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Lexikon Mathe

Lösungsmenge

Die Lösungsmenge L einer Gleichung oder Ungleichung enthält alle Elemente der Definitionsmenge D, welche zu einer wahren Aussage führen, sofern sie für die Variable(n) eingesetzt werden. Handelt es sich dabei um einige einzelne Werte, gibt man die Lösungsmenge meist durch Aufzählen aller Elemente an, z. B.
\(x^2= 1 \ \ \Rightarrow \ \ L=\{ -1; 1 \}\)

Bei sehr vielen oder unendlich vielen Lösungen gibt es verschiedene Kurznotationen, z. B.
\(x= |x| \ \ (D = \mathbb R) \ \ \Rightarrow \ \ L= \mathbb R_0^+ = \{x| x \ge0 \}\)

Eine (Un-)Gleichung, die immer erfüllt ist, hat ganz D als Lösungsmenge:
\(x + x = 2x \ \ \Rightarrow \ \ L= D\)

Wenn keine Lösung existiert, ist die Lösungsmenge die leere Menge:
\(\dfrac 1 x = 0 \ \ \Rightarrow \ \ L= \emptyset\)

 

Achtung: Die Lösungsmenge einer Gleichung hängt davon ab, welche Definitionsmenge gewählt wurde – die Gleichung 2x = –3 hat bei \(D=\mathbb N\) oder \(D=\mathbb B\) keine Lösung (\(L= \emptyset\)) bei \(D=\mathbb Q\) oder \(D=\mathbb R\) dagegen die Lösungsmenge \(L= \left\{ -\dfrac 3 2 \right\}\) bzw. L = {–1,5} (Zahlenmengen).

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