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Lexikon Mathe

Lineare Ungleichungssysteme

Lineare Ungleichungssysteme unterscheiden sich, wie der Name schon erahnen lässt, von Linearen Gleichungssystemen (LGS) darin, dass an die Stelle des Gleichheitszeichens ein anderes Vergleichszeichen tritt, z. B. „\(\le\)“ oder „>“ (Ungleichungen).

Im Folgenden wird zunächst ein lineares Ungleichungssystem mit einer Variablen vorgestellt.

 

Gesucht ist die Lösung des folgenden Systems aus zwei Ungleichungen (\(D = G = \mathbb R\)):

\(\begin{matrix} \text{(I)} &4x& +&5&> &-3\\ \text{(II)} &8x& +&2&< &2 \end{matrix}\)

Zunächst bestimmen wir die Teillösungsmengen von Ungleichung \(\text{(I) und (II)}\):

\(\begin{matrix} && &4x& +&5&> &-3 &|-5\\ &\Leftrightarrow& && &4x&>&-8&|:4\ \\ &\Leftrightarrow& && &x&>&-2\\ \end{matrix}\)

Daraus ergibt sich die Lösungsmenge: \(L_1=\{x\in\mathbb{R}|x>-2\}\). Auf ähnliche Weise erhalten wir \(L_2=\{x\in\mathbb{R}|x<0\}\).

Die Lösungsmenge L des Gesamtsystems ist die Schnittmenge beider Teillösungen:

\(L=L_1\cap L_2=\{x\in\mathbb{R}|-2<x<0\}\).

Grafisch sehen die Teillösungen und die Gesamt Lösung so aus:

Lineare Ungleichungssysteme - Abbildung 1

Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen

Bei der Berücksichtigung einer zweiten Variablen erhält man eine Ungleichung, welche einen funktionalen Zusammenhang zwischen den zwei Variablen darstellt. Im Falle einer linearen Ungleichung ergibt sich meist eine Funktion ähnlich einer Geradengleichung. Setzt man nun für eine der zwei Variablen einen beliebigen Zahlenwert ein, erhält man eine Ungleichung in einer Variablen. Dies ermöglicht eine Berechnung der Lösungsmenge. Lineare Ungleichungssysteme werden meist grafisch gelöst.

Beispiel:
Gesucht ist die Lösung des folgenden Ungleichungssystems in den Variablen x und y (\(x,y \in \mathbb R\)):

\(\begin{matrix} \text{(I)} &y& -&4x&< &2\\ \text{(II)} &2x&+&y&<& 2& \\\text{(III)} &x&+&y&<& 1&\end{matrix}\)

Zunächst lösen wir die einzelnen Ungleichungen \(\text{(I) bis (III)}\) nach y auf:

\(\begin{matrix} \text{(I) } && &y& -&4x&< &2 & &|+4x \\ &\Leftrightarrow& && &y&<&2&+& 4x \quad \quad \quad \quad \quad \\\end{matrix}\)

\(\begin{matrix} \text{(II) } & &2x& +&y&< &2 & &|-2x \\ &\Leftrightarrow& && y&<&2&-& 2x \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\\end{matrix}\)

\(\begin{matrix} \text{(II) } & &x& +&y&< &1 & &|-x \\ &\Leftrightarrow& && y&<&1&-& x \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \\\end{matrix}\)

Daraus ergeben sich nun drei lineare Ungleichungen mit den Teillösungsmengen L1, L2 und L3:

\(L_{1}=\{(x,y)|\ y-4x<2\}\\ L_{2}=\{(x,y)|\ 2x+y<2\}\\ L_{3}=\{(x,y)|\ x+y<1\} \)

Betrachtet man die Ungleichungen nun als Gleichungen, lassen sich Geradengleichungen der Form \(y=m\cdot x+b\) erkennen.
Wegen des Kleiner-Zeichens in allen drei Ungleichungen ist die Lösungsmenge jeweils die Halbebene unterhalb der 3 Geraden.
Die Lösungsmenge des Ungleichungssystems ist die Schnittmenge \(L=L_{1}\cap L_{2}\cap L_{3}\), also in der Grafik der dunkelblau markierte Bereich:

Lineare Ungleichungssysteme - Abbildung 2
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