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Lexikon Mathe

Mittelsenkrechte und Umkreis im Dreieck

Allgemein ist die Mittelsenkrechte eine Gerade, die so auf einer Strecke senkrecht steht, dass sie diese genau in zwei gleich lange Hälften teilt.

Im Dreieck gehören die Mittelsenkrechten mamb und mc auf den Seiten a, b und c zu den besonderen Linien.

 - Abbildung 1

Sie schneiden sich alle in einem Punkt M, der gleichzeitig der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks ist. Dies liegt daran, dass jeder Punkt auf ma gleich weit von B und C und jeder Punkt auf mb gleich weit von A und C entfernt ist. Darum ist der Schnittpunkt von ma und mb von allen drei Ecken gleich weit entfernt und damit insbesondere auch gleich weit von A und B – damit muss er definitionsgemäß auch auf der Mittelsenkrechten mc liegen. Und weil der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten den gleichen Abstand von allen Ecken hat, kann man einen Kreis mit diesem Abstand als Radius um ihn zeichnen, auf dessen Kreislinie alle drei Ecken liegen. Genau so ist aber der Umkreis definiert.

Mittelsenkrechte und Umkreis im Dreieck - Abbildung 1

Beim spitzwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt innerhalb, beim stumpfwinkligen außerhalb des Dreiecks. Beim rechtwinkligen Dreieck liegt er auf der Hypotenuse und halbiert sie. Die Umkehrung dieser Aussage ist der Satz des Thales.

Der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

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