Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Abi 2013 Analysis A3 WTR GK


Aufgabe 3

a)

1.

Schritt 1: Nullstellen berechnen

Nullstellen werden wie folgt berechnet:

\(\quad \ \ f\left(x\right) = x^3 + 3x^2 \stackrel{!}{=} 0 \\ \Leftrightarrow x^2 \cdot \left(x+3\right) =0 \\ \Leftrightarrow x^2 = 0 \ oder \ x+3 =0 \\ \Leftrightarrow x = 0 \ oder \ x=-3\)

2.

Extrempunkte und Wendepunkte bestimmen

Schritt 1: Ableitungen bestimmen

Wendestellen werden mit dem hinreichenden Kriterium \(f''\left(x_0\right) = 0\) und \(f'''\left(x_0\right) \neq 0\) nachgewiesen. Dazu brauchen wir die ersten drei Ableitungen von \(f\).

\(f\left(x\right) = x^2 + 3x^2 \\ \Rightarrow f'\left(x\right) = 3 \cdot x^2 + 3 \cdot 2x = 3x^2 + 6x \\ \Rightarrow f''\left(x\right) = 3 \cdot 2x + 6 = 6x +6 \\ \Rightarrow f'''\left(x\right) =6\)

Schritt 2: Die 1. Ableitung gleich 0 setzen

Notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei \(x=x_0: f'\left(x_0\right) = 0 \ .\)

\(f'\left(x\right) = 3x^2 + 6x =0 \\ \Leftrightarrow 3x \cdot \left(x+2\right) =0 \\ \Leftrightarrow 3x = 0 \ oder \ x+2 = 0 \\ \Leftrightarrow x = 0 \ oder \ x=-2\)

Schritt 3: Die 2. Ableitung an den Nullstellen von \(f'\) berechnen

Hinreichende Bedingung für eine Extremalstelle bei \(x=x_0\):

\(f'\left(x_0\right) = 0\) und \(f''\left(x_0\right) \neq 0\) (Maximalstelle, falls \(f''\left(x_0\right) < 0\), und Minimalstelle, falls \(f''\left(x_0\right) > 0\).)

\(f''\left(0\right) = 6 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt bei \(x=0\)

\( f''\left(-2\right) = -6 < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt bei \(x=-2\)

Schritt 4: Funktionswerte an den Extremstellen berechnen

\(f\left(0\right) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 = 0 \\ f\left(-2\right) = \left(-2\right)^3 + 3 \cdot \left(-2\right)^2 = -8 +12 =4\)

Der Tiefpunkt hat die Koordinaten \(T\left(0\mid 0\right)\), der Hochpunkt die Koordinaten \(H\left(-2\mid 4\right)\).

Schritt 5: Wendestelle berechnen

Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt bei \(x=x_0: f''\left(x_0\right) = 0 .\)

\(\quad \ \ \ f''\left(x\right) =6x + 6 \stackrel{!}{=} 0 \\ \Leftrightarrow x = -1\)

Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt bei \(x=x_0: f''\left(x_0\right) = 0\) und \(f'''\left(x_0\right) \neq 0\).

Im vorliegenden Fall ist \(f'''\left(-1\right) = 6 \neq0\).

Somit ist bei \(x=-1\) eine Wendestelle von \(f\).

Schritt 6: Funktionswert an der Wendestelle berechnen

\(f\left(-1\right) = \left(-1\right)^3 + 3\cdot \left(-1\right)^2 = -1 +3 = 2\)

Der Wendepunkt hat die Koordinaten \(W \left(-1\mid 2\right)\).

  • Punkte:  13

b)

1.

Neuen Funktionsterm bestimmen

Schritt 1: Verschiebung des Graphen berechnen

Die Verschiebung des Wendepunkts \(W\left(-1\mid2\right)\) auf den Ursprung \(0\left(0\mid 0\right)\) setzt sich aus einer Verschiebung um \(1 \ LE\) in positive \(x\)-Richtung und einer Verschiebung um \(2 \ LE\) in negative \(y\)-Richtung zusammen.

Im Funktionsterm von \(f\) ist daher \(x\) durch \(x-1\) zu ersetzen und \(2\) abzuziehen, um den Funktionsterm \(f^*\left(x\right)\) des verschobenen Graphen zu erhalten.

Aus der Funktionsgleichung \(f\left(x\right) = x^3 + 3x^2\) wird in unserem Fall:

\(f^*\left(x\right) = f\left(x-1\right) -2 \\ \qquad \ \ = \left(x-1\right)^3 + 3\cdot \left(x-1\right)^2 -2 \\ \qquad \ \ = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + 3\left(x^2 -2x +1\right) -2 \\ \qquad \ \ = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + 3x^2 - 6x +3-2 \\ \qquad \ \ = x^3 - 3x = h \left(x\right)\)

\(\Longrightarrow\) Die gegebene Verschiebung bildet den Graphen der Funktion \(f\) auf den Graphen der Funktion \(h\) ab.

Abi 2013 Analysis A3 WTR GK - Abbildung 1

2.

Schritt 1: Punktsymmetrie begründen

Der Graph \(G_f\) ist genau dann punktsymmetrisch um \(W\), wenn der verschobene Graph \(G_h\) punktsymmetrisch um den verschobenen Punkt \(O\) ist.

Letzteres ist gewährleistet, denn:

\(h\left(-x\right) = \left(-x\right)^3 - 3 \cdot \left(-x\right) \\ \qquad \ \ \ =-x^3 + 3x \\ \qquad \ \ \ = -\left(x^3 -3x\right) \\ \qquad \ \ \ =-h\left(x\right) \ für \ alle \ x \in \mathbb{R}\)

Also ist \(h\) punktsymmetrisch zum Ursprung und somit \(f\) punktsymmetrisch um \(W\).

  • Punkte:  8

c)

1.

Fläche zwischen \(f\) und \(h\) berechnen

Schritt 1: Schnittpunkte von \(G_f\) und \(G_h\) berechnen

Die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen bilden die linke und rechte Grenze der gesuchten Fläche.

\(\quad \ \ f\left(x\right) = h\left(x\right) \\ \Leftrightarrow x^3 + 3x^2 = x^3 -3x \\ \Leftrightarrow 3x^2 = -3x \\ \Leftrightarrow 3x^2 + 3x =0 \\ \Leftrightarrow 3x \cdot \left(x+1\right) =0 \\ \Leftrightarrow 3x = 0 \ oder \ x+1 =0 \\ \Leftrightarrow x = \ oder \ x =-1\)

Die Graphen \(G_f\) und \(G_h\) schneiden sich bei \(x=0\) und \(x=-1\).

Schritt 2: Integral aufstellen und lösen

Die Fläche zwischen \(G_f\) und \(G_h\) im Bereich zwischen \(x=-1\) und \(x=0\) (wo sich die Graphen schneiden) ist gegeben durch das Integral über die nicht negative Differenz der beiden Funktionen. Wir müssen daher zuerst ermitteln, ob im Intervall \([-1;0]\) \(f\left(x\right) \leq h\left(x\right)\) oder \(f\left(x\right) \geq h\left(x\right)\) gilt. Es ist:

\(f\left(x\right) - h\left(x\right) = x^3 + 3x^2 - \left(-x^3 -3x\right) = 3x^2 + 3x = 3x \cdot \left(x+1\right)\)

Im Integrationsbereich \([-1;0]\) ist der erste Faktor negativ oder 0 und der zweite Faktor positiv oder 0. Das Produkt ist also nie positiv. Somit ist \(f\left(x\right) \leq h\left(x\right)\) und die Fläche ist:

\(\int_{-1}^0 \left(h\left(x\right) -f\left(x\right)\right)dx = \int_{-1}^0 \left(-3x^2-3x\right)dx \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ = \left[-x^3 - \frac{3}{2}x^2\right]_{-1}^0 \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ = 0-0-\left(1-\frac{3}{2}\right) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ =\frac{1}{2}\)

Die Fläche, die von den Graphen der Funktionen \(f\) und \(h\) eingeschlossen wird, hat einen Flächeninhalt von 0,5 Flächeneinheiten.

2.

Schritt 1: Fläche zwischen \(f\) und \(p\) berechnen

Bei der Verschiebung in b) (1.) wird aus dem Graphen \(G_f\) der Graph \(G_h\) und aus der Geraden \(p\) die \(x\)-Achse. Somit ist die Fläche zwischen \(G_f\) und \(p\) gleich der verschobenen Fläche zwischen \(G_h\) und der \(x\)-Achse.

Abi 2013 Analysis A3 WTR GK - Abbildung 2

Abi 2013 Analysis A3 WTR GK - Abbildung 3 Abi 2013 Analysis A3 WTR GK - Abbildung 4

Um Letztere zu berechnen, brauchen wir die Schnittstellen von \(G_h\) mit der \(x\)-Achse, also die Nullstellen von \(h\).

\(\quad \ \ \ h\left(x\right) = x^3 -3x \stackrel{!}{=} 0 \\ \Leftrightarrow x\cdot \left(x^2-3\right) = 0 \\ \Leftrightarrow x = 0 \ oder \ x^2-3 =0 \\ \Leftrightarrow x = 0 \ oder \ x=-\sqrt{3} \ oder \ x=\sqrt{3}\)

Die gesuchte Fläche setzt sich also aus zwei Teilflächen zusammen: die erste von \(x=-\sqrt{3}\) bis \(x=0\) und die zweite von \(x=0\) bis \(x=\sqrt{3}\). Aufgrund der Punktsymmetrie von \(G_h\) zum Ursprung \(0\left(0\mid0\right)\) ist die rechte Teilfläche genauso groß wie die linke.

Die linke Teilfläche ist

\(A_1 = \left \vert \int_{-\sqrt{3}}^0 h\left(x\right)dx \right \vert\), wobei:

\(\int_{-\sqrt{3}}^0 h\left(x\right)dx = \int_{-\sqrt{3}}^0\left(x^3 -3x\right)dx \\ \qquad \qquad \quad \ = \left[\frac{1}{4}x^4 -\frac{3}{2}x^2\right]_{-\sqrt{3}}^0 \\ \qquad \qquad \quad \ = 0-0-\left(\frac{1}{4} \cdot 9 - \frac{3}{2} \cdot 3\right) = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} \\ \qquad \qquad \quad \ =\frac{9}{4}\)

Somit ist \(A_1 = \mid \frac{9}{4}\mid = \frac{9}{4}\) und die Gesamtfläche \(A=2 \cdot A_1 = \frac{9}{2} =4,5 \ .\)

Die Fläche, die von \(G_h\) und der \(x\)-Achse eingeschlossen wird, hat einen Flächeninhalt von 4,5 Flächeneinheiten. Dasselbe gilt also für die Fläche, die von \(G_f\) und \(p\) eingeschlossen wird.

  • Punkte:  14

d)

1.

Wendetangente berechnen

Schritt 1: Allgemeine Geradengleichung aufstellen

Die gesuchte Wendetangente ist eine Gerade, besitzt also eine Gleichung der Form \(y= mx + b\).

Um die Parameter \(m\) und \(b\) zu bestimmen, brauchen wir die Steigung und die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden, dazu eignet sich der Wendepunkt.

Schritt 2: Wendestelle suchen

Hinreichende Bedingung für eine Wendestelle bei \(x=x_0: f''_a\left(x_0\right) = 0\) und \(f'''_a\left(x_0\right) \neq 0\)

Nun ist:

\(\quad \ \ f_a\left(x\right) = x^3 + a \cdot x^2 \\ \Rightarrow f'_a\left(x\right) = 3x^2 + a\cdot 2x = 3x^2 + 2ax \\ \Rightarrow f''_a\left(x\right) = 6x + a \cdot 2 = 6x + 2a \\ \Rightarrow f'''_a\left(x\right) =6\)

Nullsetzen der 2. Ableitung liefert:

\(\quad \ \ f''_a\left(x\right) = 6x + 2a = 0 \\ \Leftrightarrow 6x = -2a \\ \Leftrightarrow x = -\frac{a}{3}\)

Wegen \(f'''_a\left(-\frac{a}{3}\right) = 6 \neq 0\) ist bei \(x=-\frac{a}{3}\) eine Wendestelle von \(f_a\).

Schritt 3: Funktionswert an der Wendestelle berechnen

\(f_a \left(-\frac{a}{3}\right) = \left(-\frac{a}{3}\right)^3 + a \cdot \left(-\frac{a}{3}\right)^2 \\ \qquad \qquad = -\frac{a^3}{27} + a\cdot \frac{a^2}{9} \\ \qquad \qquad = -\frac{1}{27}a^3 + \frac{1}{9}a^3 \\ \qquad \qquad = \frac{2}{27}a^3\)

Die Steigung der Wendetangente ist gegeben durch die 1. Ableitung von \(f_a\) an der Wendestelle.

\(f'_a \left(-\frac{a}{3}\right) = 3\left(-\frac{a}{3}\right)^2 + 2a \cdot \left(-\frac{a}{3}\right) \\ \qquad \qquad = 3\cdot \frac{a^2}{9} - 2 \cdot \frac{a^2}{3} \\ \qquad \qquad = \frac{1}{3}a^2- \frac{2}{3}a^2 \\ \qquad \qquad = -\frac{1}{3}a^2\)

Somit ist \(m=-\frac{1}{3}a^2\) und wir können die Koordinaten des Wendepunktes in die Geradengleichung einsetzen, um den Parameter \(b\) zu bestimmen.

\(\quad \ \ \ y_W = m \cdot x_W +b \\ \Leftrightarrow \frac{2}{27}a^3 = -\frac{1}{3}a^2 \cdot \left(-\frac{a}{3}\right) +b \\ \Leftrightarrow \frac{2}{27}a^3 = \frac{a^3}{9} +b \\ \Leftrightarrow b = \frac{2}{27}a^3 - \frac{a^3}{9} = -\frac{1}{27}a^3\)

Die Gleichung der Tangente im Wendepunkt lautet:

\(y= -\frac{1}{3}a^2x -\frac{1}{27}a^3\)

2.

Schritt 1: Fläche berechnen

Die gesuchte Fläche wird von drei Geraden begrenzt, ist also ein Dreieck. Die Seitenlängen ergeben sich mit den Achsenabschnitten der Wendetangente.

Der \(x\)-Achsenabschnitt ist die Nullstelle der Wendetangente.

\(\quad \ \ -\frac{1}{3}a^2x -\frac{1}{27}a^3 = 0 \\ \Leftrightarrow -\frac{1}{3}a^2x = \frac{1}{27}a^3 \\ \Leftrightarrow -\frac{1}{3}a^2x = -\frac{3}{27}a =-\frac{1}{9}a\)

Der \(y\)-Achsenabschnitt ist der Parameter \(t\) aus der Geradengleichung, also \(- \frac{1}{27}a^3\). Wegen \(a>0\) sind beide Achsenabschnitte negativ, d. h., die gesuchte Fläche sieht wie folgt aus:

Abi 2013 Analysis A3 WTR GK - Abbildung 5

Wählt man als Grundseite die obere Kante, so ist die Höhe des Dreiecks gerade die Länge der rechten Kante, also \(\frac{a^3}{27}\). Somit ist der gesuchte Flächeninhalt \(A_D\) gegeben durch:

\(A_D=\frac{1}{2} \cdot Grundseite \cdot Höhe = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{9} \cdot \frac{a^3}{27} = \frac{a^4}{486}\)

Das von der Wendetangente und den Koordinatenachsen eingeschlossene Dreieck hat eine Fläche von \(\frac{1}{486}a^4\) Flächeneinheiten.

  • Punkte:  15
Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.
Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Musterlösungen findest du hier