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Musterlösung

Musterlösung: Quadratische Funktionen und Gleichungen, Variante 1

Aufgabe 1

Berechne die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen und gib die Lösungsmenge an.

  1. \(x^2+3x-10=0\)

  2. \(3(x-4)(2x+6)=0\)

  3. \(x^2+2,5x=0\)

  4. \(4x^2 -9=0\)

  5. \(x^2+8x+20=4\)

Aufgabe 1a.

\(x^2+3x-10=0\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Die quadratische Gleichung \(x^2+3x-10=0\) liegt schon in der Normalform vor. Du kannst also direkt die Lösungsformel (p-q-Formel) \(x_{1/2}= -\frac{p}{2}\pm\sqrt{ (\frac{p}{2})^2-q}\) anwenden und die Lösungen bestimmen.

Schritt 2: Lösungen bestimmen

\(x^2+3x-10=0\) \(\Rightarrow p=2;\ q=-10\)

\(x_{1/2}= -\frac{3}{2}\pm\sqrt{ (\frac{3}{2})^2-(-10)}\)  \(\Leftrightarrow x_{1/2}= -1,5\pm\sqrt{ (1,5)^2+10}\) \(\Leftrightarrow x_{1/2}= -1,5\pm\sqrt{12,25}\)

\(\Rightarrow x_{1}= -1,5\ +3,5= 2\) und \(\Rightarrow x_{2}= -1,5 -3,5= -5\)

\(L= \{ -5; 2 \}\)

Aufgabe 1b.

\(3(x-4)(2x+6)=0\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Die quadratische Gleichung liegt in der Produktform vor. Da ein Produkt immer dann das Ergebnis null hat, wenn einer der Faktoren null ist, musst du die Faktoren einzeln bearbeiten: \((x-4) = 0\) und \((2x+6) = 0\).

Schritt 2: Lösungen bestimmen

\(3(x-4)(2x+6)=0\)

\(\Rightarrow(x_1-4) = 0 \Rightarrow x_1=4\) und \((2x_2+6) = 0 \Leftrightarrow 2x_2=-6 \Rightarrow x_2=-3\)

\(L= \{-3; 4\}\)

Aufgabe 1c.

\(x^2+2,5x=0\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Auch hier liegt die quadratische Gleichung in Normalform vor und du kannst die Gleichung mit der Lösungsformel lösen. Allerdings geht es schneller, wenn du ein x ausklammerst: \(x(x+2,5)=0\). Aus der so entstandenen Produktform kannst du die Nullstellen direkt ablesen.

Schritt 2: Lösungen bestimmen

\(x^2+2,5x=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x(x+2,5)=0\)

\(\Rightarrow x_1=0\) und \((x_2+2,5) = 0 \Leftrightarrow x_2=-2,5 \)

\(L= \{-2,5; 0\}\)

Aufgabe 1d.

\(4x^2 -9=0\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Da die quadratische Gleichung kein lineares Glied enthält, kannst du die Lösungen direkt durch das Umformen der Gleichung bestimmen.

Schritt 2: Lösungen bestimmen

\(4x^2 -9=0 \Leftrightarrow 4x^2=9 \Leftrightarrow x^2=\frac{9}{4} \Rightarrow x_{1/2}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow x_1 = 1,5 \) und \( x_2 = -1,5 \)

\(L= \{-1,5; 1,5\}\)

Aufgabe 1e.

\(x^2+8x+20=4\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Die quadratische Gleichung \(x^2+8x+20=4\) liegt schon fast(!) in der Normalform vor. Du musst die Gleichung noch umformen, dann kannst du erst die Lösungsformel (p-q-Formel) \(x_{1/2}= -\frac{p}{2}\pm\sqrt{ (\frac{p}{2})^2-q}\) anwenden und die Lösungen bestimmen.

Schritt 2: Lösungen bestimmen

\(x^2+8x+20=4 \Leftrightarrow x^2+8x+16 = 0 \Rightarrow p=8;\ q=16\)

\(x_{1/2}= -\frac{8}{2}\pm\sqrt{ (\frac{8}{2})^2-(16)}\) \(\Leftrightarrow x_{1/2}= -4\pm\sqrt{ (4)^2-16}\) \(\Leftrightarrow x_{1/2}= -4\pm\sqrt{0} \Rightarrow x_{1/2}= -4\pm0\)

\(\Rightarrow x_{1}= 4\) (Die quadratische Gleichung hat nur eine Lösung!)

\(L= \{4\}\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  12

Aufgabe 2

Gib jeweils eine quadratische Gleichung an, die folgende Nullstellen hat.

  1. Die Gleichung hat zwei Nullstellen bei \(x = 2\) und \(x = 3\).
  2. Die Gleichung hat genau eine Nullstelle bei \(x=5\).
  3. Die Gleichung hat keine Nullstelle.

Aufgabe 2a.

Die Gleichung hat zwei Nullstellen bei \(x = 2\) und \(x = 3\).

Schritt 1: Vorüberlegung

Du kannst zwei Lösungsansätze verwenden. Eine Möglichkeit ist die Anwendung des Satzes von Vieta. Der andere Lösungsansatz geht über die Produktform. Beim Satz von Vieta musst du die Koeffizienten p und q mithilfe der Formeln \(x_1 +x_2=-p\) und \(x_1 \cdot x_2= q\) berechnen und anschließend in die Gleichung \(x^2+px+q=0\) einsetzen. Möchtest du mit der Produktform arbeiten, musst du die Linearfaktoren \((x-x_N)\) bestimmen.

Schritt 2: Gleichung bestimmen

Satz von Vieta: \(x_1=2\) und \(x_2=3\)  \(\Rightarrow -p= 2+3 \Rightarrow p=-5\) und \(q=2 \cdot 3=6\) einsetzen \(\Rightarrow x^2-5x +6=0\)

Produktform: \(x_1=2 \Rightarrow (x_1-2)\) und \(x_2=3 \Rightarrow (x_2-3)\) einsetzen \(\Rightarrow (x-2)(x-3) =0\)  \(\Rightarrow x^2 -5x+6=0\)

Aufgabe 2b.

Die Gleichung hat genau eine Nullstelle bei \(x=5\).

Schritt 1: Vorüberlegung

Genau eine Nullstelle bedeutet, dass die quadratische Gleichung bei \(x = 5\) eine doppelte Nullstelle besitzt. Du solltest mit der Produktform arbeiten, da dieser Lösungsansatz sehr schnell zur Lösung führt. Der Lösungsansatz über den Satz von Vieta geht aber auch.

Schritt 2: Gleichung bestimmen

Produktform: \(x_1=5 \Rightarrow (x_1-5)\) und \(x_2=5 \Rightarrow (x_2-5)\) einsetzen \(\Rightarrow (x-5)(x-5) =0\) oder \((x-5)^2=0\)  \(\Rightarrow x^2 -10x+25=0\).

Aufgabe 2c.

Die Gleichung hat keine Nullstelle.

Schritt 1: Vorüberlegung

Da die Gleichung keine Nullstellen besitzt, kannst du nicht mit der Produktform oder dem Satz von Vieta rechnen. Hier musst du die Lage der zugehörigen quadratischen Funktion betrachten, d. h., du musst die Scheitelpunktform \(a(x-x_s)^2+y_s=0\) anwenden. Als Referenz benutzt du die Normalparabel, die eine Nullstelle hat. Wenn eine quadratische Gleichung keine Nullstelle haben soll, muss die zugehörige Parabel auf der y-Achse nach oben verschoben und nach oben geöffnet sein. Alternativ geht auch eine Verschiebung auf der y-Achse nach unten und eine Parabelöffnung ebenfalls nach unten. Die Verschiebung auf der x-Achse ist nicht von Bedeutung.

Schritt 2: Gleichung bestimmen

\(a > 0\), Verschiebung auf der y-Achse um 3 Einheiten nach oben, Verschiebung auf der x-Achse um 2 Einheiten nach rechts:

\(2(x-2)^2+3=0\)

Es gibt aber noch unendlich viele weitere Kombinationen!

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 3

Überführe die quadratische Funktion f mit \(f(x)= -2x^2-12x-17\) in die Scheitelpunktform und beschreibe die Lage und Form der zugehörigen Parabel im Koordinatensystem im Vergleich zur Normalparabel.

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Scheitelpunktform lautet \(f(x)=a(x-x_s)^2+y_s\). Du erhältst sie durch Umformungen mithilfe der quadratischen Ergänzung. Der Koeffizient a ist der Streckfaktor. \(x_s\) gibt die Verschiebung auf der x-Achse an. \(y_s\) gibt die Verschiebung auf der y-Achse an.

Schritt 2: Scheitelpunktform bestimmen

\(f(x)= -2x^2-12x-17\)

\(\Leftrightarrow f(x)= -2(x^2+6x+8,5)\)            (Streckfaktor a ausklammern)

\(\Leftrightarrow f(x)= -2(x^2+6x +(\frac{6}{2})^2 -(\frac{6}{2})^2+8,5)\)      (quadratische Ergänzung)

\(\Leftrightarrow f(x)= -2((x^2+6x +3^2) -3^2+8,5)\)          

\(\Leftrightarrow f(x)= -2((x+3)^2) -0,5)\)                (binomische Formel benutzen)

\(\Leftrightarrow f(x)= -2(x+3)^2 +1\)                 (ausmultiplizieren mit dem Distributivgesetz)

Schritt 3: Lage und Form beschreiben

Die Parabel ist gegenüber der Normalparabel an der x-Achse gespiegelt und mit dem Faktor 2 gestreckt (\(a = -2\)).

Sie ist um 3 Einheiten in negativer Richtung auf der x-Achse verschoben (\(x_s=-3\)).

Sie ist um 1 Einheit auf der y-Achse nach oben verschoben (\(y_s=1\)).

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  7

Aufgabe 4

Ein Dreieck besitzt einen Flächeninhalt von 21 cm². Die Grundseite ist um 1 cm länger als die zugehörige Höhe. Berechne die Höhe.

Schritt 1: Vorüberlegung

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich nach der Formel \(A_{Dreieck}= \frac{1}{2}gh\). Die Grundseite ist 1 cm länger als die Höhe: \(g=h +1\ cm\).

Du musst die Bedingung für die Grundseite in die Flächeninhaltsformel einsetzen und dann die so entstandene quadratische Gleichung nach h umformen.

Schritt 2: Gleichung aufstellen

\(21\ cm^2= \frac{1}{2}gh \Leftrightarrow 21=\frac{1}{2}(h+1)h =0,5h^2+0,5h\)

\(\Rightarrow 0=0,5h^2+0,5h-21\)

Schritt 3: Höhe bestimmen

\(\Rightarrow 0=0,5h^2+0,5h-21 \Leftrightarrow 0=h^2+h-42\)

\(h_{1/2}= -\frac{1}{2}\pm\sqrt{ (\frac{1}{2})^2-(-42)}\)  \(\Leftrightarrow x_{1/2}= -0,5\pm\sqrt{ (0,5)^2+42}\)  \(\Leftrightarrow x_{1/2}= -0,5\pm\sqrt{42,25}\)

\(\Rightarrow x_{1}= -0,5\ +6,5= 6\) und \(\Rightarrow x_{2}= -0,5 -6,5= -7\)

\(L= \{-7; 6\}\) (Nur die Lösung h = 6 cm kommt als Lösung in Betracht.)

Schritt 4: Antwortsatz

Das Dreieck hat die Höhe h = 6 cm.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 5

Die Flugkurve eines Weitspringers wird wissenschaftlich ausgewertet. Die Funktion f mit \(f(x) = -0,1x^2 +0,55x + 0,65\) beschreibt die Flugkurve des Körperschwerpunktes.

  1. Wie weit springt der Weitspringer?
  2. Wie hoch ist der Körperschwerpunkt des Weitspringers nach 1 m Flugstrecke?

Aufgabe 5a.

Wie weit springt der Weitspringer?

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Sprungweite ist die Nullstelle der quadratischen Funktion \(f(x) = -0,1x^2 +0,55x + 0,65\). Du musst die Nullstelle mit der Lösungsformel \(x_{1/2}= -\frac{p}{2}\pm\sqrt{ (\frac{p}{2})^2-q}\) bestimmen. Überführe vorher die zugehörige quadratische Gleichung \(0= -0,1x^2 +0,55x + 0,65\) in die Normalform.

Schritt 2: Nullstellen bestimmen

\(0= -0,1x^2 +0,55x + 0,65\)  \(\Leftrightarrow 0= x^2 -5,5x -6,5\)

\(x_{1/2}= -\frac{p}{2}\pm\sqrt{ (\frac{p}{2})^2-q}\)

\(x_{1/2}= -\frac{-5,5}{2}\pm\sqrt{ (\frac{-5,5}{2})^2-(-6,5)}\)

\(\Rightarrow x_{1/2}=2,75\pm\sqrt{ 7,5625+6,5}=2,75\pm\sqrt{ 14,0625}\)

\(\Rightarrow x_{1}=2,75+3,75 =6,5\) und \(x_{1}=2,75-3,75 =-1,00\) (Keine Lösung der Problemstellung!)

Schritt 3: Antwortsatz

Der Weitspringer springt 6,5 m weit.

Aufgabe 5b.

Wie hoch ist der Körperschwerpunkt des Weitspringers nach 1 m Flugstrecke?

Schritt 1: Vorüberlegung

Die x-Werte geben die Flugstrecke in Metern an, während die y-Werte die Flughöhe beschreiben. Du musst daher den x-Wert (Stelle) x = 1 in die Funktionsgleichung \(f(x) = -0,1x^2 +0,55x + 0,65\) einsetzen und den Funktionswert an dieser Stelle berechnen.

Schritt 2: Höhe des Körperschwerpunktes bestimmen

\(f(1) = -0,1\cdot 1^2 +0,55\cdot 1 + 0,65 =1,1\)

Schrtt 3: Antwortsatz

Der Körperschwerpunkt befindet sich nach 1 Meter Flugstrecke 1,1 Meter über dem Boden.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 6

Gegeben sei die Funktion f mit \(f(x) = x^2+8x+a\) . Bestimme den Parameter a so, dass die Funktion f ...

  1. ... genau zwei Nullstellen hat.
  2. ... genau eine Nullstelle hat.
  3. ... keine Nullstelle hat.

Aufgabe 6a.

Bestimme den Parameter a so, dass die Funktion f genau zwei Nullstellen hat.

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Nullstellen der quadratischen Funktion \(f(x) = x^2+8x+a\) musst du mit der Lösungsformel \(x_{1/2}= -\frac{p}{2}\pm\sqrt{ (\frac{p}{2})^2-q}\) bestimmen. Betrachte anschließend die Diskriminante \(D= (\frac{p}{2})^2-q\). Wenn die Diskriminante positiv ist, hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen und die Funktion somit zwei Nullstellen.

Schritt 2: Parameter a bestimmen

\(x_{1/2}= -\frac{p}{2}\pm\sqrt{ (\frac{p}{2})^2-q}\)

\(x_{1/2}= -\frac{8}{2}\pm\sqrt{ (\frac{8}{2})^2-a}=-4\pm\sqrt{ (4)^2-a}=-4\pm\sqrt{16-a}\)

Diskriminante \(D=16-a>0 \Rightarrow a<16\)

Aufgabe 6b.

Bestimme den Parameter a so, dass die Funktion f genau eine Nullstelle hat.

Schritt 1: Vorüberlegung

Wenn die Diskriminante null ist, hat die quadratische Gleichung eine Lösungen und die Funktion somit eine Nullstelle.

Schritt 2: Parameter a bestimmen

\(x_{1/2}= -\frac{p}{2}\pm\sqrt{ (\frac{p}{2})^2-q}\)

\(x_{1/2}= -\frac{8}{2}\pm\sqrt{ (\frac{8}{2})^2-a}=-4\pm\sqrt{ (4)^2-a}=-4\pm\sqrt{16-a}\)

Diskriminante \(D=16-a=0 \Rightarrow a=16\)

Aufgabe 6c.

Bestimme den Parameter a so, dass die Funktion f keine Nullstelle hat.

Schritt 1: Vorüberlegung

Wenn die Diskriminante negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine reellen Lösungen und die Funktion somit keine reelle Nullstelle.

Schritt 2: Parameter a bestimmen

\(x_{1/2}= -\frac{p}{2}\pm\sqrt{ (\frac{p}{2})^2-q}\)

\(x_{1/2}= -\frac{8}{2}\pm\sqrt{ (\frac{8}{2})^2-a}=-4\pm\sqrt{ (4)^2-a}=-4\pm\sqrt{16-a}\)

Diskriminante \(D=16-a<0 \Rightarrow a>16\)

  • Schwierigkeitsgrad:  2 3
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  5
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