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Musterlösung: Flächeninhalt, Oberflächeninhalt, Volumen 2


Aufgabe 1

Ein Wassertropfen hat ein Volumen von etwa 1 mm³. Ein Eimer ist mit 7 Litern Wasser gefüllt. Wie viele Tropfen befinden sich etwa im Eimer?

Lösung

1 l = 1 dm³ = 1000 cm³ = 1 000 000 mm³
7 · 1 000 000 mm³ = 7 000 000 mm³

Da ein Tropfen ein Volumen von 1 mm³ hat, befinden sich etwa 7 Millionen Wassertropfen im Eimer.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

 

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  2

Aufgabe 2

Jeder kleine Würfel in der Abbildung hat die Kantenlänge 1 m.

Musterlösung: Flächeninhalt, Oberflächeninhalt, Volumen 2 - Abbildung 1

  1. Bestimme das Volumen des gesamten zusammengesetzten Körpers.
  2. Der Körper soll zu einem vollständigen Würfel ergänzt werden. Welches Volumen hat der Ergänzungskörper, welches Volumen hat der gesamte Würfel?

Lösung

  1. Für jeden Würfel mit der Kantenlänge 1 m gilt: \(V = 1 \;\text{m}³.\)
    Der Körper besteht aus 25 Würfeln, somit ist das Gesamtvolumen \(V = 25 · 1 \;\text{m}³ = 25 \;\text{m}³.\)
  2. Geschickt ist es, zuerst das Volumen des Würfels zu berechnen: \(V_{W}= 4\;\text{m}\cdot4\;\text{m}\cdot4\;\text{m}=64\;\text{m³}\)
    Für den Ergänzungskörper ergibt sich dann:  \(V_{E}= V_{W}-25\;\text{m³}=64\;\text{m³}-25\;\text{m³}=39\;\text{m³}.\)
    Das Volumen des Ergänzungskörpers beträgt \(V_{E}= 39\; \text{m³}.\) 
    Das Volumen des Würfels beträgt  \(V_{W}= 64\; \text{m³}.\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 3

Berechne das Volumen des Körpers.

Musterlösung: Flächeninhalt, Oberflächeninhalt, Volumen 2 - Abbildung 2

Lösung

Gesamtvolumen: V = 12 m · 8 m · 7 m = 672 m³; 
Volumen der Aussparung: V = 5 m · 4 m · 7 m = 140 m³; 
Volumen des Körpers:  V = 672 m³ – 140 m³ = 532 m³

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 4

Bearbeite die folgenden Textaufgaben.

  1. Auf einem Grundstück von 3,4 a wird ein Haus mit einer Grundfläche von 70 m² gebaut. Für den Weg zur Haustür werden 12 m², für die Terrasse 25 m² und für den Autostellplatz 22 m² benötigt. Welche Fläche bleibt für die Spielwiese?
  2. Familie Bedorf bewohnt eine Wohnung von 120 m². Sie zahlen pro Monat 1020 € Miete. Wie hoch ist die Miete pro Quadratmeter?
  3. Zu einem Bauernhof gehören 9,2 ha Felder, 320 a Weiden und 2 ha Wald. Die Wirtschaftsgebäude erstrecken sich über 45 a. Wie groß ist der Hof? Gib dein Ergebnis in Quadratmetern und in Quadratkilometern an.

Lösung

  1. Grundstücksgröße 3,4 a = 340 m²; Flächen für Haus, Weg, Terrasse und Autostellplatz: A = 70 m² + 12 m² + 25 m² + 22 m² = 129 m; Wiesenfläche A = 340 m² – 129 m² = 211 m²; für die Spielwiese bleibt eine Fläche von 211 m².
  2. 1020 € : 120 = 8,50 €; Familie Bedorf muss 8,50 € Miete pro Quadratmeter bezahlen.
  3. 9,2 ha = 920 a, 2 ha = 200 a; 920 a + 320 a + 200 a + 45 a = 1485 a = 148.500 m² = 0,1485 km². 
    Der Hof ist 148.500 m² bzw. 0,1485 km² groß.

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 5

Familie Neustadt möchte ein Einfamilienhaus bauen. Beachte bei der Bearbeitung der Teilaufgaben, dass fehlende Längenangaben bestimmt werden können.

  1. Berechne die Flächeninhalte der Grundstücke A, B und C.
  2. Familie Neustadt hat 25 000 € gespart. Die Bank würde ihnen einen Kredit von 45 000 € gewähren. Welche Kaufmöglichkeiten ergeben sich für Familie Neustadt, wenn sie 250 € pro Quadratmeter bezahlen müssen? 

Musterlösung: Flächeninhalt, Oberflächeninhalt, Volumen 2 - Abbildung 3

Lösung

a.
Grundstück A: \(A = 24 \;\text{m} · 12 \;\text{m} = 288 \;\text{m²}\)
Grundstück B: Das Grundstück B kann in 2 Teilflächen \(A_{1}\) und \(A_{2}\) aufgeteilt werden. \(A_{1}=9 \;\text{m} · 18 \;\text{m} = 162 \;\text{m²}\)
Zur Berechnung der Fläche \(A_{2}\) müssen die Seitenlängen c und d bestimmt werden:
\(\text{c} = 18 \;\text{m} - 9 \;\text{m} = 9 \;\text{m}\) und  \(\text{d} = 21 \;\text{m} - 12 \;\text{m} = 9 \;\text{m}\)\(A_{2}=81 \;\text{m²}\)
Gesamtfläche \(\text{B}=243\;\text{m²}\)
Grundstück C: Das Grundstück C kann in 2 Teilflächen \(A_{3}\) und \(A_{4}\) aufgeteilt werden. Bestimmung der Seitenlängen e und f: \(\text{e} = 24 \;\text{m} - \text{c} = 15 \;\text{m}\) und \(\text{f} = 27 \;\text{m} - \text{e} = 12 \;\text{m}\)
\(A_{3}=\text{e} · \text{d} = 135 \;\text{m²}\)
\(A_{4}=21 \;\text{m} · \text{f} = 252 \;\text{m²}\)
Gesamtfläche \(\text{C}=387\;\text{m²}\)
Musterlösung: Flächeninhalt, Oberflächeninhalt, Volumen 2 - Abbildung 4

b. 
Die Kosten für Grundstück A: 288 · 250 € = 72 000 €
Die Kosten für Grundstück B: 243 · 250 € = 60 750 €
Die Kosten für Grundstück C: 387 · 250 € = 96 750 €
Familie Neustadt kann insgesamt 25 000 € + 45 000 € = 70 000 € aufbringen.
Sie kann Grundstück B somit sofort erwerben, für Grundstück A müsste sie noch 2000 € sparen, Grundstück C ist zu teuer.

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  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 6

Ordne die Werte jeweils der Größe nach. Verwende das Zeichen < („kleiner als“). 

  1. 23 000 mm³; 0,002 dm³; 87 cm³; 0,1 l 
  2. 8,5 a; 0,3 ha; 5430 m²
  3. 3,5 l; 3561 ml; 3790 cm³; 3,8 dm³
  4. 5030 cm²; 21 670 mm²; 27,5 dm²; 0,66 m²

Lösung

  1. 0,002 dm³ (2 cm³) < 23 000 mm³ (23 cm³) < 87 cm³ < 0,1 l (100 cm³)
  2.  8,5 a (850 m²) < 0,3 ha (3000 m²) < 5430 m²
  3. 3,5 l (3500 cm³) < 3561 ml (3561 cm³) < 3790 cm³ < 3,8 dm³ (3800 cm³) 
  4. 21 670 mm² (216,7 cm²) < 27,5 dm (2750 cm²) < 5030 cm² < 0,66 m (6600 cm²)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  4
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