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2014 Stochastik, Teil A (2)


Aufgabe 1

a)

Schritt 1: Visualisieren

2014 Stochastik, Teil A (2) - Abbildung 1

Schritt 2: Möglichkeiten festlegen

Das Experiment besteht aus zwei Zügen mit jeweils zwei Möglichkeiten, das heißt, es gibt insgesamt vier Möglichkeiten.

2014 Stochastik, Teil A (2) - Abbildung 2

Schritt 3: Zusammensetzungen bestimmen

In den Fällen rr bzw. ww ändert sich die Zusammensetzung in Urne nicht, es bleibt bei 2 roten und 3 weißen Kugeln in Urne A.
rw bedeutet, Urne A gibt eine rote Kugel ab und bekommt dafür eine weiße. Damit hat jetzt Urne A eine rote und 4 weiße Kugeln.
wr: Urne A gibt eine weiße Kugel ab und bekommt dafür eine rote. Damit hat jetzt Urne A 3 rote und 2 weiße Kugeln.
Insgesamt gibt es also drei Möglichkeiten für den Inhalt der Urne A nach dem 2. Zug, die wir schematisch wie folgt darstellen können:
(rwwww), (rrwww) oder (rrrww).

b)

Schritt 1: Pfadregel

3 weiße Kugeln in Urne A gibt es nur, wenn rr bzw. ww gezogen wird.
Der Fall „1. Kugel rot und 2. Kugel rot oder 1. Kugel weiß und 2. Kugel weiß“ hat nach den Pfadregeln die Wahrscheinlichkeit \(P(E)=P(r_1)\cdot P(r_2|r_1)+P(w_1)\cdot P(w_2|w_1),\) wobei die Indizes anzeigen, um welche Ziehung es sich handelt.

Schritt 2: Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten

\(P(r_1)\) ist \(\frac25,\) da bei der 1. Ziehung 2 der 5 Kugeln rot sind.
\(P(r_2|r_1):\) Wenn im 1. Zug eine rote Kugel gewählt wird, befinden sich in Urne B 4 rote und 2 weiße Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote aus Urne B zu ziehen, ist also \(\frac23.\)
\(P(w_1)\) ist \(\frac35,\) da bei der 1. Ziehung 3 der 5 Kugeln weiß sind.
\(P(w_2|w_1):\) Eine weiße Kugel im 1. Zug bedeutet für Urne B 3 rote und 3 weiße Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit für weiß im 2. Zug ist dann \(\frac12.\)

Schritt 3: Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E

\(P(E)=\frac25\cdot\frac23+\frac35\cdot \frac12=\frac{4}{15}+\frac{3}{10}=\frac{17}{30}>\frac{15}{30}=\frac12\)

Das Ereignis E hat tatsächlich eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis, da seine Wahrscheinlichkeit größer ist als \(\frac12.\)

  • Punkte:  5

Aufgabe 2

a)

\(\overline D\) ist das Gegenereignis von \(D.\) Es gilt also: \(P(\overline D)=1-P(D),\) wobei \(P(D)=\frac25+\frac{1}{10}=\frac12.\)
Es folgt \(P(\overline D)=1-P(D)=\frac12.\)

b)

Schritt 1: Bedingung für stochastische Unabhängigkeit hinschreiben

Die Ereignisse \(C\) und \(D\) sind stochastisch unabhängig, wenn gilt:
\(P(C)\cdot P(D)=P(C\cap D)\)
\(P(C\cap D)\) ist mit \(\frac25\) schon angegeben.

Schritt 2: \(P(C)\) berechnen

2014 Stochastik, Teil A (2) - Abbildung 3

Es gilt: \(P(C)\cdot\frac35=\frac25\Rightarrow P(C)=\frac23\)
Überprüfung auf Unabhängigkeit: \(P(C)\cdot P(D)=\frac23\cdot\frac12=\frac13\ne\frac25\)
Die Ereignisse \(C\) und \(D\) sind also stochastisch abhängig.

c)

Schritt 1: Überlegen, über welche Größe \(P(\overline C \cap D)\) berechnet werden kann

2014 Stochastik, Teil A (2) - Abbildung 4

In der Abbildung wird die zu bestimmende Größe \(P(\overline C\cap D)\) mit \(x\) bezeichnet.
Es gilt: \(P(D)=\frac25+x\)
Also ist \(x=P(D)-\frac25.\)

Schritt 2: \(P(D)\) und \(x\) berechnen

\(P(C\cap D)\) soll nicht verändert werden, bleibt also bei \(\frac25\). Damit bleibt auch \(P(C)\) mit \(\frac23\) unverändert.
Also muss gelten: \(P(C)\cdot P(D)=P(C\cap D),\) also \(\frac23\cdot P(D)=\frac25.\) Es folgt:
\(P(D)=\frac35,\) also ist \(x=P(D)-\frac25=\frac35-\frac25=\frac15.\)

  • Punkte:  10

Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.

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