Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Abi 2013 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B1


Zugelassene Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung

Aufgabe B 1.1

Aufgabe B 1.1a)

Schritt 1: Darstellung im Koordinatensystem

Abi 2013 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B1 - Abbildung 1

Schritt 2: Winkelberechnung

Der gesuchte Winkel ist der Schnittwinkel zweier Ebenen. Dieser entspricht dem Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren. Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\3\\ 1\end{array}\right)\), wie man aus der Koordinatengleichung abliest. Ein Normalenvektor der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene ist \(\left(\begin{array}{c}0\\0\\ 1\end{array}\right)\). Somit gilt für den Schnittwinkel \(\alpha\) der zwei Ebenen:

\(cos(\alpha)= \frac{|\left(\begin{array}{c}0\\3\\1\end{array}\right)\ \circ\ \left(\begin{array}{c}0\\0\\ 1\end{array}\right)|}{|\left(\begin{array}{c}0\\3\\1\end{array}\right)|\ \circ\ |\left(\begin{array}{c}0\\0\\ 1\end{array}\right)|}=\frac{1}{\sqrt{10}}\Rightarrow\alpha=71,6^°\)

Schritt 3: Abstandsbestimmung

Der Abstand der Ebene \(E\) zur \(x_{1}\)-Achse ist der Abstand der Ebene zu jedem beliebigen Punkt aus dieser Achse, z. B. zum Ursprung 0. Um diesen zu bestimmen, wird \(E\) in hessescher Normalform dargestellt.

\(E: \frac{3x_{2}\ +\ x_{3}\ -\ 8}{\sqrt{10}}=0\)

Der Abstand von 0 zu \(E\) ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten von 0 in den Betrag der linken Seite dieser Ebenengleichung. 

\(d(0,E)=| \frac{3\ \cdot\ 0\ +\ 0\ -\ 8}{\sqrt{10}}|=\frac{8}{\sqrt{10}}\approx2,53\)

Die Ebene \(E\) hat also etwa den Abstand 2,53 LE von der \(x_{1}\)-Achse. 

Aufgabe B 1.1b)

Schritt 1: Gegenseitige Lage der Ebenen untersuchen 

Die Ebenen der Ebenenschar besitzen alle den gleichen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\3\\ 1\end{array}\right)\), also sind sie parallel zueinander. 

Schritt 2: Parameterwert bestimmen

Die hessesche Normalform der Ebene \(E_{a}\) lautet:

\(E_{a}: \frac{3x_{2}\ +\ x_{3}\ -\ a}{\sqrt{10}}=0\)

Einsetzen der Koordinaten des Punktes (6|6|6) in den Betrag der linken Seite liefert den Abstand von \(S\) zu \(E_{}a\).

\(d(S,E_{a})=| \frac{3\ \cdot\ 6\ +\ 6\ -\ a}{\sqrt{10}}|=\frac{24\ -\ a}{\sqrt{10}}\)

Dieser Abstand soll \(\sqrt{10}\) betragen, deshalb muss gelten: 

\(|\frac{24\ -\ a}{\sqrt{10}}|=\sqrt{10}\), also \(|24-a|=10\). Somit ist \(24-a=\pm10\), d. h. entweder \(a=14\) oder \(a=34\). Demnach sind \(a=14\) oder \(a=34\) die einzigen Parameter, für die der Abstand von \(S\) zu \(E_{a}\) \(\sqrt10\) LE beträgt.

Schritt 3: Gemeinsame Punkte mit dem Würfel 

Die Ebenen der Schar sind alle parallel zur \(x_{1}\)-Achse und damit parallel zu 4 der 12 Kanten des Würfels. Aus der Koordinatendarstellung aus Teilaufgabe a) ist ersichtlich, dass die Ebene \(E_{a}\) genau dann den Würfel berührt bzw. durchdringt, wenn sie zwischen der \(x_{1}\)-Achse und der oberen rechten Kante des Würfels (von \(S\) nach \(T\)(0|6|6)) verläuft. Diese Bedingung ist genau dann erfüllt, wenn \(E_{a}\) einen Punkt auf der Strecke \(OT\) enthält. Die Punkte auf dieser Strecke haben die Koordinaten (0|t|t) mit \(t\in[0,6]\).

Alle Ebenen der Schar sind parallel zueinander und zur \(x_{1}\)-Achse. Das Vorzeichen des Parameters \(a\) gibt an, auf welcher Seite von \(E_{0}\) die Ebene \(E_{a}\) liegt: Für \(a\) < 0 liegt \(E_{a}\) links vom Würfel (berührt ihn also nicht). Für größer werdendes \(a\) ≥ 0 wandert die Ebene nach rechts oben (in Richtung des Normalenvektors \(\overrightarrow{n}\)) und berührt bzw. durchdringt den Würfel so lange, bis sie die Ecke \(S\)(6|6|6) erreicht (siehe Skizze bei Teilaufgabe a)). Für größere Parameter hat \(E_{a}\) keinen Schnittpunkt mehr mit dem Würfel. Der Parameter, für den \(Ea\) den Punkt \(S\) enthält, ergibt sich aus der Gleichung, denn dann ist der Abstand von \(S\) zu \(Ea\) 0. 

\(d(S,E_{a})=| \frac{24\ -\ a}{\sqrt{10}}|=0\Leftrightarrow a=24\)

Somit haben genau die Ebenen \(E_a\) mit \(a\) aus [0;24] gemeinsame Punkte mit dem Würfel. 

Aufgabe B 1.2

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit berechnen

Die Zufallsvariable \(X\) beschreibe die Anzahl der Gewinnlose unter den gekauften Losen. Wegen fehlender Angaben zur Gesamtzahl der Lose gehen wir näherungsweise davon aus, dass \(X\) binomialverteilt ist. Bei jedem Loskauf ist in unserem Modell die Wahrscheinlichkeit, ein Gewinnlos zu bekommen, \(p\) = 0,1. Die Anzahl der gekauften Lose sei \(n\). Zunächst ist \(n\) = 3 und gefragt ist die Wahrscheinlichkeit \(P(X\geq2)\). Da \(X\) nur ganzzahlige Werte zwischen 0 und 3 annehmen kann, ist

\(P(X\geq2)=P(X=2)+P(X=3)\),

wobei nach der Bernoulli-Formel

\(P(X=k)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^k(1-p)^{n-k}\)

für ganzzahlige \(k \) zwischen 0 und \(n\) gilt. 

Somit ist:

\(P(X=2)+P(X=3)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)0,1^2\cdot0,9^1+\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)0,1^{3}\cdot0,9^0 \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=3\cdot0,01\cdot0,9+0,001\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=0,028\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 3 gekauften Losen mindestens 2 Gewinnlose sind, beträgt im Modell 2,8 %. 

Schritt 2: Mindestanzahl Lose bestimmen 

Beim Kauf von \(n\) Losen ist die Wahrscheinlichkeit, dass darunter mindestens ein Gewinnlos ist, \(P(X\geq1).\) Die Wahrscheinlichkeit des zugehörigen Gegenereignisses ist:

\(P(X\leq1)=P(X=0)+P(X=1)\\\quad\quad\quad\quad =\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)0,1^0\cdot0,9^n+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)0,1^{1}\cdot0,9^{n-1}\\ \quad\quad\quad\quad=0,9^n+0,1\cdot n\cdot 0,9^{n-1}\\ \quad\quad\quad\quad=0,9^n+\frac{1}{9}n \cdot 0,9^n\\ \quad\quad\quad\quad=0,9^n \cdot (1+\frac{n}{9})\)

Gesucht ist also das kleinste \(n\in\mathbb N_0\), sodass \(1-0,9^n\cdot(1+\frac{n}{9})>0,5\) ist. 

Eingabe im GRAPH-Modus des GTR: Y1=1–0.9^X×(1+X÷9). Der X-CAL-Befehl im G-Solv-Menü liefert unter Eingabe des \(y\)-Wertes 0,5 den Schwellenwert von etwa \(X=16,44\). Die kleinste natürliche Zahl, die die gewünschte Ungleichung erfüllt, ist also \(n\) = 17. Also muss man mindestens 17 Lose kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von über 50 % mindestens 2 Gewinnlose zu erhalten.

Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.
Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Musterlösungen findest du hier