Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Abi 2012 Analysis Aufgabe 1, LK


Aufgabe a

Schritt 1: Ableitungen berechnen 

Hinreichende Bedingung für ein lokales Maximum bei
 \(x:f_{a}'(x)=0 \)
und
\(x:f_{a}''(x)<0.\)

\(f_{a}(t)= \frac{a}{60}(1-e^{-\frac{1}{20}t})-\frac{1}{600}t \\ \Rightarrow f'_{a}(t)=\frac{a}{60} \cdot (-e^{-\frac{1}{20}t})\cdot(-\frac{1}{20})-\frac{1}{600} \\ \quad \quad \quad\quad=\frac{a}{1200}e^{-\frac{1}{20}t}-\frac{1}{600} \\ \Rightarrow f''_{a}(t)= \frac{a}{1200}e^{-\frac{1}{20}t} \cdot(-\frac{1}{20})\\ \quad \quad \quad\quad=-\frac{a}{24000}e^{-\frac{1}{20}t} <0 \;\text{für}\;a>0.\)

Schritt 2:  Erste Ableitung Null setzen und Gleichung lösen

\(f_{a}'(t)=0 \\ \frac{a}{1200}e^{-\frac{1}{20}t_{m}}=\frac{1}{600} \quad |\cdot \frac{1200}{a} \\ e^{-\frac{1}{20}t_{m}}=\frac{20}{a} \quad\quad\quad\;\ | \text{logarihtmieren}\\ -\frac{1}{20}t_{m}=ln(\frac{2}{a}) \quad\;| \cdot(-20)\\ t_{m}=-20ln(\frac{2}{a})\\ =20ln(\frac{a}{2}) \)

Wegen a > 2 ist \(f_{a}'(0)>0\), so dass bei x = 0 kein Randmaximum vorliegen kann. Für ܽa > 0 ist außerdem die zweite Ableitung von \(f_{a}\) stets negativ, so dass der gesamte Graph rechtsgekrümmt ist. Deswegen ist die Steigung von \(f_{a}\) für \(x>20ln(\frac{a}{2})\) stets negativ, sodass der Wert  \(f_{a}(20ln(\frac{a}{2}))\)  für kein \(x>20ln(\frac{a}{2})\) überschritten werden kann. Somit ist \(t_{m}=20ln(\frac{a}{2})\) die globale Maximalstelle von \(f_{a}\).

Schritt 3: Einfluss des Parameters a 

Da die Logarithmusfunktion streng monoton wächst, wird \(t_{m}=20ln(\frac{a}{2})\) um so größer, je größer der Parameter ܽa ist.
Interpretation: Je mehr Alkohol sich im Wein befindet, umso später erreicht die Alkoholkonzentration im Blut den Maximalwert. Der Körper braucht also um so länger, das Alkohol im Blut aufzunehmen.

Aufgabe b

(1)

Zeitpunkt der maximalen Blutalkoholkonzentration:  \(t_m=20ln(\frac{a}{2})\) mit \(a=20\) also, \(t_m=20ln(10).\)

Blutalkoholkonzentration zu diesem Zeitpunkt:

\(f_{20}(20ln(10))=\frac{1}{3}(1-e^{-ln(10)})-\frac{1}{30}ln (10)\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\;= \frac{9-ln(10)}{30}\approx0,223\)

Die höchste Blutalkoholkonzentration beträgt ca. 0,223 Promille.

(2)

\(f(t)=\frac{1}{3}(1-e^{-\frac{1}{20}t})-\frac{1}{600}t=-\frac{1}{3}e^{-\frac{1}{20}t}-\frac{1}{600}t+\frac{1}{3}\\ \Rightarrow \int_{}^{} (-\frac{1}{3}e^{-\frac{1}{20}t}-\frac{1}{600}t+\frac{1}{3})dt=\frac{20}{3}e^{-\frac{1}{20}t}-\frac{1}{1200}t^2+\frac{1}{3}t+c \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad= \frac{1}{3}(20e^{-\frac{1}{20}t}-\frac{1}{400}t^2+t)+c\)

Für ܿc = 0 ergibt sich die Stammfunktion

\(F(t)=\frac{1}{3}(20e^{-\frac{1}{20}t}-\frac{1}{400}t^2+t).\)

(3)

Schritt 1: \(\frac{F(140)-F(0)}{140}\) berechnen

\(\frac{F(140)-F(0)}{140}= \frac{20e^{-7}-49+140-20}{420}\approx0,169.\)

Schritt 2: Interpretation

Es ist 

\(\frac{F(140)-F(0)}{140}= \int_{0}^{140} f_{20}(t)dt,\)

also die mittlere Alkoholkonzentration im Blut während der ersten 140 Minuten seit der Alkoholaufnahme.

(4)

\(f(140)=\frac{1}{3}(1-e^{-7})-\frac{140}{600}\approx0,099696\)

Nach 140 Minuten beträgt die Blutalkoholkonzentration etwa 0,1 ‰.

Aufgabe c

(1)

Schritt 1: Stetigkeitsbedingung aufstellen

Voraussetzung dafür, dass die Funktion h ݄ differenzierbar ist, ist ihre Stetigkeit. Das heißt, es muss gelten: 

\(\lim_{t↗ 140}h(t)=\lim_{t ↘ 140}h(t) \\ \Leftrightarrow \lim_{t↗ 140}f(t)=f(140)=\lim_{t ↘ 140}g(t).\)

Dabei ist

\( \lim_{t ↘ 140}g(t)=\lim_{t ↘ 140}u \cdot e^{-v \cdot t}=u \cdot e^{-140v }, \)

d.h. es muss \(u \cdot e^{-140v }=f(140)\) gelten.

Schritt 2: Differenzierbarkeitsbedingung aufstellen

Nachdem f und g beide bei t = 140 differenzierbar sind, ist h genau dann dort differenzierbar, wenn \(f'(140)=g'(140)\) ist. Dabei ist

\(g'(t)=-u \cdot v \cdot e^{-v \cdot t }.\)

Somit lautet die Bedingung für die Differenzierbarkeit von ݄h:

\(-u \cdot v \cdot e^{-140v }=f'(140)\)

Schritt 3: Gleichungssystem lösen

Die Parameter u und v sind so zu bestimmen, dass

\(I: u \cdot e^{-140v}=f(140)\) und

\(II: -u \cdot v \cdot e^{-140v}=f'(140)\; \text{gilt.}\)

Dabei ist

\(f(140)=\frac{1}{3}(1-e^{-7})-\frac{7}{30}=\frac{3-10e^{-7}}{30}\approx0,099696\)(s.o.) und

\(f'(140)=\frac{1}{60}e^{-\frac{1}{20}\cdot140}-\frac{1}{600}=\frac{1}{60}e^{-7}-\frac{1}{600}=\frac{10e^{-7}-1}{600}\approx-0,0016515,\)

d. h. wir können II durch I teilen und erhalten

\(-v=\frac{f'(140)}{f(140)}\\ \Leftrightarrow v=\frac{f'(140)}{f(140)}=\frac{1-10e^{-7}}{600}\cdot\frac{30}{3-10e^{-7}}=\frac{1-10e^{-7}}{60-200e^{-7}}=\frac{e^7-10}{60e^7-200}\approx 0,01656504.\)

Setzt man diesen Wert für v in I ein, so ergibt sich

\(u \cdot e^{-140 \cdot 0,01656504}\approx f(140)\Rightarrow u \approx f (140)\cdot e^{2,3191056} \approx 1, 013568.\)

Auf fünf Nachkommastellen gerundet ergibt sich also

\(v \approx 0,01657\) und \(u \approx 1, 01357.\)

(2)

Schritt 1: Differenzierbarkeitsbedingung aufstellen

Nachdem \(f'\) und \(g'\) beide bei \(t = 140\) differenzierbar sind, ist \(h'\) genau dann dort differenzierbar wenn \(f''(140)=g''(140)\) ist. Es ist aber 

\(f''(t)=-\frac{1}{1200}e^{-\frac{1}{20}t}<0\) und \(g''(t)=u \cdot v^2 \cdot e^{-v \cdot t}>0,\)

da \(u>0\) und \(v>0\).

Somit kann die Bedingung unmöglich erfüllt sein, d. h. \(h'\) ist bei \(t=140\) nicht differenzierbar und ݄somit ist \(h\) zweimal nicht differenzierbar.

(3)

Schritt 1: Stellen der größten Zu- bzw. Abnahme

Die schnellste Zunahme der Blutalkoholkonzentration entspricht dem positiven Maximum von \(h'\). Es ist \(g'(t)=-u \cdot v \cdot e^{-v\cdot t } <0\) wegen \(u >0\) und \(v>0\), d.h. das positive Maximum von \(h'\) kann nur im Bereich \(0 \leq t\leq 140\) angenommen werden, wo \(h\) durch \(f\) und nicht durch \(g\) gegeben ist. Wegen \(f''(t)<0\) für alle \(t \in \mathbb R\) (s.o.) ist \(h\)dort rechtsgekrümmt, so dass die maximale Steigung am linken Rand des Definitionsbereichs angenommen wird, d. h. bei \(t=0\).
Die schnellste Abnahme der Blutalkoholkonzentration entspricht dem negativen Minimum von \(h'\). Wegen \(f''(t)<0\) für alle \(t \in \mathbb R\) (s.o.)  ist  \(h\) im Bereich \(0 \leq t \leq140\) rechtsgekrümmt und wegen \(g''(t)>0\) für alle \(t \in \mathbb R\) (s.o.) ist \(h\) für \(t>140\) linksgekrümmt. Die Steigung nimmt also bis \(t=140\) ab und wird danach wieder größer, d. h. die kleinste Steigung wird bei \(t=140\) angenommen.

Schritt 2: Berechnung der lokalen Änderungsraten

Die momentane Änderungsrate der Blutalkoholkonzentration zum Zeitpunkt der schnellsten Zunahme ist \(h'(0)=f'(0)=\frac{1}{60}-\frac{1}{600}=\frac{3}{200}=0,015\)[Promille pro Minute].

Die momentane Änderungsrate der Blutalkoholkonzentration zum Zeitpunkt der schnellsten Abnahme ist  \(g'(140)=f'(140)=\frac{10e^{-7}-1}{600}\approx -0,00165\) [Promille pro Minute] (s.o.).

 r     rechtR

Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.
Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Musterlösungen findest du hier