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Abi 2013 Analysis LK (2)


Aufgabe 2

a) (1)

Schritt 1: Höhenzunahme zeigen

Bei \(x=0\) hat die Funktion \(f_a\) eine Nullstelle. Zu zeigen ist daher, dass die zweite Nullstelle bei \(x=-\sqrt{3}\cdot a\) liegt, dass keine weitere Nullstelle zwischen diesen beiden liegt und dass das Vorzeichen der Funktion für \(-\sqrt{3}a<x<0 \) negativ ist.

\(f_a(x)=-\frac{1}{4a^2}x^3+\frac{3}{4}x = x \left( - \frac{1}{4a^2}x^2 + \frac{3}{4} \right)=0 \Leftrightarrow x=0\) oder \(-\frac{1}{4a^2}x^2+\frac{3}{4}=0 \)

Dabei ist:

\(-\frac{1}{4a^2}x^2+\frac{3}{4}=0 \Leftrightarrow -\frac{1}{4a^2}x^3=\frac{3}{4} \Leftrightarrow x^2=\frac{3}{4} \cdot 4a^2=3a^2 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{3}a \)

Im Definitionsbereich \([-8;0]\) von \(f_a\) liegen also genau 2 Nullstellen, nämlich \(x_1=0\) und \(x_2=-\sqrt{3}a\).

Da eine stetige Funktion nur an einer Nullstelle ihr Vorzeichen wechselt, hat die Funktion daher für \(-\sqrt{3}a<x<0\) dasselbe Vorzeichen. Es genügt also, das Vorzeichen für ein x aus diesem Intervall zu berechnen, z. B. \(x=-1\) (das ist erlaubt, denn \(3,2 \leq a \leq 4 \rightarrow -8 \leq -4 \leq -a \leq -3,2 \leq 0\)).

\(\begin{align} f_a(.a)&=-\frac{1}{4a^2}(-a)^3+\frac{3}{4}(-a) \\ &=+\frac{1}{4}a -\frac{3}{4}a=-\frac{1}{2}a <0, \end{align}\)

da \(a < 0\).

Die Funktion ist daher negativ für \(\sqrt{3}a <x<0\), die Profillinie verläuft dort unter dem Niveau des Erdbodens.

2a) (2)

Schritt 1: Koordinaten des Tiefpunktes berechnen

Gesucht ist der Tiefpunkt von \(f_a\)

Extremalstellen von \(f_a\) sind Nullstellen von \(f_a'\)

1. Ableitung

\(f_a'=2 \cdot \left(-\frac{1}{4a^2}\right) \cdot x^2+\frac{3}{4}=-\frac{3}{4a^2}\cdot x^2+\frac{3}{4}\)

Nullstellen der 1. Ableitung:

\(\begin{align} &f_a'(x)=0 \\ &\Leftrightarrow - \frac{3}{4a^2} \cdot x^2 + \frac{3}{4} = 0\\ &\Leftrightarrow \frac{3}{4a^2} \cdot x^2 = \frac{3}{4} \\ &\Leftrightarrow x^2= \frac{3}{4} \cdot \frac{4a^2}{3} = a^2 \\ &\Leftrightarrow x^2= \pm a \end{align}\)

Wegen \(-8\leq x \leq 0\) kommt nur \(x=-1\) als Extremalstelle infrage. 

2. Ableitung

\(\begin{align} &f_a''(x)=2 \cdot \left( -\frac{3}{4a^2} \right) \cdot x= -\frac{3}{2a^2} \cdot x \\ &\Rightarrow f_a''(-a)=\frac{3}{2a^2} \cdot (-a)=\frac{3}{2a}>0, \end{align}\)

wegen \(3,2 \leq a \leq 4\).

Also hat die Funktion \(f_a\) bei \(x=-a\) ein lokales Minimum. 

Berechnen des Funktionswertes

\(f_a(-a)=-\frac{1}{2}a\) hatten wir schon bei a) (1) berechnet.

Somit hat der Tiefpunkt \(T_a\) des Graphen von \(f_a\) die Koordinaten \(T_a \left( -a \bigg| -\frac{a}{2} \right)\).

2a) (3)

Schritt 1: Ortskurve der Minima bestimmen

x-Koordinate der Minima: \(–a\)

\(x=-a \Rightarrow a = -x\)

Einsetzen in die y-Koordinate \(-\frac{a}{2}\) der Minima liefert:

\(-\frac{-x}{2}=\frac{x}{2}\)

Die Funktion \(k\), deren Graph die Ortskurve der Minima ist, lautet damit:

\(k(x)=\frac{x}{2}\)

2b) (1)

Schritt 1: Wert für a und Höhe berechnen

 Berechnen von a:

1. Ableitung an der Stelle \(x=-8 \) soll gleich \(–3\) sein.

\(f_a'(-8)=-\frac{3}{4a^2}\cdot(-8)^2+\frac{3}{4}=-\frac{48}{a^2}+\frac{3}{4} \overset{!}{ \underset{ \Box }{=} } -3\)

\(\begin{align} &\Rightarrow -\frac{48}{a^2}=-3-\frac{3}{4}=-\frac{15}{4} \\ &\Rightarrow a^2=\frac{48 \cdot 4}{15}=\frac{64}{5} \\ &\Rightarrow a=\pm \frac{8}{\sqrt{5}}=\pm\frac{8\sqrt{5}}{5} \end{align}\)

Wegen \(3,2\leq a \leq 4\) ist \(a=\frac{8\sqrt{5}}{5}\).

Berechnen der Starthöhe

\(\begin{align} f_{\frac{8 \sqrt{5} }{5} }(-8) &= -\frac{1}{4 \left( \frac{8 \sqrt{5}}{5} \right)^2} \cdot (-8)^3+\frac{3}{4}\cdot (-8) \\ &= \frac{5}{4 \cdot 64} \cdot 8^3 -6 =\frac{5\cdot 8}{4}-6 = 10 -6 \\ &=4 \end{align}\)

Lösung

Der Startpunkt \(S_{ \frac{8\sqrt5}{5} }\) befindet sich 4 m über dem Boden.

2b) (2)

Schritt 1: Durchschnittliche Steigung prüfen und beurteilen

Angabe prüfen

Die durchschnittliche Steigung des Graphen von \(f_{ \frac{8\sqrt5}{5} }\) im Bereich \(-8 \leq x \leq 0 \) ist der Quotient aus dem Höhenunterschied zwischen Start- und Endpunkt der Schanze und der Länge der Schanze, also:

\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_A-y_S}{x_Y-x_S}=\frac{0-4}{0-(-8)}=\frac{-4}{8}==-\frac{1}{2}\)

Die Angabe der Firma ist korrekt.

Aussagekraft der Angabe beurteilen

Einen Durchschnittswert für die Steigung über das gesamte Intervall anzugeben, ist nicht sinnvoll, weil der Graph einen Tiefpunkt durchläuft, an dem die Steigung ihr Vorzeichen von – nach + wechselt. Diese Information geht bei der Angabe des Durchschnittswertes verloren und man kann aus diesem weder das durchschnittliche Gefälle vor dem Tiefpunkt noch den durchschnittlichen Anstieg nach dem Tiefpunkt ableiten.

2b) (3)

Auszuhebendes Erdvolumen berechnen

Das Volumen des ausgehobenen Bodenmaterials berechnet sich als „Querschnittsfläche der Grube mal Breite der Grube“, wobei die Breite der Grube mit der Breite der Sprungschanze übereinstimmt, also 2 m beträgt.

Die Querschnittsfläche der Grube entspricht der Fläche, die der Teil des Graphen mit der x-Achse einschließt, der unterhalb der x-Achse verläuft.

Diese Fläche kann mit einem bestimmten Integral über \(f\) bestimmt werden.

Schritt 1: Stammfunktion bestimmen

Da für jedes \(a \in \mathbb{R} \backslash \{-1\}\) eine Stammfunktion von \(x \rightarrow x^a\) durch \(x \mapsto \frac{1}{a+1}\cdot x^{a+1}\) gegeben ist, ergibt sich mithilfe der Linearität unbestimmter Integrale als Stammfunktion \(F_a(x)\) für \(f_a(x)=-\frac{1}{4a^2}x^3 + \frac{3}{4}x =0\):

\(F_a(x)=-\frac{1}{16a^2}x^4+\frac{3}{8}x^2\)

Für \(a=\frac{8\sqrt{5}}{5}\) ergibt sich:

\(\begin{align} F_{\frac{8\sqrt5}{5}}(x)&=-\frac{1}{16 \left( \frac{8 \sqrt{5}}{5} \right)^2}x^4+ \frac{3}{8}x^2 \\ &=-\frac{5}{1024}x^4 + \frac{3}{8}x^2 \end{align}\)

Da der Graph von \(f_a\) unterhalb der x-Achse liegt, muss das negative Vorzeichen des Integrals kompensiert werden. Die Integralgrenzen sind die Nullstellen von \(f_a\), also \(-\sqrt3a\) und \(0\).

Erste Nullstelle für \(a=\frac{8\sqrt5}{5}\)

\(-\sqrt3\cdot\frac{8\sqrt5}{5}=-\frac{8\sqrt5}{5}\)

Somit ergibt sich als Querschnittsfläche Q:

\(\begin{align} Q&=-\int_{-\frac{8\sqrt5}{5} }^{0} f_{ \frac{8\sqrt5}{5} }(x) \mathrm(d)x=-\left( F_{\frac{8\sqrt5}{5}}(0) - F_{\frac{8\sqrt5}{5}}\left( -\frac{8\sqrt5}{5} \right) \right) \\ &=-\frac{5}{1024} \left( -\frac{8\sqrt5}{5}\right)^4 + \frac{3}{8} \left( -\frac{8\sqrt5}{5}\right)^2 \\ &=-\frac{5 \cdot 4096 \cdot 225 }{1024 \cdot 625} + \frac{3 \cdot 64 \cdot 15}{8 \cdot 25} \\ &=-\frac{5 \cdot 4 \cdot 9}{25} + \frac{3 \cdot 8 \cdot 3}{5} = \frac{4 \cdot 9}{5} + \frac{9 \cdot 8}{5} = \frac{36}{5} = 7\frac{1}{5}=7,2 \end{align}\)

Da eine Längeneinheit einem Meter entspricht, beträgt die Querschnittsfläche der Grube 7,2 m2. Das Volumen des auszuhebenden Bodenmaterials ist also:

\(V=7,2\ m^2 \cdot 2\ \mathrm{m} = 14,14\ \mathrm {m}^3\)

Es müssen also 14,4 m3 Erde für den Bau der Schanze ausgehoben werden.

2c) (1)

Schritt 1: Steigung in \(A(0|0)\)

1. Ableitung bei \(x=0\):

\(f_a'(0)=-\frac{3}{4a^2} \cdot 0^2 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\)

Der Wert der 1. Ableitung in \(x = 0\) ist unabhängig von a, womit alle Sprungschanzen dort dieselbe Steigung haben.

2c) (2)

Schritt 1: Gleichung für q herleiten

 Knickfreier Anschluss in A
  • Der Graph der Funktion \(q\) geht durch den Punkt \(A(0|0)\) \(\Rightarrow q(0)=0\).

  • Der Anschluss von \(q\) an \(f\) ist knickfrei, d. h., die Steigungen beider Funktionen stimmen in A überein.
    \(\Rightarrow q'(0)=f_a'(0)=\frac{3}{4}\)
\(B(4|0)\) ist Punkt der Parabel

\(\Rightarrow q(4)=0\)

q als quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion hat einen Funktionsterm der Form \(ax^2+bc+c\) für geeignete Konstanten \(a\), \(b\) und \(c\). Man setzt also \(q(x)= ax^2+bc+c\) und benutzt die obigen Bedingungen, um geeignete Konstanten zu finden.

\(q(0)=0 \Leftrightarrow 0 +0 +c = 0 \Leftrightarrow c =0\)

Es ist \(q'(x)=2ax+b\), also lautet die zweite Bedingung:

\(q'(0)=f_a'(0)=\frac{3}{3}\)

\(\Leftrightarrow 0 + b = \frac{3}{4} \Leftrightarrow b = \frac{3}{4}\)

Mit den bisherigen Ergebnissen ist:

\(q(x)=ax^2+bx+c=ax^2+ \frac{3}{4}x\)

Die Bedingung \(q(4)=0\) liefert somit:

\(a \cdot 4^2 + \frac{3}{4} \cdot 4 =0 \Leftrightarrow a=-\frac{3}{16}\)

Die Gleichung für \(q\) lautet demzufolge:

\(q(x)=-\frac{3}{16}x^2 + \frac{3}{4}x\)

2c) (3)

Schritt 1: Punkt C bestimmen

 Lösungsansatz

Gefragt ist nach der Maximalstelle der Differenzfunktion \(d(x)=q(x)-h(x)\).

 \(q(x)=-\frac{3}{16}x^2 + \frac{3}{4}x\)

\(h(x)= \frac{3}{100}x^3- \frac{3}{10}x^2 + \frac{3}{4}x\)

\(\begin{align}\Rightarrow d(x) &= -\frac{3}{16}x^2 + \frac{3}{4}x- \left( \frac{3}{100}x^3 - \frac{3}{10}x^2 + \frac{3}{4}x \right) \\ &= -\frac{3}{16}x^2 + \frac{3}{4}x- \frac{3}{100}x^3 + \frac{3}{10}x^2 - \frac{3}{4}x \\ &= -\frac{3}{100}x^3 - \frac{15}{80}x^2 + \frac{24}{80}x^2 \\ &= -\frac{3}{100}x^3 + \frac{9}{80}x^2 \end{align}\)

Da sich der BMX-Fahrer oberhalb des Aufsprunghügels befinden muss, kann die Differenzfunktion nur zwischen A(0|0) und einer weiteren Nullstelle von d (dem Schnittpunkt von \(q(x)\) und \(h(x)\) für x > 0) verwendet werden, wie man aus Abb. 2 entnimmt.

Bestimmung der 2. Nullstelle als rechter Intervallgrenze

\(d(x)=-\frac{3}{100}x^3+\frac{9}{80}x^2=x^2\cdot \left( -\frac{3}{100}x+\frac{9}{80}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\) oder \(-\frac{3}{100}x + \frac{9}{80}=0\)

Dabei ist:

\(-\frac{3}{100}x + \frac{9}{80} = 0\)

\(\Leftrightarrow x= \frac{9}{80} \cdot \frac{100}{3}=\frac{15}{4}\)

Damit wird die Funktion \(d(x)\) verwendet für \(0\leq x \leq \frac{15}{4}\).

 Bestimmung der Extrema

Extremalstellen von \(d \) sind Nullstellen von \(d'\).

1. Ableitung von \(d\):

\(x\left(-\frac{9}{100}x+\frac{9}{40} \right) = \Leftrightarrow x=0\) oder \(-\frac{9}{100}x+\frac{9}{40} =0\)

Dabei ist:

\(- \frac{9}{100}x+\frac{9}{40} =0 \Leftrightarrow x=-\frac{9}{40} \cdot \left( -\frac{100}{9} \right)=\frac{5}{2} \)

2. Ableitung \(d''\):

\(d''(x)=-\frac{9}{50} x+\frac{9}{40}\)

\(\Rightarrow d''(0)=-\frac{9}{50} \cdot 0+\frac{9}{40} =\frac{9}{40} >0\)

\(d''\left(\frac{5}{2} \right)=-\frac{9}{50} \cdot \frac{5}{2}+\frac{9}{40} = -\frac{9}{20}+\frac{9}{40} =-\frac{9}{40} <0 \)

\(\Rightarrow\)  Bei \(x=\frac{5}{2} \)hat die Funktion \(d\) ein lokales Maximum, bei \(x=0 \) ein lokales Minimum (denn hier hat die Differenzfunktion den Wert 0, da sowohl \(q(x)\) als auch \(h(x)\) in \(A(0|0)\) an \(f_a(x)\) anschließen und somit beide den Wert 0 haben).

An der rechten Intervallgrenze nimmt \(d\) ebenfalls den Wert 0 an (s. o.), womit \(x_2=\frac{5}{2} \) im Intervall \(0 \leq x \leq \frac{15}{4}\) auch ein globales Maximum ist.

Koordinaten von \(C\)

Damit ist der vertikale Abstand des Fahrers zum Aufsprunghügel bei \( x_2=\frac{5}{2}\) am größten und \(C\) hat die x-Koordinate \(x=\frac{5}{2}\).

Die y-Koordinate von C ist der Funktionswert \(q(x_2)\)

\(\begin{align} q\left( \frac{5}{2} \right) &= -\frac{3}{16} \cdot \left( \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} =-\frac{75}{64}+\frac{15}{8}\\ &=-\frac{75}{64} + \frac{120}{64} = \frac{45}{64} \end{align}\)

Der Punkt C hat die Koordinaten \(q\left( \frac{5}{2} \bigg| \frac{45}{64} \right)\).

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