Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Abi 2013 Analysis LK (1)


Aufgabe 1

a) (1)

Schritt 1: Höhenzunahme zeigen

\(f_a(t) \) = Höhe in Abhängigkeit von der Zeit \(t\):

\(f_a(t)=a \cdot ( 1-e^{-0,02 \cdot t})^2 \) für \(t \geq 0 \) und \(a>0\)

Änderung des Höhenwachstums (Wachstumsrate) = 1. Ableitung von \(f_a(t)\):

\(\begin{align} f'(t)=& 2a \cdot ( 1 - e^{-0,02 \cdot t}) \cdot (-0,02) \cdot (- e^{-0,02 \cdot t}) \\ =& 0,04a \cdot e^{-0,02 \cdot t} \cdot ( - e^{-0,02 \cdot t}) \geq 0, \\ \end{align}\)

denn \(0,04a>0 \) (wegen \(a>0\)) und \(1\geq e^{-0,02 \cdot t}>0 \), da \(-0,02 \cdot t \leq 0 \Rightarrow e^{-0,02 \cdot t} \leq e^0 =1\). Für \(t>0\) gilt sogar 

\(e^{-0,02 \cdot t}<1\), also \(1-e^{-0,02 \cdot t}>0\) und somit \(f_a'(t)>0\).

Bis auf den Anfangszeitpunkt \( t=0\) ist also stets \(f_a'(t)>0\), das heißt, die Höhe der Buche nimmt ständig zu.

a) (2)

Schritt 1: Parameter a berechnen

Höhe 10 Jahre nach Beobachtungsbeginn ist 1,15 m.

\(\begin{align} \Rightarrow & f_a(10) = 1,15 \\ \Rightarrow & a \cdot (1 - e^{-0,02 \cdot 10})^2 = 1,15 \\ \Rightarrow & a= \frac{1,15}{(1- e^{-0,2})^2} \approx 6,34 \end{align}\)

a) (3)

Schritt 1: Parameter a interpretieren

Wegen \(f_a'(t)=0,04a \cdot e^{-0,02 \cdot t} \cdot ( 1-e^{-0,02 \cdot t})\) ist die Wachstumsgeschwindigkeit proportional zum Parameter a. Dieser ist also ein Maß dafür, wie schnell die Buche wächst. Außerdem gibt der Parameter a die kleinste obere Schranke für die Höhe der Buche während ihrer ganzen Lebenszeit an. Wie nämlich in Teilaufgabe (1) schon bemerkt, wächst \(f_a\) streng monoton und nähert sich dabei einer Maximalhöhe von

\(\lim\limits_{t \rightarrow \infty} f_a(t)=a \cdot \left( 1- \underbrace{\lim\limits_{t \rightarrow \infty} e^{-0,02 \cdot t}}_{\text{=0}} \right)^2 = a \)

b) (1)

Schritt 1: Begrenztes Wachstum begründen

\(f_{35}(t)=35 \cdot (1-e^{-0,02 \cdot t})^2\)

für \(t \geq 0\) zu zeigen: \(f_{35}(t) \leq 35\) für alle \(t \in [0; \infty [\).

Zum einen gilt \(-0,02 \cdot t \leq 0\) für alle \(t \in [0; \infty [\).
Zum anderen wächst die Exponentialfunktion streng monoton und nimmt stets positive Werte an.

Damit folgt:

\(\begin{align}&0<e^{-0,02 \cdot t} \leq e^0 = 1 & &|\cdot (-1) \\&\Rightarrow 0> -e^{-0,02 \cdot t} \geq -1 & &|+1 \\ &\Rightarrow 1>1 -e^{-0,02 \cdot t} \geq0 & &| \text{quadrieren} \\&\Rightarrow 1>(1 -e^{-0,02 \cdot t})^2 \geq 0 & &| \cdot 35 \\ &\Rightarrow 35 > \underbrace{ 35 \cdot ( 1 -e^{-0,02 \cdot t} )^2 }_{f_{35}(t)} \geq 0 & & \\ \end{align}\)

Somit gilt \(0\leq f_{35}(t)<35 \) für alle \(t \in [0; \infty [\).

Lösung

Die mit \(f_{35}\) modellierte Buche wird nicht höher als 35 m. 

b) (2) 

Schritt 1: Zeitpunkt des stärksten Wachstums bestätigen

Der Zeitpunkt \(t_1\) des stärksten Wachstums ist die Maximalstelle der Wachstumsgeschwindigkeit \(f_{35}'\). Es ist zu zeigen, dass die Maximalstelle bei \(t_1=50 \cdot \ln 2\) liegt.

Für die Bestimmung der Maximalstelle werden die 1. und 2. Ableitung von \(f_{35}'\), also die 2. und 3. Ableitung von \(f_{35}\) benötigt.

1., 2. und 3. Ableitung von \(f\) bilden

\(f(t)=f_{35}(t)=35 \cdot (1- e^{-0,02 \cdot t})^2\)

(Zur 1. Ableitung vgl. a)(1))

\(\begin{align} \Rightarrow f_{35}'(t)&=0,04 \cdot 35 \cdot e^{-0,02 \cdot t} \cdot (1- e^{-0,02 \cdot t} ) \\ &= 1,4 \cdot e^{-0,02 \cdot t} \cdot (1- e^{-0,02 \cdot t} ) \\ &=1,4 \cdot ( e^{-0,02 \cdot t} - e^{-0,04 \cdot t} ) \\\end{align}\)

\(\begin{align} \Rightarrow f_{35}''(t)&=1,4 \cdot ((-0,02) \cdot e^{-0,02 \cdot t} -(-0,04) \cdot e^{-0,04 \cdot t}) \\ &= 0,028 \cdot ( -e^{-0,02 \cdot t} + 2 \cdot e^{-0,02 \cdot t} ) \\ &= 0,028 \cdot ( 2 \cdot e^{-0,04 \cdot t} - e^{-0,02 \cdot t} ) \end{align}\)

\(\begin{align} \Rightarrow f_{35}'''(t)&=0,028 \cdot ( 2 \cdot (-0,04) \cdot e^{-0,04 \cdot t} -(-0,02) e^{-0,02 \cdot t}) \\ &= 0,00056 \cdot ( -4 \cdot e^{-0,04 \cdot t} + e^{-0,02 \cdot t} ) \\ &= 0,00056 \cdot ( e^{-0,02 \cdot t} - 4 \cdot e^{-0,04 \cdot t} ) \end{align}\)

Mögliche Extremstellen von \( f_{35}' \)berechnen

Maximalstellen von \(f_{35}'\) sind zugleich Nullstellen von \(f_{35}''\).

\(\begin{align} &f_{35}''(t)=0 \\ &\Leftrightarrow 0,028 \cdot (2e^{-0,04 \cdot t} - e^{-0,02 \cdot t})=0 &&| :0,028 \\ &\Leftrightarrow 2e^{-0,04 \cdot t} - e^{-0,02 \cdot t}=0 && |+e^{-0,02 \cdot t} \\ &\Leftrightarrow 2e^{-0,04 \cdot t} = e^{-0,02 \cdot t} && | \cdot e^{0,04 \cdot t} \\ &\Leftrightarrow 2= e^{0,02 \cdot t} && | \text{logarithmieren} \\ &\Leftrightarrow \ln 2= 0,02 \cdot t && | :0,02 \\ &\Leftrightarrow t=\frac{\ln 2}{0,02}=50 \cdot \ln 2 \\ \end{align}\)

Mögliche Extremstellen von \(f_{35}\) prüfen

Um zu zeigen, dass \(t=50 \cdot \ln 2\) eine Maximalstelle ist, wird das Vorzeichen von \(f_{35}'''(50 \cdot \ln 2)\) untersucht.

\(\begin{align} f_{35}''' (50 \cdot \ln 2) &=0,00056 \cdot \left( e^{-0,02 \cdot 50 \cdot \ln 2} - 4 \cdot e^{-0,04 \cdot 50 \cdot \ln 2} \right) \\ &=0,00056 \cdot \left( e^{-\ln 2} - 4 \cdot e^{-2 \cdot \ln 2} \right) \\ &=0,00056 \cdot \left( \left(e^{\ln 2} \right)^{-1} - 4 \cdot \left( e^{\ln 2} \right)^{-2} \right) \\ &=0,00056 \cdot \left( 2^{-1}-4 \cdot 2^{-2} \right) \\ &=0,00056 \cdot \left( \frac{1}{2} -4 \cdot \frac{1}{4} \right) \\ &=0,00056 \cdot \left(- \frac{1}{2} \right) \\ &=-0,00028 < 0 \end{align} \)

Wegen \(f_{35}'''(50 \cdot \ln 2) <0\) liegt bei \(t_1=50 \cdot \ln 2\) ein lokales Maximum von \(f_{35}'''\)

Um zu prüfen, ob das Maximum auch ein globales Maximum ist, untersucht man das Verhalten von \(f_{35}'\) an den Intervallrändern \(t = 0\) und \(t \rightarrow \infty\).

\(f_{35}'=1,4 \cdot (e^{-0,02 \cdot 0} - e^{-0,04 \cdot 0}) = 1,4 \cdot (1-1)\)

\(\lim\limits_{t \rightarrow \infty} f_{35}'(t)=\lim\limits_{t \rightarrow \infty} 1,4\cdot (e^{-0,02 \cdot t} - e^{-0,04 \cdot t} )=1,4 \cdot (0-0)=0\)

Wie schon in Teilaufgabe (1) bemerkt, ist \(f_{35}' \) nie negativ, also kann der Wert an der Stelle \(t_1=50 \cdot \ln 2\) nicht kleiner sein als an den Rändern des Definitionsbereichs.

\(\Rightarrow t_1=50\cdot \ln 2 \) ist ein globales Maximum.

Lösung

Die Buche wächst also nach \(50 \cdot \ln 2 \approx 34,7\) Jahren am schnellsten.

c) (1)

Schritt 1: Höhenverhältnis begründen

Der Graph der Wachstumsgeschwindigkeit von Buche 1 liegt im gesamten Intervall \(]0; \infty [\) oberhalb des Graphen der Wachstumsgeschwindigkeit von Buche 2. Buche 1 wächst also während des gesamten Intervalls schneller als Buche 2.

Da beide Buchen bei \(t=0 \) (Keimung) mit der Höhe 0 m starten, bewirkt das zu jedem Zeitpunkt schnellere Wachstum von Buche 1, dass diese zu jedem späteren Zeitpunkt \(t>0\) eine größere Höhe hat als Buche 2.

c) (2)

Schritt 1: Stammfunktion ermitteln

\(g'(t)=1,1 \cdot(e^{-0,02 \cdot t}- e^{-0,04 \cdot t})\)

\(\begin{align} \Rightarrow \int g'(t)\mathrm{d}t &= \int 1,1 \cdot (e^{-0,02\cdot t}-e^{-0,04\cdot t} )\mathrm{d}t \\ &= 1,1 \cdot \int (e^{-0,02\cdot t}-e^{-0,04\cdot t} )\mathrm{d}t \\ &= 1,1 \cdot \left( \int e^{-0,02\cdot t}\mathrm{d}t-e^{-0,04\cdot t} \mathrm{d}t \right) \\ &= 1,1 \cdot \left( \frac{1}{-0.02} \cdot e^{-0,02\cdot t}-\frac{1}{0,04} \cdot e^{-0,04\cdot t} \right) +C \\ &= - \frac{1,1}{0,04} \cdot \left( 2 \cdot e^{-0,02\cdot t}- e^{-0,04\cdot t} \right) +C \\ &= -27,5 \cdot \left( 2 \cdot e^{-0,02\cdot t}- e^{-0,04\cdot t} \right) +C \\ &= 27,5 \cdot \left( 2 \cdot e^{-0,04\cdot t}- e^{-0,02\cdot t} \right) +C \\\end{align}\)

Lösung

Eine mögliche Stammfunktion ist für C = 0:

\(h(t)=27,5 \cdot (e^{-0,04 \cdot t} - 2 \cdot e^{-0,02 \cdot t})\)

c) (3)

Schritt 1: Höhenunterschied nach 50 Jahren bestimmen

Buche 2:

Da die Buchen bei der Keimung die Höhe 0 haben, ergibt sich die Höhe eines Baumes zum Zeitpunkt \(t=50 \) aus dem Höhenzuwachs bis zum Zeitpunkt \(t=50\).

Der Höhenzuwachs ist das Integral von \(t = 0\) bis \(t = 50\) über die Wachstumsgeschwindigkeit \(g'\). Für die Höhe g der zweiten Buche gilt also

\(g(50)=\int_{0}^{50}g'(t)\mathrm{d}t = [h(t)]_0^{50} = h(50)-h(0)\),

da \(h\) eine Stammfunktion von \(g'\) ist, wie in (2) gezeigt. 

\(\begin{align} g(50)=h(50)-h(0)&=27,5 \cdot (e^{-0,04 \cdot 50} -2 \cdot e^{-0,02 \cdot 50}) - 27,5 \cdot(1-2)\\ &=27,5 \cdot (e^{-2}-2 \cdot e^{-1}+1) \\ &\approx 10,99 \end{align}\)

Buche 2 ist nach 50 Jahren etwa 10,99 m hoch.

Buche 1:

Die Höhe der ersten Buche nach 50 Jahren lässt sich mit \(f_{35}\) berechnen.

\(f_{35}(50)=35 \cdot (1-e^{-0,02\cdot 50})^2\approx 13,99\)

Lösung

Buche 1 ist nach 50 Jahren etwa 13,99 m hoch.

Der Höhenunterschied beträgt demzufolge lediglich ca. 3 m, die Behauptung ist also falsch.

d) (1)

Schritt 1: Endhöhe begründen

In Aufgabe b)(1) wurde gezeigt, dass die Buche nicht höher als 35 m wird. Aus Aufgabe a)(3) ist außerdem bekannt, dass die Höhe der Buche gegen den Wert \(a = 35\text{ m}\) strebt. Aus Abb. 1 ist ersichtlich, dass die Buche nach 240 Jahren die Höhe von 35 m schon so gut wie erreicht hat. Damit kann die tatsächliche Höhe nach 350 Jahren nicht mehr stark von 35 m abweichen, d. h., es handelt sich um einen guten Näherungswert.

d) (2)

Schritt 1: Zeitpunkt des Erreichens der halben Endhöhe berechnen

Endhöhe \(\approx \) 35 m \(\Rightarrow\) halbe Endhöhe \(\approx \) 17,5 m

Höhe in Abhängigkeit von der Zeit:

\(f_{35}(t)=35 \cdot (1-e^{-0,02\cdot t})^2\)

Vermuteter Zeitpunkt des Erreichens der halben Endhöhe:

\(t_2=-50 \cdot \ln \left( 1 - \sqrt{0,5} \right)\)

Höhe zum Zeitpunkt \(t_2\):

\(\begin{align} f_{35}\left( -50 \cdot \ln \left (1-\sqrt{0,5} \right) \right) &= 35 \cdot \left( 1-e^{-0,02 \cdot [-50 \cdot \ln \left(1- \sqrt{0,75}\right)]} \right)^2 \\ &=35 \cdot \left( 1-e^{[ \ln \left(1- \sqrt{0,75}\right)]} \right)^2 \\ &=35 \cdot \left( 1- \left[1- \sqrt{0,5}\right] \right)^2 \\ &=35 \cdot 0,5 = 17,5 \end{align}\)

Lösung

Zum Zeitpunkt \(t_2=-50 \cdot \ln \left( 1- \sqrt{0,5} \right)\) hat die Buche eine Höhe von 17,5 m, was in guter Näherung der halben Endhöhe entspricht.

d) (3)

Schritt 1: Vergleich mit der wissenschaftlichen Untersuchung

Untersuchungsergebnisse:

Erreichen der Hälfte der Endhöhe ...

  • in der ersten Hälfte der Lebenszeit,
  • nach dem Maximum der Wachstumsgeschwindigkeit.

Prüfen des ersten Ergebnisses:

Lebensalter = 350 Jahre

Erste Hälfte der Lebenszeit: \(0 \leq t \leq 175\) Jahre

\(t_2=-50 \cdot \ln \left( 1- \sqrt{0,5} \right) \approx 61,4\)

Die Buche erreicht ihre halbe Endhöhe nach etwa 61,4 Jahren, das liegt in der ersten Hälfte ihrer Lebenszeit.

Prüfen des zweiten Ergebnisses:

In Aufgabe b)(2) wurde gezeigt, dass \(t_1=50 \cdot \ln 2\) die Maximalstelle der Wachstumsgeschwindigkeit ist.

\(\Rightarrow t_1 \approx 34,7 \) Jahre

\(\Rightarrow t_2 > t1\)

Lösung

Die Buche erreicht also ihre halbe Endhöhe zu einem späteren Zeitpunkt als ihre maximale Wachstumsgeschwindigkeit.
Beide Ergebnisse der wissenschaftlichen Untersuchung sind also mit der Modellierung verträglich.

Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.
Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Musterlösungen findest du hier