{c}0\\ 0,55\\ 0,4\end{array} \ \ \begin{array}{c}0\\ 0\\ 0,95\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0,25 \cdot x_1\\ 0,7 \cdot x_1 + 0,55 \cdot x_2\\ 0,4 \cdot x_2 + 0,95 \cdot x_3\end{array}\right)\)

Von dem Bestand \(0,4 \cdot x_2 + 0,95 \cdot x_3\) der Klasse G werden nun 56 % gefällt. Der Bestand nach dem Fällen beträgt also noch 44 %.

\(0,44 \cdot (0,4 \cdot x_2 + 0,95 \cdot x_3) = 0,176x_2 + 0,418x_3\)

Der Bestand am Ende der Wachstumsperiode nach dem Fällen ist gegeben durch den Bestandsvektor:

\( \left(\begin{array}{c}0,25 \cdot x_1\\ 0,7 \cdot x_1 + 0,55 \cdot x_2\\ 0,176 \cdot x_2 + 0,418 \cdot x_3\end{array}\right)\)

2.

Schritt 1: Übergangsmatrix \(C\) bestimmen

Die folgende Tabelle überträgt die Daten der Übergangsmatrix \(A\):

 von \(\longrightarrow\)

 nach \(\downarrow\)

 K

 

 M

 

 G

 

 K  0,25  0  0
 M  0,7  0,55  0
 G  0  0,4  0,95

Schritt 2: Übergänge nach K: 1. Zeile

Die 1. Zeile wird von der Wiederaufforstung beeinflusst. Hier kommen so viele Bäume hinzu, wie von der Klasse G gefällt wurden. Das sind 56 % der Bäume vor dem Abholzen, d. h.
\(0,56 \cdot (0,4 \cdot x_2 + 0,95 \cdot x_3) = 0,224x_2 + 0,532x_3\) Stück. Anteilsmäßig wirkt sich die Aufforstung so aus, als gingen 22,4 % der Bäume der Klasse M und 53,2 % der Bäume der Klasse G noch zusätzlich in die Klasse K über. Die 1. Zeile wird also zu:

       
 K  0,25  0,224  0,532

Schritt 3: Übergänge nach M: 2. Zeile

An den Übergängen zur Klasse M ändert sich nichts, die 2. Zeile bleibt also gleich.

Schritt 4: Übergänge nach G: 3. Zeile

Die Fällung reduziert die in der 3. Zeile angegebenen „de facto“-Übergänge auf 44 % des vorherigen Wertes, d. h., die letzte Zeile wird zu:

       
 G  0,44 \(\cdot\) 0 = 0  0,44 \(\cdot\) 0,4 = 0,176   0,44 \(\cdot\) 0,95 = 0,418

Die vollständige Tabelle lautet somit:

 von \(\longrightarrow\)

 nach \(\downarrow\)

 K

 

 M

 

 G

 

 K  0,25  0,224  0,532
 M  0,7  0,55  0
 G  0  0,176  0,418

Daraus liest man unmittelbar die Übergangsmatrix \(C\) ab.

\(C= \left(\begin{array}{c}0,25 \\ 0,7 \\ 0\end{array} \ \ \begin{array}{c}0,224 \\ 0,55 \\ 0,176\end{array} \ \ \begin{array}{c}0,532 \\ 0 \\ 0,418\end{array}\right)\)

3.

Schritt 1: 95%igen Bestand am Ende der Wachstumsperiode begründen

In Aufgabenteil b) wurde gezeigt, dass am Ende einer Wachstumsperiode vor dem Fällen und Aufforsten der Bestand bei 95 % des Anfangsbestandes dieser Wachstumsperiode liegt. Danach werden genauso viele Bäume neu eingepflanzt wie abgeholzt, sodass zum Schluss die Anzahl der Bäume wieder 95 % des Anfangsbestandes beträgt.

4.

Schritt 1: Anzahl der zu ersetzenden Tannen berechnen

Die zu ersetzenden Tannen sind zum einen die am Ende der Wachstumsperiode gefällten Bäume der Klasse G und zum anderen der natürliche Schwund, der schon vor den Fällarbeiten auftritt.

Schritt 2: Erklärung: Natürlicher Schwund

Die 1. Spalte von \(A\) besagt, dass 25 % der Klasse K in die Klasse M und 70 % der Klasse K in die Klasse G übergehen. Es sind also am Ende der Wachstumsperiode 25 % + 70 % = 95 % vorhanden, 5 % sind demnach gestorben. Die Spaltensummen der 2. und 3. Spalte zeigen, dass von den anderen Klassen auch jeweils 5 % der Bäume sterben. Gemessen an einem Bestandsvektor \(\vec{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\) zu Beginn der Wachstumsperiode heißt das, dass \(0,05 \cdot (x_1 + x_2 + x_3)\) Bäume nachgepflanzt werden müssen, um den natürlichen Schwund auszugleichen. 

Schritt 3: Erklärung: Schwund durch Fällung

In Teilaufgabe c) (2.) wurde berechnet, dass \(0,56 \cdot (0,4 \cdot x_2 + 0,95 \cdot x_3) = 0,224x_2 + 0,532x_3\) Bäume am Ende der Wachstumsphase abgeholzt werden. Diese Anzahl Bäume muss also noch zusätzlich neu gepflanzt werden.

Insgesamt müssen also bei einem Bestandsvektor von \(\vec{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\)

\(0,05 \cdot (x_1 + x_2 + x_3) + 0,224x_2 + 0,532x_3 = 0,05x_1 + 0,229x_2 + 0,537x_3\) Bäume nachgepflanzt werden, um am Ende der Wachstumsperiode nach den Fällarbeiten den ursprünglichen Bestand wiederherzustellen.

  • Punkte:  20

Stochastik WTR

Aufgabe 7

a)

Schritt 1: Situation modellieren

Annahmen:

  • Es werden 100 Personen unabhängig voneinander befragt.
  • Auf die Frage, ob mindestens einmal im Monat ein Fahrrad genutzt wurde, gibt es genau zwei mögliche Antworten: „Ja“ und „Nein“.
  • Die Antwort ist bei jeder Befragung mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{3}\) „Ja“ und mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{3}\) „Nein“.

Die Anzahl \(X\) der Personen, die mit „Ja“ antworten, ist somit binomialverteilt zu den Parametern \(n=100\) und \(p=\frac{2}{3}\).

Schritt 2: Wahrscheinlichkeit für \(E_1\) berechnen

Gesucht ist \(P(E_1) = P(X=70)\). Die Bernoulli-Formel liefert:

\(P(X=70) = \left(\begin{array}{c}100\\70\end{array}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{70} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{30} \approx 0,0673\)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 6,7 % benutzen genau 70 der 100 Befragten ihr Fahrrad mindestens einmal im Monat.

Schritt 3: Wahrscheinlichkeit für \(E_2\) berechnen

Gesucht ist \(P(E_2)=P(X\geq70) =1-P(X\leq69)\). In Tabelle 4 (kumulierte Binomialverteilung für \(n=100\)) wird \(1-P(X\leq69)\) direkt angegeben: \(p=\frac{2}{3}\) ist in der unteren grau eingefärbten Zeile aufgelistet und in der rechten grau eingefärbten Spalte der Wert \(k=69\). Es ist also \(1-P(X\leq69) \approx 0,2766\).

 

 - Abbildung 1

 

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 27,7 % benutzen mindestens 70 der 100 Befragten ihr Fahrrad mindestens einmal im Monat.

Schritt 4: Wahrscheinlichkeit für \(E_3\) berechnen

Gesucht ist \(P(E_3) =P(60 \leq X \leq 70)=P(30 \leq Y\leq 40) = P(Y\leq40)-P(Y\leq 29)\), wobei aus Tabelle 4 (s. o.) die Werte \(P(Y\leq40) \approx 0,9341\) und \(P(Y\leq29) \approx 0,2093\) entnommen werden können. Demzufolge ist \(P(60 \leq X \leq 70) \approx 0,9341 -0,2093 = 0,7248\).

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 72,5 % benutzen mindestens 60 und höchstens 70 von 100 Befragten ihr Fahrrad mindestens einmal im Monat.

  • Punkte:  8

b)

Schritt 1: Situation modellieren

Annahmen:

  • Es werden \(n\) Fahrräder unabhängig voneinander kontrolliert.
  • Für jede Fahrradkontrolle gibt es genau zwei mögliche Ausgänge: „Beanstandung“ und „keine Beanstandung“.
  • Die Wahrscheinlichkeit einer Beanstandung ist bei jeder Kontrolle \(\frac{1}{6}\).

Die Anzahl \(X\) der Beanstandungen ist somit binomialverteilt zu den Parametern \(n\) und \(p=\frac{1}{6}\).

Gesucht ist das kleinste \(n \in \mathbb{N}\) mit der Eigenschaft, dass \(P(X\geq1) \geq 90\ \%\) gilt. Dabei ist:

\(P(X\geq1) =1-P(X=0) = 1- \left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^n = -1-\left(\frac{5}{6}\right)^n\)

Die zu erfüllende Ungleichung lautet also:

\(1-\left(\frac{5}{6}\right)^n \geq 0,9 \qquad \qquad | -0,9 + \left(\frac{5}{6}\right)^n; \ Seiten \ vertauschen \\ \left(\frac{5}{6}\right)^n \leq 0,1 \qquad \qquad \quad \ \ \ logarithmieren \\ ln\left(\left(\frac{5}{6}\right)^n\right) \leq ln \ 0,1 \quad \ \ \ \ \ Logarithmengesetz \ anwenden \\ n \cdot ln\left(\frac{5}{6}\right)^n \leq 0,1 \qquad \ \ \ \ \ \ |: ln \ 0,9 \\ n\geq \frac{ln \ 0,1}{ln \ \left(\frac{5}{6}\right)} \approx 12,63\)

Die kleinste natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft ist 13.

Um mit 90%iger Wahrscheinlichkeit mindestens ein Fahrrad mit Mängeln zu finden, müssen mindestens 13 Fahrräder kontrolliert werden.

  • Punkte:  6

c)

1.

 

 - Abbildung 1

 

Schritt 1: Baumdiagramm erstellen

Bezeichnungen:

\(K\) = Person wohnt in Ort mit unter 20.000 Einwohnern
\(M\) = Person wohnt in Ort mit 20.000 bis 100.000 Einwohnern
\(G\) = Person wohnt in Ort mit über 100.000 Einwohnern
\(R\) = Person nutzt regelmäßig ein Fahrrad
\(\overline{R}\) = Person nutzt nicht regelmäßig ein Fahrrad

Die Einzelwahrscheinlichkeiten auf jeder Stufe des Zufallsexperiments gehen unmittelbar aus der Tabelle hervor. Es fehlen dann nur noch die Pfadwahrscheinlichkeiten, die mithilfe der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten folgendermaßen berechnet werden:

\(P(K \cap R) = P(K) \cdot P_K(R) = 0,404 \cdot 0,37 = 0,14948 \\ P(K \cap \overline{R}) = P(K) \cdot P_K(\overline{R}) = 0,404 \cdot (1-0,37) = 0,25452 \\ \ \\ P(M \cap R) = P(M) \cdot P_M(R) = 0,29 \cdot 0,42 = 0,1218 \\ P(M\cap \overline{R}) = P(M) \cdot P_M(\overline{R}) = 0,29 \cdot (1-0,42) = 0,1682 \\ \ \\ P(G \cap R) = P(G) \cdot P_G(R) = 0,306 \cdot 0,43 = 0,13158 \\ P(G \cap \overline{R}) = P(G) \cdot P_G(\overline{R}) = 0,306 \cdot (1-0,43) = 0,17442 \)

Somit hat das Baumdiagramm folgende Gestalt:

 

 - Abbildung 1

 

2.

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit der regelmäßigen Fahrradnutzung berechnen

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P(R)\) setzt sich aus den Wahrscheinlichkeiten der drei Pfade zusammen, die mit \(R\) enden.

 

 - Abbildung 1

 

Nach der 2. Pfadregel ist:

\(P(R) = P(K\cap R) + P(M \cap R) + P(G \cap R) \\ \qquad \ = 0,14948 + 0,1218 + 0,13158 \\ \qquad \ = 0,410286\)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine beliebig ausgewählte Person regelmäßig ihr Fahrrad benutzt, beträgt etwa 40,3 %.

  • Punkte:  13

d)

Schritt 1: Erhöhung des Verletzungsrisikos berechnen

Bezeichnungen:

\(KH\) = 10- bis 15-jähriges Kind mit Helm
\(K\overline{H}\) = 10- bis 15-jähriges Kind ohne Helm
\(EH\) = 20- bis 40-jähriger Fahrradfahrer mit Helm
\(E\overline{H}\) = 20- bis 40-jähriger Fahrradfahrer ohne Helm

\(V\) = Verletzung
\(\overline{V}\) = keine Verletzung

\(x=P_{KH}(V)\) = Verletzungswahrscheinlichkeit eines Kindes mit Helm

Gesucht ist die prozentuale Differenz von \(P_{K\overline{H}}(V)\) und \(P_{E{H}}(V)\) gemessen an \(P_{E{H}}(V)\), also:

\(d=\frac{P_{K\overline{H}}(V)\ -\ P_{E{H}}(V)}{P_{E{H}}(V)}\)

Dabei ist \(P_{K\overline{H}}(V) = 4 \cdot P_{KH}(V) = 4x\) und \(P_{E{H}}(V) = 0,55 \cdot P_{KH}(V) = 0,55x\). Einsetzen in obige Gleichung liefert:

\(d=\frac{4x\ -\ 0,55x}{0,55x} = \frac{3,45x}{0,55} = \frac{345}{55} = \frac{69}{11} \approx 6,27 = 627\ \%\)

Bei einem 10- bis 15-jährigen Kind, das keinen Helm trägt, ist das Verletzungsrisiko um ca. 627 % höher als bei einem 20- bis 40-Jährigen, der einen Helm trägt.

  • Punkte:  5

e)

1.

Schritt 1: Test entwerfen

Es bezeichne \(p\) den Anteil der Fahrräder mit Mängeln.

Schritt 2: Wahl und Begründung der Hypothesen

Mögliche Nullhypothesen sind

entweder

a) \(p < 0,1\) („Weniger als 10 % der Fahrräder weisen Mängel auf.“)

oder

b) \(p \geq 0,1\) („Mindestens 10 % der Fahrräder weisen Mängel auf.“).

Das Signifikanzniveau begrenzt die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art (die Nullhypothese irrtümlich zu verwerfen). Die Folgen eines Fehlers 1. Art sind entweder

a)  Es wird davon ausgegangen, dass mindestens 10 % der Fahrräder Mängel aufweisen, obwohl in Wirklichkeit weniger als 10 % der Fahrräder zu beanstanden sind, d. h., die Kontrollen werden nicht reduziert, obwohl dies gerechtfertigt wäre;

oder

b)  Es wird davon ausgegangen, dass weniger als 10 % der Fahrräder Mängel aufweisen, obwohl in Wirklichkeit mindestens 10 % der Fahrräder zu beanstanden sind, d. h., die Kontrollen werden ungerechtfertigterweise reduziert.

Im Fall a) würde die Polizei unnötigerweise auf Ressourcenersparnis verzichten. Im Fall b) wäre die Verkehrssicherheit gefährdet. Es ist also aus Sicht der Polizei sinnvoller, die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art im Fall b) gering zu halten.

Deswegen wird als Nullhypothese H0: \(p\geq 0,1\) gewählt. Die Alternativhypothese lautet dann H1: \(p<0,1\).

Schritt 3: Entscheidungsregel bestimmen

Sei \(X\) die Anzahl der beanstandeten Fahrräder bei der morgendlichen Kontrolle. \(X\) ist binomialverteilt zu den Parametern \(p\) und \(n=200\).

H0 soll angenommen werden, wenn mindestens \(k_0\) kontrollierte Fahrräder Mängel aufweisen.

Gesucht ist das größte \(k_0 \in \mathbb{N}_0\) mit \(0\leq k_0 \leq 200\), sodass für jedes \(p\geq 0,1\) \(P(X<k_0) \leq 0,05\) gewährleistet ist. Die Ungleichung \(P(X<k_0) \leq 0,05\) ist genau dann für jedes \(p\geq 0,1\) erfüllt, wenn sie für \(p=0,1\) gilt, denn \(P(X<k_0)\) wird umso kleiner, je größer \(p\) wird.

Aus Tabelle 4 (siehe oben; kumulierte Binomialverteilung für \(n=200\), Spalte für \(p=0,1\)) entnimmt man \(P(X<12) \approx 0,032\) und \(P(X\leq 13) \approx 0,0566\). Somit ist \(k_0=13\)

Die Entscheidungsregel lautet also wie folgt:

Die Vermutung \(p< 0,1\) soll als widerlegt betrachtet werden, wenn mindestens 13 von den 200 geprüften Fahrrädern Mängel aufweisen. Falls weniger als 13 Fahrräder beanstandet werden, soll die Vermutung als bestätigt angesehen werden und dementsprechend sollen die Kontrollen nur noch jährlich durchgeführt werden.

2.

Schritt 1: Entscheidung treffen und begründen

Werden unter den 200 kontrollierten Fahrrädern 16 mit Mängeln gefunden, so liegt der Wert \(X=16\) im Annahmebereich von H0. Nach der in (1.) formulierten Entscheidungsregel sollte dann davon ausgegangen werden, dass mindestens 10 % der Fahrräder Mängel aufweisen. Dementsprechend sollten die Kontrollen nicht reduziert werden.

3.

Schritt 1: Fehler 2. Art beschreiben

Ein Fehler 2. Art tritt auf, wenn bei der Kontrolle der 200 Fahrräder mindestens 13 beanstandet werden, obwohl in Wirklichkeit weniger als 10 % aller Fahrräder Mängel aufweisen. In diesem Fall wird fälschlicherweise davon ausgegangen, dass \(p\geq 0,1\) ist, also werden die monatlichen Kontrollen unnötigerweise beibehalten.

  • Punkte:  18

Aufgabe 8

a)

 

 - Abbildung 1

 

1.

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit für „keine Angabe" ermitteln

Nach der Laplace-Formel ist:

\(P(keine \ Angabe) = \frac{Anzahl \ der \ Personen, \ die \ keine \ Angabe \ machten}{Gesamtzahl \ der \ Befragten}\)

Die Zahl der befragten Personen, die keine Angabe gemacht haben, ist die Summe der in der Zeile „keine Angabe“ aufgelisteten Ergebnisse, also \(12+14+8+4+24=62\). Insgesamt wurden 1005 Personen befragt. Somit ist:

\(P(keine \ Angabe)= \frac{62}{1005} \approx 6,17\ \%\)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person aus den 1005 Umfrageteilnehmern keine Angabe gemacht hat, beträgt etwa 6,2 %.

2.

Schritt 1: Anteil der Nicht-Schüler mit Angabe „Ja“ ermitteln

Die Aufgabenstellung ist zweideutig, je nachdem ob der Nebensatz die Grundgesamtheit einschränkt oder sich nur auf den zu ermittelnden Anteil bezieht.

1. Interpretation:

„Bestimmen Sie unter den 14- bis 29-Jährigen, die mit „Ja“ geantwortet haben, den Anteil der Nicht-Schüler.“

2. Interpretation:

„Bestimmen Sie unter allen 14- bis 29-Jährigen den Anteil der Nicht-Schüler, die mit „Ja“ geantwortet haben.“

\(\frac23\) der 57 Schüler haben mit „Ja“ gestimmt, das sind 38. Da insgesamt 166 Personen der Altersklasse „14–29 Jahre“ mit „Ja“ gestimmt haben, waren darunter \(166-38 = 128\) Nicht-Schüler.

Die Grundgesamtheit ist bei der 1. Interpretation die Menge aller 14- bis 29-Jährigen, die mit „Ja“ gestimmt haben, also laut Tabelle 166 Personen. Hier ist also der zu berechnende Anteil \(\frac{128}{166}=\frac{64}{83}\approx 77,1\ \%\).

Bei der 2. Interpretation ist die Grundgesamtheit die Menge aller befragten 14- bis 29-Jährigen, also laut Tabelle 211 Personen. In diesem Fall ist der zu berechnende Anteil \(\frac{128}{211}\approx 60,7\ \%\).

  • Punkte:  8

b)

 

 - Abbildung 1

 

1.

Schritt 1: Bedingte Wahrscheinlichkeit für Herkunft Westdeutschland ermitteln

Bezeichnungen:

\(J\) = der Befragte stimmt mit „Ja“
\(\overline{J}\) = der Befragte stimmt nicht mit „Ja“
\(W\) = der Befragte stammt aus Westdeutschland
\(O\) = der Befragte stammt aus Ostdeutschland

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(W\) unter der Bedingung \(J\), also:

\(P_J(W) = \frac{P(W \cap J)}{P(J)}\)

Dabei ist:

\(P(W \cap J) = \frac{Anzahl \ der \ Westdeutschen, \ die \ mit \ „Ja“ \ gestimmt \ haben}{Gesamtzahl \ der \ Teilnehmer} \\ \qquad \qquad \ = \frac{643}{1005} \\ \ \\ P(J) = \frac{Anzahl \ der \ Befragten, \ die \ mit \ „Ja“ \ gestimmt \ haben}{Gesamtzahl \ der \ Teilnehmer} \\ \qquad = \frac{792}{1005} \\ \ \\ P_J(W) = \frac{\frac{643}{1005}}{\frac{792}{1005}} = \frac{643}{792} \approx 81,2\ \%\)

2.

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit für zwei Teilnehmer aus demselben Landesteil ermitteln

Aus den 792 Personen, die mit „Ja“ gestimmt haben, wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Bei der 1. Ziehung wird mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{643}{792}\) ein Westdeutscher und mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{149}{792}\) ein Ostdeutscher gewählt. Bei der 2. Ziehung stehen nur noch 791 Personen zur Auswahl, davon entweder 643 oder 642 aus Westdeutschland, je nach Herkunft des ersten Befragten.

Schritt 2: Baumdiagramm erstellen

 

 - Abbildung 1

 

Die rot gekennzeichneten Pfade sind diejenigen, die zum Ereignis „Die zweite Person stammt aus demselben Teil Deutschlands wie die erste“ beitragen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ist nach der 2. Pfadregel:

\(P(WW) + P(OO) = P_W(W) + P_O(O) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad = \frac{643}{792} \cdot \frac{642}{791} + \frac{149}{792} \cdot \frac{148}{791} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \approx 0,659 + 0,035 = 0,694\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass beide zufällig ausgewählten Personen aus derselben Region stammen, wenn beide mit „Ja“ gestimmt haben, beträgt 69,4 %.

  • Punkte:  10

c)

1.

Schritt 1: Binomialverteilung begründen

Voraussetzungen für eine Binomialverteilung:

  • Die \(n\) befragten Personen antworten unabhängig voneinander.
  • Es werden jeweils nur zwei Antworten unterschieden: „Nein“ und „nicht Nein“ (d. h., die Antwortmöglichkeiten „Ja“ und „keine Angabe“ werden zusammengefasst).
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilnehmer mit „Nein“ antwortet, bleibt bei allen \(n\) Befragungen gleich.

Unter diesen drei Bedingungen handelt es sich um \(n\) unabhängige Durchführungen desselben Bernoulli-Experiments, also ist die Anzahl der Treffer binomialverteilt.

Im vorliegenden Fall wird die Antwort „Nein“ als Treffer angesehen. Die ersten zwei Bedingungen können ohne Weiteres als erfüllt angenommen werden.

Die dritte Bedingung ist streng genommen nicht erfüllt, da dieselbe Person nicht mehrfach befragt wird, d. h., das passende Modell wäre „Ziehen ohne Zurücklegen“ (mit Beachtung der Reihenfolge), während die Binomialverteilung von „Ziehen mit Zurücklegen“ ausgeht. Sofern aber \(n\) sehr viel kleiner als die Anzahl der befragten 50- bis 59-Jährigen ist, ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) nur geringfügig.

\(p=\frac{\#N}{\#G}\),

wobei \(\#N\) die Anzahl der noch zur Auswahl stehenden (also noch nicht befragten) 50- bis 59-Jährigen ist, die mit „Nein“ stimmen, und \(\#G\) die Gesamtzahl der noch nicht befragten 50- bis 59-Jährigen. Es ist:

\(0\leq \#N \leq 19\) und \(152 - n \leq \#G \leq 152\)

Somit gilt z. B. für \(n\leq 19\):

\(0 \leq \frac{19\ -\ n}{152} \leq p \leq \frac{19}{152\ -\ n} \leq \frac{1}{7}\)

Anfangs ist laut Tabelle \(\#N = 19\) und \(\#G = 152\), also:

\(p=\frac{\#N}{\#G } = \frac{19}{152} = \frac{1}{8}\)

Für kleine \(n\) ist also die Binomialverteilung eine gute Näherung für die Verteilung von \(X\).

2.

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit für \(X=\mu\) berechnen

Gemäß Teilaufgabe (1.) nehmen wir näherungsweise an, dass \(X\) binomialverteilt ist mit Parametern \(n=40\) und \(p=\frac{1}{8}\). Demzufolge ist der Erwartungswert \(\mu = n\cdot p = 40 \cdot \frac{1}{8} =5\).

Gesucht ist also laut Bernoulli-Formel:

\(P(X=5) = \left(\begin{array}{c}40\\ 5\end{array}\right) \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^5 \cdot \left(\frac{7}{8}\right)^{35} \approx 0,188\)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 40 zufällig ausgewählten Personen \(\mu =5\) Personen mit „Nein“ antworten, ist etwa 18,8 %.

Bemerkung

In Wirklichkeit ist \(X\) hypergeometrisch verteilt zu den Parametern \(n=40\), \(m=19\) und \(N=152\), wobei auch hier der Erwartungswert \(\mu =5\) ist. Es ist:

\(P(X=5) = \frac{\left(\begin{array}{c}n\\ 5\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}N\ -\ n\\ m\ -\ 5\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ m\end{array}\right)} = \frac{\left(\begin{array}{c}40\\ 5\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}112\\ 14\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}152\\ 19\end{array}\right)} \approx 0,218\)

3.

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit für \(X \leq 8\) berechnen

Es stimmen genau dann mindestens 42 der 50 Befragten nicht mit „Nein“, wenn höchsten 8 von ihnen mit „Nein“ stimmen. Gefragt ist also \(P(X \leq 8)\), was in Tabelle 3 (kumulierte Binomialverteilung für \(n=50\)) in der Zeile \(k=8\) und der Spalte \(p=0,125\) nachgeschlagen werden kann: Es ist \(P(X\leq8) \approx 0,8339\).

 

 - Abbildung 1

 

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 50 zufällig ausgewählten Teilnehmern mindestens 42 mit „Nein“ stimmen, beträgt etwa 83,4 %.

Bemerkung

In Wirklichkeit ist \(P(X \leq 8) \approx 0,879\).

4.

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit für 10 Angaben berechnen

Es wurden \(211+150+191=552\) Personen zwischen 14 und 49 Jahren befragt. Davon haben \(12+14+8=34\) keine Angabe gemacht, d. h., \(552-34 =518\) Personen haben mit „Ja“ oder „Nein“ gestimmt.

Der Pfad, dessen Wahrscheinlichkeit zu bestimmen ist, zeichnet sich dadurch aus, dass bei jeder Befragung mit „Ja“ oder „Nein“ gestimmt wird.

Bei der 1. Befragung wird also mit Wahrscheinlichkeit \(p=\frac{518}{552}\) eine Angabe gemacht. Mit jeder Befragung wird die Zahl der noch zur Auswahl stehenden Teilnehmer, die eine Angabe machen (Zähler der Wahrscheinlichkeit), um eins kleiner, ebenso die Gesamtzahl der noch zur Auswahl stehenden Teilnehmer (Nenner der Wahrscheinlichkeit).

Nach der 1. Pfadregel ist also:

\(P(10-mal \ Angabe)= \frac{518}{552} \cdot \frac{517}{551} \cdot \frac{516}{550} \cdot \frac{515}{549} \cdot \frac{514}{548} \cdot \frac{513}{547} \cdot \frac{512}{546} \cdot \frac{511}{545} \cdot \frac{510}{544} \cdot \frac{509}{543} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \ \ \approx0,527\)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 52,7 % stimmen die ersten 10 Befragten mit „Ja“ oder „Nein“.

  • Punkte:  17

d)

1.

Schritt 1: Bedeutung des Konfidenzintervalls erläutern

Angenommen, es werden \(n\) Männer für die Stichprobe zufällig ausgewählt (wobei auch mehrfache Befragung derselben Person zugelassen wird), von denen \(k^*\) das Verbot von Genmais befürworten. Dann ist \(k^*\) ein möglicher Wert einer binomialverteilten Zufallsvariablen mit Parametern \(n\) und \(p_M\).

Der nächstliegende Schätzwert für \(p_M\) angesichts der Stichprobe ist der Anteil \(p^*_M\) der Befürworter in der Stichprobe, aber trotzdem ist es sehr unwahrscheinlich, dass \(p_M = p^*_M\) ist. Deswegen versucht man anhand der Stichprobe statt eines einzigen Schätzwertes einen Bereich anzugeben, in dem sich \(p_M\) sehr wahrscheinlich befindet.

Ist dieser Bereich ein Intervall, das nach einer festen Regel nur in Abhängigkeit vom zufälligen Wert \(k^*\) aus der Stichprobe ermittelt wird, so handelt es sich um ein Konfidenzintervall. Ist die Regel so geartet, dass sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % ein Intervall liefert, das den wahren Wert \(p_M\) enthält, so ist das nach dieser Regel zu einem vorgegebenen Stichprobenergebnis \(k^*\) bestimmte Intervall ein 95 %-Konfidenzintervall für \(p_M\). In diesem Sinne kann man sagen, dass der zu schätzende Anteil der Genmaisgegner unter den Männern mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % in \(K_M\) liegt.

2.

Schritt 1: 95 %-Konfidenzintervall für \(p_F\) bestimmen

Das 95 %-Konfidenzintervall \(K_F\) für \(p_F\) besteht aus allen \(p\), für die der 95 %-Annahmebereich der Binomialverteilung zu den Parametern \(n=518\) und \(p\) die beobachtete Zahl 426 aus der Stichprobe enthält. Dabei ist der 95 %-Annahmebereich ein um den Erwartungswert \(\mu_p=n\cdot p\) zentriertes Intervall \(I_p = \left[\mu_p -m_p; \ \mu_p + m_p\right]\) mit der Eigenschaft, dass eine Zufallsvariable \(Z\sim B(n;p)\) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % Werte in \(I_p\) annimmt.

Laut den in Tabelle 1 angegebenen \(\sigma\)-Regeln ist der 95 %-Annahmebereich der Binomialverteilung mit Parametern \(n\) und \(p\) näherungsweise das Intervall \(\left[n \cdot p -1,96 \cdot \sigma; \ n \cdot p + 1,96 \cdot \sigma\right]\), wobei \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\) die Standardabweichung der Binomialverteilung zu den Parametern \(n\) und \(p\) ist. Die Untergrenze \(p_1\) und die Obergrenze \(p_2\) von \(K_F\) können also näherungsweise über die Gleichung \(n \cdot p \pm 1,96 \cdot \sigma = 426\) berechnet werden.

Durch Einsetzen von \(n=518\) und \(\sigma = \sqrt{518 \cdot p \cdot (1-p)}\) ergibt sich:

\(518 \cdot p \pm 1,96 \cdot \sqrt{518 \cdot p \cdot (1-p)} = 426 \\ \pm 1,96 \cdot \sqrt{518 \cdot p \cdot (1-p)} = 426 - 518 \cdot p \\ 1,96^2 \cdot 518 \cdot p \cdot (1-p) = (426-518 \cdot p)^2 \\ 1989,9488 \cdot (p-p^2) = 426^2 - 2\cdot 426 \cdot 518 \cdot p + 518^2p^2 \\ 1989,9488 \cdot (p-p^2) = 18.146 - 441.336p + 268.324p^2 \\ (268.324 + 1989,9488)p^2 - (441.336 + 1989,9488)p + 181.476 =0 \\ 270.313,9488p^2 - 443.325,9488p + 181.476 = 0\)

Mithilfe der quadratischen Lösungsformel erhält man:

\(p_1 = \frac{443325,9488\ -\ \sqrt{443325,9488^2\ -\ 4 \cdot 270313,9488\ \cdot\ 181476}}{2\ \cdot\ 270313,9488} \\ \quad \approx 0,7871\)

\(p_2 = \frac{443325,9488\ +\ \sqrt{443325,9488^2\ -\ 4\ \cdot\ 270313,9488\ \cdot\ 181476}}{2\ \cdot\ 270313,9488} \\ \quad \approx 0,8529\)

Somit ist \(K_F=\left[0,7871; 0,8529\right]\) näherungsweise ein 95 %-Konfidenzintervall für \(p_F\).

Bemerkung

Ohne Näherung mittels \(\sigma\)-Formeln erhält man als 95 %-Konfidenzintervall \(K_F=\left[0,7867; 0,8544\right]\).

  • Punkte:  15
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