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Aufgabe 1
a)
Die aktuelle Zählung ergibt \(x_1=2000\), \(x_2=4000\) und \(x_3=15.000\).
- Berechnen Sie, ausgehend von diesen Zahlen, die Verteilung der Vögel nach einem Jahr und nach 2 Jahren.
- Bestimmen Sie die Verteilung der Vögel, die sich aus dem Modell für das Vorjahr ergäbe.
- Fünf Elemente der Matrix \(L\) haben den Wert \(0\). Erklären Sie für jedes dieser Elemente aus dem Sachzusammenhang heraus, warum es den Wert \(0\) hat.
Die Entwicklung der Population einer bestimmten Seevogelart in einem festgelegten Beobachtungsgebiet wird durch folgende Modellannahmen beschrieben:
Die Überlebensrate der Vögel in den ersten beiden Lebensjahren wird jeweils mit \(0{,}6\) angenommen, in den späteren Lebensjahren mit \(0{,}8\). Die erste Brut findet im 3. Lebensjahr statt, der Bruterfolg wird mit \(0{,}5\) Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr angenommen. Die Vögel werden in 3 Altersgruppen eingeteilt, deren Anzahlen
\(x_1\): Anzahl der Jungvögel im 1. Lebensjahr (Altersgruppe 1)
\(x_2\): Anzahl der Vögel im 2. Lebensjahr (Altersgruppe 2)
\(x_3\): Anzahl der Altvögel, die älter als 2 Jahre sind (Altersgruppe 3)
durch jährliche Zählungen ermittelt und jeweils zu einer Verteilung \(\vec{x}=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)\) zusammengefasst werden (Verteilungsvektoren werden der Einfachheit halber im Folgenden kurz „Verteilung“ genannt). Die Matrix \( L=\left(\begin{array}{c} 0 & 0 & 0{,}5 \\ 0{,}6 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}6 & 0{,}8 \\ \end{array}\right)\) beschreibt dieses Modell.
Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.