Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=10x\cdot e^{-0,5x}\).

Ihr Graph ist K. K besitzt einen Extrempunkt und einen Wendepunkt.

Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.

  • Aufgabe 1

    33 Minuten 11 Punkte

    Aufgabe A 1.1

    Gegeben ist die Funktion f mit \(f(x) = 10x\cdot e^{-0,5x}\). Ihr Graph ist K.

    1. K besitzt einen Extrempunkt und einen Wendepunkt. Geben Sie deren Koordinaten an. Geben Sie eine Gleichung der Asymptote von K an. Skizzieren Sie K.                                                                            
    2. Für jedes u > 0 sind O(0|0), P(u|0) und Q(u|f(u)) die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie einen Wert für u so, dass dieses Dreieck den Flächeninhalt 8 hat. Für welchen Wert von u ist das Dreieck OPQ gleichschenklig?   
    3. Auf der x-Achse gibt es Intervalle der Länge 3, auf denen die Funktion f den Mittelwert 2,2 besitzt. Bestimmen Sie die Grenzen eines solchen Intervalls.

  • Aufgabe 2

    12 Minuten 4 Punkte

    Aufgabe A 1.2

    Gegeben ist für jedes t > 0 eine Funktion f durch \(f_t(x)=\frac{1}{3}x^3-t^2x\). Bestimmen Sie t so, dass die beiden Extrempunkte des Graphen von ft den Abstand 13 voneinander haben.