In ein Staubecken oberhalb eines Bergdorfes fließen zwei Bäche. Nach Regenfällen unterschiedlicher Dauer und Stärke können die momentanen Zuflussraten1 aus den beiden Bächen durch Funktionen \( f_a\) für den Bach 1 und \( g_a \) für den Bach 2 und die Gesamtzuflussrate aus den beiden Bächen durch eine Funktion \(h_a \) für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden. Gegeben sind für \(a>0\) zunächst die Funktionsgleichungen:
\(f_a(t) = \frac 1 4 t^3 - 3a \cdot t^2 + 9a^2 + 340;\quad t \in \mathbb R\)
\(h_a(t) = \frac 1 4 t^3 - 7a \cdot t^2 + 24a^2 + 740;\quad t \in \mathbb R\)

Dabei fasst man \(t\) als Maßzahl zur Einheit \(1 \text{ h}\) und \(f_a(t)\), \(g_a(t)\) sowie \(h_a(t)\) als Maßzahlen zur Einheit \(1 \frac{ \text{m}^3}{ \text{h} }\) auf. Der Beobachtungszeitraum beginnt zum Zeitpunkt \(t=0\) und endet zum Zeitpunkt \(t=6a\). Die Graphen von \(f_4\), \(g_4\) und \(h_4\) sind in der Abbildung dargestellt.

 

Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.

  • Aufgabe 1

    50 Minuten 21 Punkte

    a) 

    1. Berechnen Sie die Gesamtzuflussrate aus den beiden Bächen zu Beginn und am Ende des Beobachtungszeitraums.
    2. Zeigen Sie, dass für die Funktion \(g_a\), die die Zuflussrate aus Bach 2 beschreibt, gilt:
      \(g_a(t)= \frac 1 4 t^3 - 4a\cdot t^2 + 15 a^2 \cdot t + 400\)
    3. Begründen Sie, dass unabhängig vom Parameter \( a\text{ }(a>0)\) die Zuflussrate aus Bach 2 für alle \(t\in [0;6a]\) größer ist als die Zufallsrate aus Bach 1.
    4. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \(a\) den Zeitpunkt \(t_m \in [0;6a]\), zu dem die Gesamtzuflussrate ihr Maximum annimmt. 

  • Aufgabe 2

    36 Minuten 15 Punkte

    b)

    1. Bestimmen Sie die Wendestelle der Funktion \(h_a\).
    2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt des Beobachtungszeitraums, zu dem sich die Gesamtzuflussrate am stärksten ändert.
    3. Geben Sie nun die Bedeutung der Wendestelle aus (1) im Sachzusammenhang an. 

  • Aufgabe 3

    34 Minuten 14 Punkte

    c)

    Im Folgenden sei \(a=4\): \(h_4(t)= \frac 1 2 t^3 - 28 t^2 + 384t + 740\), \(t \in [0;24]\). Zum Zeitpunkt \(t=0\) kann das Staubecken noch \(20.000 \,\mathrm{m^3}\) Wasser aufnehmen. 

    1. Entscheiden Sie, ob das Staubecken das gesamte Wasser aus den beiden Bächen während der 24 Stunden des Beobachtungszeitraums aufnehmen könnte. 
    2. Die Gleichung \(\int_{0}^{b} h_4(t)\mathrm{d}t=20.000\) hat die (positive) Lösung \(b \approx 10{,}65\).
      Geben Sie die Bedeutung dieser Lösung im Sachzusammenhang an.
    3. Um ein Überlaufen des Staubeckens zu verhindern, wird zum Zeitpunkt \(t=10 \) ein vorher verschlossener Notablauf geöffnet. Durch diesen fließt Wasser mit einer konstanten Abflussrate von \(2.000\,\frac{ \text{m}^3}{ \text{h} }\) aus dem Staubecken ab. Der Notablauf bleibt bis zum Ende des Beobachtungszeitraums geöffnet. Ohne Nachweis darf verwendet werden, dass die Gesamtzuflussrate für \(10\leq 1 \leq 14\) größer und für \(14<t\leq 24\)  kleiner als \(2.000\, \frac{ \text{m}^3}{ \text{h} }\) ist (vgl. Abbildung).
      Untersuchen Sie, ob das Staubecken innerhalb des Beobachtungszeitraums überläuft. 

  • Aufgabe 4

    1 Minute

    1 Im Folgende . n wird zur besseren Lesbarkeit nur der Begriff Zuflussrate verwendet; darunter ist stets die momentane Zuflussrate zu verstehen.