Eine Firma baut Sprungschanzen für BMX-Fahrer in verschiedenen Formen, deren seitliches Profil jeweils durch den Graphen einer Funktion \(f_a\) mit der Gleichung

\(f_a(x)= - \frac{1}{4 \cdot a^2}x^3 + \frac{3}{4}x;\quad -8 \leq x \leq 0\)

beschrieben wird, mit \(3,2 \leq a \leq 4\) (\(x\), \(a\) und \(f_a(x)\) in Metern). Die Funktionen \(f_a\) sind für alle \(c \in \mathbb{R}\) definiert, werden aber nur für \(-8 \leq x \leq 0\) zur Modellierung verwendet.

Die Sprungschanzen werden ausgehend vom Startpunkt \(S_a(-8|f_a(-8))\) von links nach rechts durchfahren und so eingebaut, dass der Absprungpunkt \(A(0|0)\) auf dem Niveau des Erdbodens liegt, das in der Seitenansicht durch die \(x\)-Achse festgelegt ist.

Der Funktionsgraph der Beispielfunktion \(f_{3, 6}\) ist in der Abbildung 1 dargestellt.

 

 

  • Aufgabe 1

    43 Minuten 18 Punkte

    a)

    1. Weisen Sie nach, dass die durch die Funktion \(f_a\) beschriebene Profillinie der Sprungschanze im Bereich \(- \sqrt 3 \cdot a < x < 0\) unterhalb des Niveaus des Erdbodens verläuft.
    2. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \(a\) die Koordinaten des tiefsten Punktes \(T_a\) des Sprungschanzenprofils.
      [Zur Kontrolle: \(T_a \left( -a | - \frac{1}{2}a \right)\)]
    3. Geben Sie eine Gleichung der Funktion \(k\) an, auf deren Graph alle Tiefpunkte \(T_a\) der Funktionsgraphen von \(f_a\) liegen.

  • Aufgabe 2

    41 Minuten 17 Punkte

    b)

    Bei der Firma wird eine Sprungschanze bestellt, die im Punkt \(S_a(-8|f_a(-8))\) die Steigung \(-3\) haben soll.

    1. Berechnen Sie den Wert von \(a\), für den die Sprungschanze im Punkt \(S_a\) die Steigung \(-3\) hat, und die Höhe über dem Erdboden, in der sich bei dieser Sprungschanze der Startpunkt \(S_a\) befindet.
      [Zur Kontrolle: \(a= \frac {8 \sqrt 5 }{5}\)]
    2. Laut Angabe der Firma hat die bestellte Sprungschanze zwischen dem Startpunkt \(S_a\) und dem Absprungpunkt \(A\) die durchschnittliche Steigung \(-\frac{1}{2}\).
      Prüfen Sie diese Angabe und beurteilen Sie ihre Aussagekraft.
    3. Die bestellte Sprungschanze ist 2 m breit. In dem Bereich, in dem ihr Profil unterhalb des Niveaus des Erdbodens verläuft, muss Erde ausgehoben werden.
      Berechnen Sie, wie groß das Erdvolumen ist, das bis zur Profillinie dieser Sprungschanze ausgehoben werden muss.

  • Aufgabe 3

    36 Minuten 15 Punkte

    c)

    1. Zeigen Sie, dass alle Sprungschanzen, deren Profil durch eine der Funktionen \(f_a\) gegeben ist, im Absprungpunkt \(A\) dieselbe Steigung haben.
    2. Ein BMX-Fahrer macht nach dem Abheben von der Sprungschanze im Punkt \(A\) einen 4 m weiten Sprung. Seine zwischen den Punkten \(A\) und \(B(4|0)\) parabelförmig verlaufende Flugbahn soll durch den Graphen einer quadratischen Funktion \(q\) beschrieben werden, der im Punkt \(A\) ohne Knick an die Profillinie der Sprungschanze anschließt (siehe Abbildung 2, gestrichelte Linie). In dieser vereinfachten Modellierung wird die räumliche Ausdehnung von Fahrer und BMX-Rad vernachlässigt.
      Leiten Sie eine Gleichung dieser quadratischen Funktion \(q\) her.
      [Zur Kontrolle: \(q(x)=- \frac{3}{16}x^2 + \frac{3}{4}x;\quad 0 \leq x \leq 4\)]
    3. Rechts vom Punkt \(A\) soll ein Aufsprunghügel angelegt werden, dessen seitliches Profil durch den Graphen der Funktion \(h\) mit der Gleichung
      \(h(x)= \frac{3}{100}x^3 - \frac{3}{10}x^2 + \frac{3}{4}x;\quad 0 \leq x \leq 5\)
      beschrieben wird (siehe Abbildung 2).
      Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes \(C\), in dem BMX-Fahrer aus (2) den größten vertikalen Abstand vom geplanten Aufsprunghügel hätte.