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Aufgabe 1
Dauer: 5 Minuten 2 PunkteBilden Sie die Ableitung der Funktion \(f\) mit \(f(x)=\sqrt{7}\cdot e^{2x}\).
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Aufgabe 2
Dauer: 5 Minuten 2 PunkteBilden Sie die Ableitung der Funktion \(f\) mit \(\int_{0}^{1} \frac{4}{(2x+1)^{3}}\mathrm{d}x\).
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Aufgabe 3
Dauer: 7 Minuten 3 PunkteLösen Sie die Gleichung \(x^{4}=4+3x^{2}\).
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Aufgabe 4
Dauer: 10 Minuten 4 PunkteGegeben sind die Funktionen \(f\) und \(g\) mit \(f(x)=\cos(x)\) und \(g(x)=2\cos(\frac{\pi}{2}x)-2\).
- Beschreiben Sie, wie man den Graphen von \(g\) aus dem Graphen von \(f\) erhält.
- Bestimmen Sie die Nullstellen von \(g\) für \(0\leq x \leq4\).
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Aufgabe 5
Dauer: 10 Minuten 4 PunkteDie Abbildung zeigt die Graphen \(K_f\) und \(K_g\) zweier Funktionen \(f\) und \(g\).
- Bestimmen Sie \(f(g(3))\).
Bestimmen Sie einen Wert für \(x\) so, dass \(f(g(x))=0\) ist. - Die Funktion \(h\) ist gegeben durch \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\).
Bestimmen Sie \(h'(2)\).
- Bestimmen Sie \(f(g(3))\).
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Aufgabe 6
Dauer: 12 Minuten 5 PunkteGegeben sind die Ebenen \(E:x_{1}+x_{4}=4\) und \(F:x_{1}+x_{2}+2x_{3}=4\).
- Stellen Sie die beiden Ebenen in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar.
Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von \(E\) und \(F\) an. - Die Ebene \(G\) ist parallel zur \(x_1\)-Achse und schneidet die \(x_2x_3\)-Ebene in derselben Spurgeraden wie die Ebene \(F\).
Geben Sie eine Gleichung der Ebene \(G\) an.
- Stellen Sie die beiden Ebenen in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar.
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Aufgabe 7
Dauer: 10 Minuten 4 PunkteGegeben sind die Punkte \(A(1|10|1)\), \(B(-3|13|1)\) und \(C(2|3|1)\). Die Gerade \(g\) verläuft durch \(A\) und \(B\).
Bestimmen Sie den Abstand des Punktes \(C\) von der Geraden \(g\).
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Aufgabe 8
Dauer: 7 Minuten 3 PunkteAn einem Spielautomaten verliert man durchschnittlich 2 Drittel aller Spiele.
- Formulieren Sie ein Ereignis A, für das gilt:
\(P(\text{A})= \left(\begin{array}{c} \frac{10}{8} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} \frac{2}{3} \end{array}\right)^{8} \cdot \left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \end{array}\right)^{2} +10 \cdot \left(\begin{array}{c} \frac{2}{3} \end{array}\right)^{9} \cdot \frac{1}{3}+\left(\begin{array}{c} \frac{2}{3} \end{array}\right)^{10}\) - Jemand spielt 4 Spiele an dem Automaten.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert er dabei genau 2-mal?
- Formulieren Sie ein Ereignis A, für das gilt:
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Aufgabe 9
Dauer: 10 Minuten 4 PunkteGegeben sind der Mittelpunkt einer Kugel sowie eine Ebene. Die Kugel berührt diese Ebene.
Beschreiben Sie, wie man den Kugelradius und den Berührpunkt bestimmen kann.
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Aufgabe 10
Die Veröffentlichung der Originalprüfung erfolgt mit freundlicher Genehmigung des jeweiligen Kultusministeriums.
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Aufgabe 1
Bilden Sie die Ableitung der Funktion \(f\) mit \(f(x)=\sqrt{7}\cdot e^{2x}\).