Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)=x^3 + 3x^2\), \(x \in \mathbb R\).
Der Graph der Funktion \( f\) wird in der Abbildung dargestellt.

Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.

  • Aufgabe 1

    31 Minuten 13 Punkte

    a)

    1. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\).
    2. Berechnen Sie die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktion \( f\).

  • Aufgabe 2

    19 Minuten 8 Punkte

    b)

    Man betrachtet die Verschiebung, welche den Wendepunkt \(W(-1|2)\) der Funktion \(f\) auf den Ursprung des Koordinatensystems abbildet.

    1. Zeigen Sie rechnerisch: Durch die genannte Verschiebung wird der Graph der Funktion \(f\) auf den Graphen der Funktion \(h\) mit der Gleichung \(h(x)=x^3-3x\), \(x \in \mathbb R\), abgebildet.
    2. Begründen Sie nun, dass der Graph der Funktion \(f\) punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt \(W(-1|2)\) ist.

  • Aufgabe 3

    34 Minuten 14 Punkte

    c)

    1. Die Graphen der Funktionen  und  schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt.
    2. Es sei  die Parallele zur -Achse durch den Wendepunkt  der Funktion .
      Bestimmen Sie (zum Beispiel mithilfe von b) (1)) den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen der Funktion  und der Geraden  eingeschlossen wird.

  • Aufgabe 4

    36 Minuten 15 Punkte

    d)

    Für eine beliebige positive reelle Zahl  ist die Funktion  mit der Gleichung , , gegeben. Für  erhält man z. B. die zuvor betrachtete Funktion .

    1. Es sei  die Tangente im Wendepunkt  der Funktion . Ermitteln Sie eine Gleichung von  in Abhängigkeit von .
      [Zur Kontrolle: , ]
    2. Die Tangente  schließt im III. Quadranten eine Fläche mit den Koordinatenachsen ein.
      Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von .