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Abi 2013 Analysis Wahlteil, Aufgabe A1


 

 

 

Aufgabe A 1.1 

Aufgabe 1.1a)

Schritt 1: Steilste Stellen bestimmen

Da nur gerade Potenzen von \(x\) im Funktionsterm von \(f\) vorkommen, ist \(G_{f}\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, also genügt es, die steilste Stelle im Bereich 0 ≤ \(x\) ≤ 4 zu bestimmen. 

Eingabe im GRAPH-Modus des GTR: 0.02×X^4-0.82×X^2+8 und in der nächsten Zeile d/dx(Y1). 

Extremstellen von Y2 mit dem GTR

Der Menüpunkt DRAW liefert eine Skizze von \(f\) und \(f'\), an der man erkennt, dass \(f'\) ein Maximum und ein Minimum im vorgegebenen Bereich −4 ≤ \(x\) ≤ 4 hat. Im G-Solv-Menü liefert der Menüpunkt Min die Näherung \(x_{1}\) ≈ 2,614 für die steilste Stelle der rechten Hälfte mit Wert etwa 2,858. Die steilste Stelle der linken Hälfte ist wegen der Symmetrie bei \(x\) ≈ −2,614. Etwa 2,6 m links und rechts von der Stollenmitte verlaufen die Wände am steilsten. 

Schritt 2: Winkel bestimmen 

Die Steigung von \(G_{f}\) an der steilsten Stelle entspricht dem Tangens des Steigungswinkels \(\alpha\) und ist außerdem durch die Ableitung an dieser Stelle gegeben. Es ist also:

\(tan(\alpha)\) = \(f'(x_{1})\approx2,858\) (s. o.)

Daraus folgt \(\alpha\approx70,7^°.\)

Der Neigungswinkel der Tangente gegen die Horizontale beträgt an den steilsten Stellen der Stollenwand ca. 70,7°. 

Schritt 3: Skizze anfertigen

Übertragung der Grafik-Anzeige des GTR: 

Abi  2013 Analysis Wahlteil, Aufgabe A1 - Abbildung 1

Schritt 4: Wasservolumen bestimmen

Die Wasseroberfläche wird durch die konstante Funktion Y3=1,7 im GTR modelliert. Die Schnittstellen von Y1 und Y3 werden über den ISCT-Befehl im GSolv-Menü bestimmt. Sie liegen bei \(x_{2}\approx3,20\) und bei \(X\approx-x_{2}\approx-3,20\). Die rechte Hälfte der Querschnittsfläche \(A\) des Wassers besteht aus einem Rechteck und der Fläche unter dem roten Graphen zwischen der Schnittstelle mit der grün gestrichelten Geraden bei \(x_2\) ≈ 3,20 und der Nullstelle bei \(x\) = 4. Das Rechteck hat die Breite \(x_{2}\approx3,2\) und die Höhe 1,7 und das eben beschriebene Flächenstück unter dem roten Graphen ist in etwa \(\int_{3,2}^{4}f(x)dx\approx0,617\), wie man mit dem ∫dx-Befehl im G-Solv-Menü erhält. Aufgrund der Symmetrie ist also:

\(A\approx 2 \cdot(3,2\cdot1,7+0,617)=12,114\)

Das Volumen ergibt sich durch Multiplikation der Querschnittsfläche mit der Länge des Stollens.

\(V=A \cdot 50\approx605,7\)

Die vorhandene Wassermenge beträgt knapp 606 m³.

Aufgabe 1.1b)

Schritt 1: Optimale Lampenposition prüfen

Den größtmöglichen Abstand zu den Wänden hat die Lampe auf der Symmetrieachse \(x\) = 0; die Höhe ist mit \(y\) = 6 vorgegeben. Es ist also zu prüfen, ob der Punkt \(L\)(0|6) von jedem Punkt auf dem Graphen \(G_{f}\) mindestens den Abstand 1,4 hat.

Der Abstand eines Punktes \((x|f(x))\) auf \(G_{f}\) hat vom Punkt L den Abstand:

\(d(x)= \sqrt{(x-0)^{2}+(f(x)-6)^{2}}\)

Mit dem GTR sucht man also die Minima der Funktion Y4=√(X^2+(Y1-6)^2) zwischen \(x\) = −4 und \(x\) = 4 und erhält als kleinsten Wert etwa 1,463 > 1,4. Somit kann die Lampe vorschriftsgemäß aufgehängt werden.

Aufgabe 1.1c)

Schritt 1: Skizze anfertigen

Abi  2013 Analysis Wahlteil, Aufgabe A1 - Abbildung 2

Schritt 2: Maximale Breite bestimmen

In der optimalen Position liegt der Mittelpunkt des Würfels auf der Symmetrieachse und der Würfel berührt die Wand in einem Punkt \((u|f(u))\), d. h., die Höhe \(f(u)\) des Würfels ist genau die doppelte \(x\)-Koordinate \(u\). Die Kantenlänge ist dann \(2\cdot u\) und \(u\) ist eine Lösung der Gleichung \(f(x)-2x=0.\)

Gibt man Y5=Y1-2×X im GTR ein, so kann im G-Solv-Menü über den ROOTS-Befehl eine Nullstelle bei \(u\) ≈ 2,221 ausfindig gemacht werden. Die maximale Breite des Behälters ist also etwa 4,44 m.

Aufgabe A 1.2

Schritt 1: Nullstellen in Abhängigkeit von t bestimmen

\(f_{t}(x)=(x-1)\cdot (1-\frac{1}{t}\cdot e^{x})\)

hat genau dort Nullstellen, wo entweder der 1. oder der 2. Faktor 0 ist. Der 1. Faktor steuert (unabhängig von \(t\)) die Nullstelle \(x\) = 1 bei. Für den 2. Faktor gilt:

\(1-\frac{1}{t}\cdot e^{x}=0\Leftrightarrow t-e^{x}=0\Leftrightarrow e^{x}=t\)

Die Wertemenge der natürlichen Exponentialfunktion ist die Menge der positiven reellen Zahlen. Die grüne Gleichung hat also genau dann eine Lösung, wenn \(t\) > 0 ist. In diesem Fall ist dann \(x=ln(t)\) eine Lösung. 

Schritt 2: Anzahl der Nullstellen untersuchen

Die Anzahl der Nullstellen ist für jedes \(t\) ≠ 0 mindestens 1 (da \(x\) = 1 immer eine Nullstelle ist). Sie ist genau dann größer als 1, wenn der 2. Faktor eine weitere Nullstelle \(x\) ≠ 1 beisteuert. Der Faktor \(1-\frac{1}{t}\cdot e^{x}\) hat nur dann \(x=1\) als Nullstelle, wenn:

 \(1-\frac{1}{t}\cdot e^{1}=0\Leftrightarrow1-\frac{1}{e}=0\Leftrightarrow t=e\)

Für alle \(t\in\mathbb R^+\backslash\{e\}\) steuert also der 2. Faktor eine 2. Nullstelle bei. Für \(t\in\mathbb R^+\backslash\{e\} \) hat somit \(f_{t}(x)\) mehr als eine Nullstelle. Für \(t=e\) hat \(f_{t}(x)\) eine doppelte Nullstelle bei \(x\) = 1 und für \(t\) < 0 nur eine einfache Nullstelle bei \(x\) = 1.

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