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Aufgabe 1
a)
- Berechnen Sie die Höhe \(y_s\) des Startpunktes \(S(-8|y_s)\) über dem Erdboden.
- Der Funktionsgraph von \(f\) schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(A(0|0)\) und in einem weiteren Punkt \(B\).
Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes \(B\).
[Zur Kontrolle: \(B \left( -\frac{5}{2} \sqrt{6} \middle| 0 \right)\)] - Die durchschnittliche Steigung der Sprungschanze zwischen dem Startpunkt \(S\) und dem Absprungpunkt \(A\) wird mit \(-0{,}53\) angegeben.
Prüfen Sie diese Angabe und zeigen Sie, dass der angegebene Durchschnittswert auch als Steigung in einem Punkt des Sprungschanzenprofils vorkommt.
Erklären Sie, warum der angegebene Durchschnittswert der Steigung nur wenig über den Verlauf der Sprungschanze aussagt.
In einen BMX-Parcours wird eine Sprungschanze eingebaut, deren seitliches Profil durch den Graphen der Funktion \(f\) mit der Gleichung
\(f(x)=-\frac{1}{50}x^3 + \frac{3}{4}x;\quad -8 \leq x \leq 0\)
gegeben ist. (Die Funktion \(f\) ist für alle \(x\in \mathbb R\) definiert, wird aber nur für \(-8 \leq x \leq 0\) zur Modellierung verwendet.) Dabei werden sowohl \(x\) als auch \(f(x)\) als Maßzahlen zur Einheit \(1\,\text{m}\) aufgefasst. Der Funktionsgraph von \(f\) ist in Abbildung 1 dargestellt.
Die Sprungschanze wird ausgehend vom Startpunkt \(S\) von links nach rechts durchfahren und so eingebaut, dass der Absprungpunkt \( A(0|0)\) auf dem Niveau des Erdbodens liegt, das in der Seitenansicht durch die \(x\)-Achse festgelegt ist.
Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.